Matemàtiques 2BTL Optimització Curs 2020 – 2021
!
1!
1. Calcula el màxim volum que pot tenir un cilindre inscrit en una esfera de radi 10cm.
2. Troba les dimensions d’un triangle isòsceles de 10cm de perímetre que tingui àrea
màxima.
3. Disposem d’un full de 20 cm d’amplada i 30 cm de
llargada. Es vol construir un ortoedre sense tapa
retallant les 4 cantonades del full, tal i com es veu a la
figura. De quants centímetres han de ser els talls perquè
el volum del ortoedre sigui màxim?
4. Disposem d’un full de 20 cm d’amplada i 30 cm de
llargada. Si retallem de una les quatre cantonades amb
un tall de que va del punt mig d’un costat del paper al
punt mig de costat contigu del paper, tal i com s’indica
a la figura, quines serien les dimensions del rectangle
d’àrea més gran possible que es pot aconseguir retallant
la part de paper de color gris.
5. Un full de paper ha de contenir 18 cm2 de text imprès. Els marges superior i inferior
han de tenir 2 cm cada un, i els laterals 1 cm. Es demanen les dimensions del full perquè
les despeses en paper siguin mínimes.
6. Un jardiner vol fer una tanca rectangular amb tres costats, aprofitant una paret d’un
recinte. Sabem que el preu per metre del costat paral·lel a la tanca és de 8€/m i en
canvi els costats perpendiculars tenen un preu de 4€/m. Si tinc 400€ de pressupost
per a fer la tanca, quines són les dimensions de la tanca que tanquen una superfície
màxima? La tanca és un rectangle o un quadrat?
7. Una fàbrica, situada a 12 km de la vora d’un riu rectilini, ha de transportar els seus
productes a una ciutat situada a la vora del riu i a 80 km del punt d’aquest riu que
sigui més proper a la fàbrica. El transport de mercaderies en camió costa 0,90 € per
tona i km i el transport en gavarra pel riu costa 0,40 € per tona i km. En quin punt de
la vora del riu s’ha de carregar la mercaderia en gavarres perquè el cost del transport
sigui mínim?
8. Troba dos nombres positius tals que la suma doni 20 i el producte sigui màxim.
9. Troba entre tots els rectangles de perímetre 200 centímetres el que té la diagonal
mínima.
10. Amb un filferro de 10 metres de longitud volem construir un rectangle. Quines n’han
de ser les dimensions perquè la superfície sigui màxima?
11. Es vol construir una piscina de fons quadrat, amb 32 m3 de capacitat, de manera que
la superfície total (de les parets més el fons) sigui mínima. Quines dimensions ha de
tenir la piscina?
12. Es vol construir un marc de fusta de 8 m2 de superfície. Sabent que el tros de marc
horitzontal costa 2 € el metre i el tros vertical 4 €, troba les dimensions que cal donar
al marc perquè el cost sigui màxim. Calcula el preu del marc.
