¡Descarga matematika II y más Apuntes en PDF de Matemáticas solo en Docsity!
3 Aldagai askoko kalkulu integrala
3.1 Integral bikoitzaren kontzeptua barruti bornatuetan
3.1.1 Riemannen integrala
Matematika I irakasgaian ( )
b a
∫ f^ x dx integrala definitu genuen aldagai bateko^ f^ ( )x^ funtzioa eta
a ≤ x ≤ btartea genuenean.
f ( )x funtzioa jarraitua bada [a,b] tartean integragarria da [a,b] tartea, hau da, ( )
b a
∫^ f^ x dx
existitzen da Interpretazioa: funtzioak eta [a,b] tartean defiinitzen duen azalera.
Kontzeptu hori, R 2 espazioko R barruti itxi eta bornatuan (trinkoan) definitua eta bornatua den f ( ,x y )bi aldagaiko funtzioentzako orokor dezakegu.
Demagun f : R ⊂ R 2 →R , R = [a, b]×[c,d]errektangelu trinkoan bornatua izanik.
x
y
a (^) b
c
d
f(x,y) Gf
a b
f(x)
x
R 2 -ko R barruti trinkoan (^) f ( ,x y )funtzioa jarraitua bada integragarria da R barrutian, hau da, ( , ) R
∫∫ f^ x y dxdyexistitzen da
R oinarria eta Gf sabaia duen “zutabearen” bolumena.
3.2 Integral bikoitzaren propietateak
Positibotasuna: f funtzioa R barrutian integragarria bada eta f ≥ 0 bada, orduan
( , ) 0. R
∫∫^ f^ x y dxdy^ ≥
Linealtasuna: f eta g funtzioak R barrutian integragarriak badira eta λ eta μ bi zenbaki erreal
badira, orduan
( ( , ) ( , )) = ( , ) ( , ) R R R
∫∫ λ⋅^ f^ x y^ +^ μ⋅^ g x y^ dxdy^ λ∫∫ f^ x y dxdy^ +μ∫∫ g x y dxdy.
Batukortasuna barrutian: f funtzioa R barrutian integragarria bada, eta R 1 eta R 2 R-ko bi zati badira
( R = R 1 ∪ R 2 ), orduan f funtzioa R 1 eta R 2 multzoetan ere integragarria da eta hau betetzen da:
1 2
R R R
∫∫ f^ x y dxdy^ ∫∫ f^ x y dxdy^ +∫∫ f^ x y dxdy
Eta R barrutia desberdintza hauen bitartez definitua dagoenean: c ≤ y ≤ d eta φ( y) ≤ x ≤ψ ( y),
φ ( y)eta ψ ( y)funtzioak [ ,c d ]tartean jarraituak izanik, honela kalkulatuko dugu integral bikoitza: ( ) ( )
d y R c y
f x y dxdy f x y dxdy
ψ φ
Orokorragoak diren barrutietan ere baliagarria da metodo hau: barrutia lehen aipatu bezala zatitu ondoren, batukortasun-propietatea aplikatuko dugu barrutian.
