Límite y continuidad de funciones reales de una variable, Apuntes de Matemáticas

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Esquemas teóricos de la asignatura

Matemáticas I

Bloque de Cálculo Diferencial e Integral

Grados en ADE, ECO, MIM, FBS y DADE

Primer curso

1. Funciones reales de una variable

1.1 La recta real

1.2 Conceptos generales

1.3 Funciones elementales

1.4 L´ımites y continuidad

1. Funciones reales de una variable 1.1 La recta real

Sistema de los n´umeros reales I

Sistema de los n´umeros reales, compuesto por distintos tipos de n´umeros: N´umeros naturales, N: 1 , 2 , 3 ,... Contar objetos. Operaciones adici´on y multiplicaci´on bien definidas. N´umeros enteros, Z:... , − 3 , − 2 , − 1 , 0 , 1 , 2 , 3 ,... La operaci´on diferencia precisa del cero y los n´umeros negativos. N´umeros racionales, Q: a ∈ Q si a = p/q, con p, q ∈ Z y q 6 = 0. Reparto entre partes; resoluci´on de ecuaciones qx = p. Propiedades de Q Un n´umero racional se puede expresar de infinitas formas. Un n´umero racional es un n´umero decimal:

• exacto (n´umero finito de cifras decimales): 14 = 0. 25 ,
• peri´odico (secuencia de decimales repetida indefinidamente): 13 = 0.ˆ 3.

N ⊂ Z ⊂ Q

1. Funciones reales de una variable 1.1 La recta real

Intervalos

Un intervalo es un segmento de la recta real. Dados a, b ∈ R, los n´umeros comprendidos entre ambos constituyen un intervalo. Seg´un los extremos a y b est´en o no inclu´ıdos en el segmento, el intervalo se denomina:

abierto (a, b) = {x ∈ R | a < x < b}, cerrado [a, b] = {x ∈ R | a ≤ x ≤ b}, abierto izda. cerrado dcha. (a, b] = {x ∈ R | a < x ≤ b}, cerrado izda. abierto dcha. [a, b) = {x ∈ R | a ≤ x < b}.

Los intervalos pueden ser una semirrecta. En este caso un extremo se representa por +∞ o −∞.

[a, +∞) = {x ∈ R | x ≥ a}, (a, +∞) = {x ∈ R | x > a}, (−∞, b] = {x ∈ R | x ≤ b}, (−∞, b) = {x ∈ R | x < b}.

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1. Funciones reales de una variable 1.1 La recta real

Valor absoluto

Definici´on (Valor absoluto) El valor absoluto de un n´umero real x, se denota por |x|, y se define como:

|x| =

x, si x ≥ 0 , −x, si x < 0.

Ejemplo: | 3 | = 3, | − 1 / 3 | = 1/ 3 , | 0 | = 0.

Propiedades |x| =

x^2 = max{−x, x}. |x| > 0 para todo x 6 = 0; | 0 | = 0. |x| < a ⇔ −a < x < a; |x| > b ⇔ x > b o x < −b. |xy| = |x||y| y |x−^1 | = |x|−^1. |x + y| ≤ |x| + |y| (desigualdad triangular).

1. Funciones reales de una variable 1.2 Conceptos generales

Funci´on real de una variable real

Definici´on Una funci´on real de una variable real f es una aplicaci´on de un conjunto D ⊆ R no vac´ıo en R:

f : D −→ R x 7 −→ f (x)

Suele utilizarse la notaci´on y = f (x).

y es la imagen de x por f. x es un antecedente de y por f.

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1. Funciones reales de una variable 1.2 Conceptos generales

Dominio e imagen de una funci´on

Definiciones Dada una funci´on f : D ⊆ R −→ R, se llama dominio de f al conjunto D y se representa por Dom f. El subconjunto de R formado por todos los y que son imagen de alg´un elemento x del dominio de f se llama imagen de f y se denota por Im f ; es decir,

Im f = { y ∈ R | existe x ∈ D con f (x) = y }.

Observaci´on: En ocasiones una funci´on aparece definida por expresiones sin especificar su dominio. En este caso se entiende que el dominio de la funci´on es el subconjunto m´as grande de R en el que las expresiones tienen sentido.

Ejemplo El dominio de f (x) =

x es Dom f = {x ∈ R | x ≥ 0 }.

1. Funciones reales de una variable 1.2 Conceptos generales

Operaciones con funciones I

Definiciones Sean f, g : D ⊆ R −→ R dos funciones. Entonces: (^1) f y g son iguales cuando f (x) = g(x) para cada x ∈ D. (^2) La funci´on suma de f y g, que se denota f + g, es

(f + g)(x) = f (x) + g(x) para cada x ∈ D.

(^3) Dado α ∈ R, la funci´on producto de α por f , que se denota αf , es

(αf )(x) = αf (x) para cada x ∈ D.

(^4) Si f es inyectiva, se define la funci´on inversa de f y se denota por f −^1 , como la funci´on con dominio Im f tal que para cada y ∈ Im f , f −^1 (y) = x, siendo f (x) = y.

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1. Funciones reales de una variable 1.2 Conceptos generales

Operaciones con funciones II

(^5) La funci´on producto de f y g, que se denota f · g, es

(f · g)(x) = f (x) · g(x) para cada x ∈ D.

(^6) Se define la funci´on cociente de f y g y se denota f /g,

(f /g)(x) =

f (x) g(x)

para cada x ∈ D tal que g(x) 6 = 0.

Sean f : D ⊆ R −→ R y g : S ⊆ R −→ R tales que Im f ⊆ S. (^7) Se define la funci´on compuesta g ◦ f , como la funci´on con domino D tal que (g ◦ f )(x) = g(f (x)) para cada x ∈ D.

1. Funciones reales de una variable 1.2 Conceptos generales

Funciones acotadas superior e inferiormente

Definiciones Sea A ⊆ D ⊆ R. Una funci´on f : D −→ R es: (^1) acotada superiormente en A si existe M ∈ R tal que para cualquier x ∈ A se cumple f (x) ≤ M.

(^2) acotada inferiormente en A si existe m ∈ R tal que para cualquier x ∈ A se cumple f (x) ≥ m.

(^3) acotada en A si es acotada superior e inferiormente en A; es decir, existen m, M ∈ R tales que para cualquier x ∈ A se cumple m ≤ f (x) ≤ M. Esta condici´on es equivalente a que exista K ∈ R tal que para cualquier x ∈ A se cumple |f (x)| ≤ K.

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1. Funciones reales de una variable 1.2 Conceptos generales

Funciones crecientes y decrecientes

Definiciones Sea A ⊆ D ⊆ R. Una funci´on f : D −→ R es: (^1) mon´otona creciente en A si para cualesquiera x 1 , x 2 ∈ A con x 1 < x 2 se tiene f (x 1 ) ≤ f (x 2 ).

(^2) mon´otona decreciente en A si para cualesquiera x 1 , x 2 ∈ A con x 1 < x 2 se tiene f (x 1 ) ≥ f (x 2 ). Cuando las desigualdades entre las im´agenes se dan en sentido estricto se dice que f es estrictamente creciente o estrictamente decreciente en A, respectivamente.

1. Funciones reales de una variable 1.2 Conceptos generales

Propiedades de las funciones c´oncavas y convexas I

Propiedades Sea I ⊆ R un intervalo y f, g : I −→ R. (^1) Si f y g son convexas (resp. c´oncavas), entonces f + g es convexa (resp. c´oncava). An´alogo para el caso estricto.

(^2) Si f es convexa (resp. c´oncava) y α ≥ 0 , entonces αf es convexa (resp. c´oncava).

(^3) Si f es convexa (resp. c´oncava) y α ≤ 0 , entonces αf es c´oncava (resp. convexa).

(^4) En particular, si f es convexa (resp. c´oncava), entonces −f es c´oncava (resp. convexa). An´alogo para el caso estricto.

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1. Funciones reales de una variable 1.2 Conceptos generales

Propiedades de las funciones c´oncavas y convexas II

Propiedades Sea I ⊆ R un intervalo y f, g : I −→ R. (^5) Si f es estrictamente convexa (resp. estric. c´oncava) y α > 0 , entonces αf es estric. convexa (resp. estric. c´oncava).

(^6) Si f es estrictamente convexa (resp. estric. c´oncava) y α < 0 , entonces αf es estric. c´oncava (resp. estric. convexa).

1. Funciones reales de una variable 1.2 Conceptos generales

Funciones peri´odicas

Definici´on Sea K ∈ R. La funci´on f : D ⊆ R −→ R es peri´odica de per´ıodo K si para cada x ∈ D con x + K ∈ D se tiene que

f (x + K) = f (x).

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1. Funciones reales de una variable 1.2 Conceptos generales

M´aximos y m´ınimos locales

Definiciones Sea f : D ⊆ R −→ R. x 0 ∈ D es: (^1) un m´aximo local (o relativo) de f en D si y s´olo si existe r > 0 tal que para cada x ∈ (x 0 − r, x 0 + r) ∩ D se tiene que f (x 0 ) ≥ f (x).

Si la desigualdad es estricta (>) siempre que x 6 = x 0 , entonces x 0 es un m´aximo local estricto.

(^2) un m´ınimo local (o relativo) de f en D si y s´olo si existe r > 0 tal que para cada x ∈ (x 0 − r, x 0 + r) ∩ D se tiene que f (x 0 ) ≤ f (x).

Si la desigualdad es estricta (<) siempre que x 6 = x 0 , entonces x 0 es un m´ınimo local estricto.

1. Funciones reales de una variable 1.2 Conceptos generales

Puntos de inflexi´on

Definici´on Sea f : D ⊆ R −→ R. x 0 ∈ D es un punto de inflexi´on de f si y s´olo si existe r > 0 tal que f es c´oncava (convexa) en (x 0 − r, x 0 ) y es convexa (c´oncava) en (x 0 , x 0 + r).

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1. Funciones reales de una variable 1.3 Funciones elementales

La recta

La gr´afica de la funci´on f (x) = mx + n, definida por un polinomio de grado 1, es una recta con pendiente m. La pendiente mide el cambio en el valor de la funci´on por el aumento de una unidad de la variable x.

Si la pendiente m es positiva la recta est´a inclinada hacia arriba a la derecha, y cuanto mayor es el valor de m, m´as vertical es. Si la pendiente m es negativa la recta est´a inclinada hacia abajo a la derecha, y el valor absoluto de m mide la cuant´ıa de esta inclinaci´on. Si la pendiente m es cero, la recta es paralela al eje x (horizontal).

La recta x = a es paralela al eje y (vertical), y se dice que tiene pendiente infinita. Una recta queda determinada por dos puntos.

1. Funciones reales de una variable 1.3 Funciones elementales

La recta

Gr´aficas rectas con pendiente positiva y negativa

−1−1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

0

1

2

3

4

5

6

7

n

y=mx+n m>

x

y

−1−1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

0

1

2

3

4

5

x

y

n

−n/m

y=mx+n m<

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1. Funciones reales de una variable 1.3 Funciones elementales

La funci´on cuadr´atica

La gr´afica de la funci´on f (x) = ax^2 + bx + c, con a, b, c ∈ R y a 6 = 0, definida por un polinomio de grado 2, es una par´abola.

Las par´abolas son funciones que decrecen hasta un valor m´ınimo para crecer despu´es, o bien crecen hasta un valor m´aximo para decrecer despu´es.

Para dibujar la gr´afica de esta funci´on es conveniente calcular las coordenadas del m´aximo o m´ınimo (el v´ertice), as´ı como los puntos de corte con el eje de abscisas, es decir, los valores de x (si los hay) que cumplen ax^2 + bx + c = 0.

El v´ertice es el punto de abscisa x = − 2 ba.

Si a > 0 (a < 0), entonces f (x) = ax^2 + bx + c tiene un m´ınimo (m´aximo) en

− 2 ba , c − b

2 4 a

1. Funciones reales de una variable 1.3 Funciones elementales

La funci´on exponencial I

Se llama funci´on exponencial en base a a la asignaci´on f (x) = ax^ donde a > 0.

Si a = 1, la funci´on es constante (f (x) = 1). Si a > 1 , la funci´on es estrictamente creciente. Si a < 1 , la funci´on es estrictamente decreciente.

−1−3 −2 −1 0 1 2 3

0

1

2

3

4

5

6

x

y

y=ax

a> a<

1

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1. Funciones reales de una variable 1.3 Funciones elementales

La funci´on exponencial II

Habitualmente se entiende por funci´on exponencial, aqu´ella que tiene por base el n´umero e = 2. 71828...

−1−3 −2 −1 0 1 2 3

0

1

2

3

4

5

6

x

y

y=e−x

1

y=e y=e y=e−x−x−x^

y=ex

1. Funciones reales de una variable 1.3 Funciones elementales

La funci´on logar´ıtmica

La funci´on logar´ıtmica es la funci´on inversa de la funci´on exponencial.

Se expresa y = f (x) = loga x y se lee logaritmo en base a de x, lo que equivale a que ay^ = x.

La funci´on logar´ıtmica est´a definida en (0, ∞) y es estrictamente creciente si a > 1 ; estrictamente decreciente si a < 1. Si la base del logaritmo es el n´umero e, la funci´on se llama logaritmo neperiano y se denota por ln x. Propiedades: ln(xy) = ln x + ln y, para cualesquiera x, y > 0. ln

x y

= ln x − ln y, para cualesquiera x, y > 0. ln(xα) = α ln x, para cualesquiera x > 0 , α ∈ R. ln 1 = 0. 2014-2015 31 / 48

1. Funciones reales de una variable 1.3 Funciones elementales

La funci´on logaritmo neperiano

−5−1 0 1 2 3 4 5 6 7 8

−

−

−

−

0

1

2

3

x

y^

1

y=ln x

1. Funciones reales de una variable 1.3 Funciones elementales

La funci´on potencia

Tipos de gr´aficas de la funci´on potencia: f (x) = xn, f (x) = x−n, n ∈ N.

−0.5−1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.

0

1

2

x

y

y=xn, n número natural par

−1.5^ −2 −1 −0.5 0 0.5 1 1.

−

0

1

2

3 y=x

n, n>1 número natural impar

x

y

−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2

0

2

4

6

8

10 y=x−n, n número natural par

x

y

−10−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2

−

0

5

10

x

y

y=x−n, n número natural impar

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1. Funciones reales de una variable 1.3 Funciones elementales

La funci´on potencia

Tipos de gr´aficas de la funci´on potencia: f (x) = x^1 /n, n ∈ N.

−0.5−0.5 0 0.5 1 1.

0

1

1.5^ y=x

1/n, n número natural par

x

y

−2.5−10 −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 10

−

−1.

−

−0.

0

1

2

2.5^ y=x

1/n, n número natural impar

x

y

1. Funciones reales de una variable 1.3 Funciones elementales

Las funciones trigonom´etricas

Si se considera una circunferencia de centro el origen y radio unidad y un punto P de la circunferencia, las funciones sen x y cos x se definen como las coordenadas de P , donde x es el ´angulo formado por el eje positivo de abscisas y el vector OP medido en radianes. La funci´on tangente se define como el cociente de la funci´on seno y la funci´on coseno, cuando este cociente tiene sentido.

−1 −0.5 0 0.5 1

−

−0.

0

(^1) P tg x sen x cos x

x

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1. Funciones reales de una variable 1.3 Funciones elementales

Las funciones trigonom´etricas: seno y coseno

El dominio de las funciones seno y coseno es R, y ambas funciones toman valores comprendidos entre − 1 y 1.

Las funciones seno y coseno son peri´odicas de per´ıodo 2 π, es decir, sen(x) = sen(x + 2Kπ) y cos(x) = cos(x + 2Kπ), con K ∈ Z.

−1.5−4 −2 0 2 4 6 8 10 12 14

−

−0.

0

1

x

y

y=sen x

0

π/ 2 3 π/ 2 π

−π/ 2 −π 2 π

−1.5−4 −2 0 2 4 6 8 10 12 14

−

−0.

0

1

x

y

y=cos x

0 π/^2 3 π/ 2

π −π/ 2

2 π