Matematika 1, Apuntes de Matemáticas

¡Descarga Matematika 1 y más Apuntes en PDF de Matemáticas solo en Docsity!

Enpresarako Matematika I

Mª Angeles Inchausti Irazabal

Mª Isabel Orueta Coria

EUSKARA ERREKTOREORDETZAREN SARE

ARGITALPEN

AURKIBIDEA

I. GAI MULTZOA: MATRIZEAK ETA EKUAZIO LINEALEZKO SISTEMAK

1. gaia: MATRIZEAK ETA DETERMINANTEAK

1.1. Matrize errealak. Matrize motak………………………………………………………… 5 1.2. Matrize eragiketak. Propietateak……………………………………………………….. 8 1.3. Determinanteak: definizioa eta propietateak.…………………………………………. 10 1.4. Matrize baten alderantzizkoa…………………………………………………………… 13 1.5. Matrize ortogonala.………………………………………………………………………. 17 1.6. Matrize baten heina……………………………………………………………………… 18

2. gaia: EKUAZIO LINEALEZKO SISTEMAK

2.1. Definizioa. Adierazpen matriziala………………………………………………………. 21 2.2. Ekuazio linealezko sistemen eztabaida eta ebazpena....……………………………. 22 2.3. Ekuazio linealezko sistema homogeneoen adierazpena: azpiespazio bektoriala… 25 I. gai multzoko ariketak................................................................................................................ 28 II. GAI MULTZOA: MATRIZEEN DIAGONALIZAZIOA

3. gaia: BEKTOREAK

3.1. Bektore-eragiketak: batuketa, eskalar batez biderkatzea, konbinazio lineala, bektoreen biderketa..……………………………………………………………………. 35 3.2. Menpekotasun eta independentzia lineala.…………………………………………… 37 3.3. Ortogonaltasuna. Bektore baten norma. Ortonormaltasuna ……………………… 39

4. gaia: MATRIZEEN DIAGONALIZAZIOA

4.1. Balio propioa. Bektore propioa. Propietateak. Ekuazio karakteristikoa....……….. 42 4.2. Balio eta bektore propioen kalkulua.…………………………………………………. 46 4.3. Antzeko matrizeak. Diagonalizazioa..………………………………………………... 47

II. gai multzoko ariketak.………………………………………………………………………………………………………. 51

III. GAI MULTZOA: ALDAGAI BAKARREKO FUNTZIO ERREALEN KALKULU DIFERENTZIALA

5. gaia: ALDAGAI BAKARREKO FUNTZIO ERREALAK

5.1. Eremua. Aldagai bakarreko funtzio errealen jarraitutasuna………………………… 55 5.2. Deribagarritasuna. Deribatuen kalkulua. Goi-mailako deribatuak………………….. 59 5.3. Funtzio baten haztea eta gutxitzea. Funtzio baten ahurtasuna eta ganbiltasuna… 65 5.4. Funtzioen adierazpen grafikoa: funtzio linealak, polinomikoak, arrazionalak, trigonometrikoak, esponentzialak, logaritmikoak eta beste batzuk…. 71 III. gai multzoko ariketak …………………………………………………………………………………………………….. 78

1. gaia: MATRIZEAK ETA DETERMINANTEAK

1.1. Matrize errealak. Matrize motak 1.2. Matrize-eragiketak. Propietateak 1.3. Determinanteak. Definizioa eta propietateak 1.4. Matrize baten alderantzizkoa 1.5. Matrize ortogonala 1.6. Matrize baten heina

1.1. Matrize errealak. Matrize motak

1.1.1. Definizioa.

Errenkadatan eta zutabetan ordenatuta dagoen zenbaki errealen multzoari matrizea deritzogu.

m1 m2 mn

21 22 2n

11 12 1n

a a a

a a a

a a a A = ij ij ,,,....,....m n (a ) = = (^1 ) aij ∈R

a ij osagaia,^ i.^ errenkadan eta^ j.^ zutabean dagoen zenbakia izango da. A matrize batek m errenkada eta n zutabe dituenean, (m, n) ordenakoa dela esango dugu eta honela adieraziko dugu: A ∈ M(m,n).

Edozein matrizeren errenkadak eta zutabeak bektoreak direnez, aurreko matrizea honela ere irakur dezakegu:

A =

u m

u

u

M

M

2

1

u (a ,a ,...,a )

u (a ,a ,...,a )

u (a ,a ,...,a )

m m m mn

n

n

1 2

2 21 22 2

1 11 12 1

M

M u (^) i∈Rn^ i = 1 , 2 ,...,m

A = (v 1 v 2 L vn)

v (a ,a ,...,a )

v (a ,a ,...,a )

v (a ,a ,...,a )

n n n mn

m

m

1 2

2 12 22 2

1 11 21 1

M

M v (^) j∈Rm^ j = 1 , 2 ,...,n

A matrizearen azpimatrize bat lortzeko, errenkada edota zutabe batzuk kenduko ditugu.

Unitate-matrizea: matrize eskalar baten diagonal nagusiko osagai guztiak 1 direnean, eta besteak 0.

I n

Aurkako matrizea: A ∈ M(m,n) matrize bateko osagai guztien zeinua aldatzen

denean, eta honela idazten dugu: − A ∈M(m,n).

Matrize iraulia: A ∈ M(m,n) matrizearen iraulia, errenkadak zutabeekin

ordeztuz lortzen da, eta honela idazten dugu: AT ∈ M(n,m).

Matrize simetrikoa: A ∈ Mnsimetrikoa ⇔ AT^ = A.

Matrize antisimetrikoa: A ∈ Mn antisimetrikoa ⇔ AT^ = −A.

1.2. Matrize-eragiketak. Propietateak

1.2.1. Matrizeen batuketa

∀A , B∈M(m,n ) ∃C =A+B∈M(m,n) c (^) ij = aij+bij dela.

Propietateak:

• trukakorra: ∀A , B∈M(m,n) , A +B=B+A
• elkarkorra: ∀A , B,C∈M(m,n) , ( A+B)+C=A+(B+C)
• elementu neutroa: ∀A ∈M(m,n) , ∃ 0 ∈ M (^) ( m,n)/A+ 0 = 0 +A=A
• elementu simetrikoa: ∀A ∈M(m,n), ∃ − A ∈M(m,n)/ A+ (−A)=(−A)+A= 0

1.2.2. Eskalarra bider matrizea

∀λ ∈R eta (^) ∀A ∈M(m,n) ∃C =λ⋅A∈ M(m,n) c (^) ij = λ⋅aij dela.

Propietateak:

• elementu neutroa: ∀A ∈M(m,n) , ∃ 1 ∈ R / 1 ⋅A =A
• elkarkorra: ∀λ , μ∈R ∀A ∈M(m,n) , ( λ⋅μ)⋅A=λ⋅(μ⋅A)
• banakorra: ∀λ ,μ ∈R ∀A ∈M(m,n) , ( λ+μ)⋅A=λ⋅A+μ⋅A

∀λ ∈R ∀A , B∈M(m,n), λ⋅( A+B)=λ⋅A+λ⋅B

1.3. Determinanteak. Definizioa eta propietateak

Determinanteak oso tresna garrantzitsuak dira, besteak beste, ekuazio linealak ebazteko.

A ∈ M n matrize baten determinantea matrizea osatzen duten elementuekin

egindako zenbait biderkaduraren batura da. Beraz, zenbaki erreal bat izango da eta honela idazten da: | A |.

Matrize baten determinantea nola kalkulatu:

A ∈ M 1 denean: A = [a 11 ] A =a 11

A ∈ M 2 denean: (^) 

21 22

11 12 a a A a a A =a 11 ⋅a 22 −a 21 ⋅a 12

A ∈ M 3 denean: 

31 32 33

21 22 23

11 12 13

a a a

a a a

a a a A Sarrus-en erregelari jarraituko diogu:

A =a 11 ⋅a 22 ⋅a 33 +a 21 ⋅a 32 ⋅a 13 +a 12 ⋅a 23 ⋅a 31 −a 31 ⋅a 22 ⋅a 13 −a 32 ⋅a 23 ⋅a 11 −a 21 ⋅a 12 ⋅a 33

A ∈ M n matrizeetan n > 3 denean, determinantea kalkulatzeko, matrizeen

propietateaz baliatuko gara, eta determinante baten garapena landuko dugu lerro bateko elementuen bidez.

Propietateak:

1.- Matrize baten determinantea eta bere irauliarena berdinak dira: (^) A = AT.

2.- Matrize batean bi lerro ordezten badira, determinantearen zeinua aldatzen da.

3.- Matrize batean lerro bateko osagai guztiak zero badira, determinantearen balioa zero da.

4.- Matrize batean bi lerro berdinak badira, determinantearen balioa zero da.

5.- Matrize batean lerro bat besteen konbinazio lineala bada, bere determinantearen balioa zero da bestela, ez da zero izango.

6.- Matrize batean lerro bateko gaiak bi batugaitan zatitzen baditugu, matrize horren determinantea beste bi matrizeen determinanteen batuketa izango da, bakoitzak lerro horretako batugai bat duela.

7.- Matrize batean lerro bati beste lerroen konbinazio lineal bat gehitzen bazaio, determinantearen balioa ez da aldatzen.

8.- Matrize batean lerro bateko osagai guztiak eskalar batez biderkatzen badira, determinantearen balioa hasierako matrizearena bider eskalar hori izango da.

Ondorioz, A ∈ Mn eta k ∈R orduan k ⋅ A=kn^ ⋅A.

9.- Bi matrizeren biderketaren determinantea matrizeen determinanteen biderketa izango da.

∀A , B∈M n A ⋅B=A⋅B

Propietate gehiago

1.- Matrize triangeluar edo diagonal baten determinantea bere diagonal nagusiaren osagaien biderkadura da.

2.- Matrize batean errenkada edo zutabe bateko osagaien eta beste errenkada edo zutabe bateko adjuntuen biderkaduraren batura zero da.

1

∑ ⋅^ =

=^ ik

n i ij^

a A j ≠k

0 1

∑ ⋅^ =

=^ kj

n j ij^

a A i ≠k

1.4. Matrize baten alderantzizkoa

1.4.1. Matrize adjuntua

A ∈ M n matrizearen adjuntua A^ α ∈ Mn izendatuko dugu, eta bere irauliaren

osagai bakoitzak barik, horien adjuntuek osatuko dute.

n1 n2 nn

21 22 2n

11 12 1n

a a a

a a a

a a a A ⇒ 

1n 2n nn

12 22 n

11 21 n T

a a a

a a a

a a a A ⇒ 

1n 2n nn

12 22 n

11 21 n α

A A A

A A A

A A A

A

Eta honako hau betetzen da: A ⋅ Aα=Aα⋅A=A⋅In

1.4.2. Alderantzizko matrizea

A ∈ M n matrizearen alderantzizkoa A −^1 ∈ Mn izendatuko dugu eta honako hau

egiaztatzen du: A ⋅ A−^1 =A−^1 ⋅A=I n

Proposizioa: Matrize bat alderantzikatu ahal izateko, nahikoa da, eta ezinbestekoa, determinantea, zero ez izatea:

A alderantzikagarria ⇔ A erregularra Froga:

• A alderantzikagarria ⇒ ∃A −^1 /A⋅A−^1 =A−^1 ⋅A=I ⇒ A ⋅ A−^1 =I ⇒

A ⋅ A−^1 = 1 ⇒ A≠ 0

• A erregularra ⇒ A ≠ 0 ⇒ A ∈ Mn/ A ⋅ Aα^ =Aα⋅A=A⋅In⇒

A ⋅ (^) A⋅Aα^ = A⋅Aα⋅A=I n (^1 1) ⇒ ∃ − (^) = ⋅Aα A (^) A

1.4.3. Propietateak

1.- Matrize erregular baten alderantzizko matrizea bakarra da.

Froga:

Demagun A ∈ Mn matrize alderantzikagarria eta B ∈ Mn eta C ∈Mn

alderantzizko matrizeak ditugula. Hau da: A ⋅ B=B⋅A=I n eta A ⋅C=C⋅A=In

Beraz, honela idatz dezakegu: B =I⋅B=(C⋅A)⋅B=C⋅(A⋅B)=C⋅I=C

⇒B = C

4.- A, B∈ Mn matrize erregularrak badira, orduan ( A⋅ B)erregularra izango da

eta ( A⋅ B)−^1 =B−^1 ⋅A−^1.

Froga:

A ⋅ B =A⋅B≠ 0 ( A eta B erregularrak baitira) ⇒ ( A⋅ B)erregularra ( A⋅ B )erregularra denez, ∃( A ⋅B)−^1 / ( A⋅ B)⋅(A⋅B)−^1 =(A⋅B)−^1 ⋅(A⋅B)=I A −^1 matrizeaz aurretik biderkatuz ⇒ A −^1 ⋅ A⋅B⋅(A⋅B)−^1 =A−^1 ⋅I A alderantzikagarria denez ⇒ B⋅ (A⋅B)−^1 =A−^1 B −^1 matrizeaz aurretik biderkatuz ⇒ B−^1 ⋅ B⋅(A⋅B)−^1 =B−^1 ⋅A−^1 B alderantzikagarria denez^ ⇒^ (A⋅^ B)−^1 =B−^1 ⋅A−^1

5.- A ∈ Mn erregularra bada, orduan AT ∈ Mn erregularra izango da, eta

( AT^ )−^1 = (A−^1 )^ T.

Froga:

AT^ = A≠ 0 ( A erregularra baita) ⇒ AT erregularra ⇒ AT alderantzikagarria A erregularra denez, A ⋅ A−^1 =I Matrizeak irauliz ⇒ ( A⋅ A−^1 )T^ =IT⇒ ( A−^1 )T^ ⋅AT =IT =I

( AT^ )−^1 matrizeaz atzetik biderkatuz ⇒ ( A−^1 )T⋅ AT⋅(AT)−^1 =I⋅(AT)−^1 A^ T erregularra ⇒ AT alderantzikagarria ⇒ A T^ ⋅ (AT)−^1 =I ⇒ ( AT^ )−^1 =(A−^1 )T

6.- A ∈ Mn erregularra bada, A −^1 = A^1.

Froga: A erregularra ⇒ A ≠ 0 ⇒∃A−^1 ∈Mn/A⋅A−^1 =I⇒A⋅A−^1 =I ⇒

⇒ A ⋅ A−^1 = 1 ⇒A −^1 = A^1

1.5. Matrize ortogonala

A ∈ M nmatrizea ortogonala izango da, A −^1 = AT denean. Beraz: A ⋅AT^ =AT⋅A= I

Propietateak:

1.- A ∈ Mn ortogonala bada, bere determinantearen balioa 1 edo -1 da.

Froga:

A ortogonala ⇒ A ⋅ AT^ =I⇒ A⋅AT =I ⇒ A ⋅ AT = 1 ⇒ A⋅A= 1 ⇒A=± 1

2.- A, B∈ Mn ortogonalak badira, (^) ( A⋅ B)ortogonala izango da.

Froga:

( A⋅ B)⋅(A⋅B)T^ =A⋅B⋅BT⋅AT =( (^) B ortogonala denez B ⋅ BT^ =I) = A⋅ AT =

( A ortogonala denez A ⋅ AT^ =I) = I ⇒ ( A⋅ B)ortogonala

3.- Elementu neutroa: ∀A ∈Mn ortogonala ∃I (^) nortogonala eta A ⋅In =In⋅A=A

Froga:

In ⋅ InT =In⋅In=I n ⇒ I (^) nortogonala

1.6.2. Kalkulua.

1.- 0 ez den A matrizearen minor bat bilatzen da. Demagun r ordenakoa dela.

2.- r + 1 ordenako beste minorrik ez bada, orduan matrizearen heina r izango da. r + 1 ordenako beste minorrik bada, geratzen diren errenkadak eta zutabeak r ordenako minorrari gehituz lortzen direnak hartuko ditugu kontuan. Prozesu horretan, ordenari jarraitzeko, lehenengo errenkada bat gehitzen zaio, eta banan-banan zutabeak gehituz joango gara, gero errenkadaz aldatzen da, eta beste horrenbeste egiten da.

Horrela lortutako minor guztiak zero badira, matrizearen heina r izango da.
Horrela lortutako minorren bat zero ez bada, orduan matrizearen heina gutxienez r + 1 izango da, eta prozesua errepikatuko da errenkadak eta zutabeak gehituz.

. 2. gaia: Ekuazio linealezko sistemak 2. gaia: EKUAZIO LINEALEZKO SISTEMAK

2.1. Definizioa. Matrize-adierazpena 2.2. Ekuazio linealezko sistemen eztabaida eta ebazpena. 2.3. Ekuazio linealezko sistema homogeneoen adierazpena: azpiespazio bektoriala.