¡Descarga Apunts i exercicis optimització y más Apuntes en PDF de Matemáticas solo en Docsity!
4. Optimització
Vejam algunes propietats geomètriques de la gràfica de la funció y = f (x) que es poden descobrir mitjançant l’anàlisi de la derivada. Totes estan basades en el fet que la derivada en un punt f ′(x 0 ) és la pendent de la recta tangent a la gràfica en el punt x 0.
4.1 Creixement i decreixement
Definició 4.1 Direm que una funció f (x) és
- creixent en un interval ]a, b[ si per a qualsevol parell de nombres x 1 , x 2 de ]a, b[ es compleix
que sempre que x 1 < x 2 aleshores f (x 1 ) < f (x 2 ).
- decreixent en un interval ]a, b[ si per a qualsevol parell de nombres x 1 , x 2 de ]a, b[ es compleix
que sempre que x 1 < x 2 aleshores f (x 1 ) > f (x 2 ).
a x0 b
a
x0 b
Figura 4.1: Funció creixent en ]a, b[. Funció decreixent en ]a, b[.
Com s’observa en les anteriors gràfiques el creixement/decreixement es pot intuir a partir del signe de la pendent de la recta secant en punts pròxims de la funció, o bé a partir del signe de la pendent de la recta tangent(derivada). Així, si f ′(x 0 ) > 0 , la funció és (estrictament) creixent en els voltants de x 0 (esquerra de la figura anterior), i si f ′(x 0 ) < 0 , la funció és (estrictament) decreixent en els voltants de x 0 (dreta gràfica anterior).
Teorema 4.1.1 Siga f (x) una funció derivable.
- Si f ′(x) > 0 per a cada punt x d’un interval ]a, b[, aleshores f (x) és creixent en ]a, b[.
- Si f ′(x) < 0 per a cada punt x d’un interval ]a, b[, aleshores f (x) és decreixent en ]a, b[.
- Si f ′(x) = 0 per a cada punt x d’un interval ]a, b[, aleshores f (x) és constant en ]a, b[.
Com a conseqüència del resultat anterior, el que farem per tal de trobar els intervals de creixe- ment/decreixement és calcular la derivada de la funció i igualar a zero. Els punts on s’anul·le la derivada són els que “separen” els intervals de creixement/decreixement al ser la funció contínua. Per conèixer de quin tipus són només cal determinar el signe de la derivada a l’esquerra i dreta del punt on s’anul·la: si és positiu la funció és creixent en l’interval corresponent i si és negatiu decreixent.
Exemple 4.1.2 Determina els intervals de creixement/decreixement de la funció
f (x) = x^3 − 3 x^2 − 24 x + 32.
50
100
4.2 Extrems relatius
La derivada també ens pot servir per a determinar certs punts notables de la gràfica, com per exemple els màxims i mínims relatius.
Definició 4.2 Direm que una funció derivable, f (x), té
- un màxim relatiu en x = c si existeix un interval obert, ]a, b[ que conté a c tal que
f (x) ≤ f (c), per a tot punt x de l’interval ]a, b[.
- un mínim relatiu en x = c si existeix un interval obert, ]a, b[ que conté a c tal que
f (x) ≥ f (c), per a tot punt x de l’interval ]a, b[.
Direm que f té un extrem relatiu en x = c si és una màxim/mínim relatiu.
Propietat 4.3 Si la funció, f (x), té en x = c un extrem relatiu, aleshores
f ′(c) = 0.
Figura 4.2: Màxims i mínims relatius
Noteu que no sempre que una funció f (x) tinga primera derivada nul·la en un punt, té un màxim o mínim relatiu. Per exemple, la funció y = f (x) = x^3 té per primera derivada, f ′(x) = 3x^2 i s’anul·la en x = 0, però f no té un extrem relatiu en x = 0.
Definició 4.4 Direm que un punt x 0 del domini d’una funció f (x) és un punt crític si
f ′(x 0 ) = 0 o bé f ′(x 0 ) no existeix.
4.3 Concavitat i convexitat
Vejam un altre concepte, que acostuma a ser confús/problemàtic en la nomenclatura, per tal d’en- tendre millor la gràfica d’una funció. Els ”americans“ que solen ser molt pràctics han resolt el problema anomenant-ho “concave down” i “concave up”.
Definició 4.5 Siga f (x) una funció diferenciable en un interval ]a, b[. Direm que la funció f és còncava en ]a, b[, quan la gràfica de f està per dalt de la tangent i convexa en el cas contrari. O més formalment, f (x) és còncava en ]a, b[ si f ′(x) és creixent en ]a, b[ i convexa si f ′(x) és decreixent.
còncava convexa
Per tal de determinar els intervals de concavitat/convexitat utilitzarem el següent resultat.
Teorema 4.3.1 Siga f (x) una funció diferenciable en un interval ]a, b[.
- Si f ′′(x) > 0 per a tots els punts x de ]a, b[, aleshores f és còncava en ]a, b[.
- Si f ′′(x) < 0 per a tots els punts x de ]a, b[, aleshores f és convexa en ]a, b[.
En la pràctica utilitzarem el següent test per determinar on la funció és còncava/convexa.
Test concavitat/convexitat.
- Es troben els punts que anul·len la segona derivada (les solucions de l’equació f ′′(x) = 0) i on no està definida aquesta segona derivada.
- Es determina, donant valors, el signe de la segona derivada, f ′′(x), a l’esquerra/dreta dels punts anteriors en cadascun dels intervals trobats.
Exemple 4.3.2 Determina els intervals en què la funció següent és còncava/convexa,
f (x) = x^3 − 3 x^2 − 24 x + 32.
Ara calculem la segona derivada i busquem les arrels de l’equació f ′′(x) = 6x − 6 = 0. Només s’anul·la en un punt, x = 1, i la segona derivada està definida sempre (és un polinomi). Per tant, donant valors a esquerra i dreta observem que f ′′(−2) < 0 , f ′′(3) > 0
i podem representar
Per tant, és convexa en ] − ∞, 1[ i còncava en ]1, +∞[. Noteu que en el punt x = 1 la funció canvia de convexa a còncava, la següent definició li dóna un nom a aquest tipus de punts.
Optimització
Definició 4.6 Direm que x 0 és un punt d’inflexió de la gràfica de la funció derivable f (x) si la funció canvia de “concavitat”, és a dir, passa o bé de còncava a convexa en x 0 o bé de convexa a còncava en x 0.
x
x
Figura 4.3: Punts d’inflexió
Per tal de determinar els punts d’inflexió d’una funció:
- Calcula f ′′(x).
- Determina els punts x 0 del domini de f per als quals f ′′(x) = 0 o bé f ′′(x) no existeix.
- Calcula el signe de f ′′(x) a l’esquerra i a la dreta de cadascun dels punts x 0. Si hi ha un canvi de signe, aleshores (x 0 , f (x 0 )) és un punt d’inflexió de f.
4.4 Màxims i mínims absoluts
Abans hem estudiat com determinar els màxims/mínims relatius d’una funció, els valors majors/menors en una “part” de la gràfica d’una funció. Ara volem determinar, si n’hi ha, quin és el valor més menut (mí- nim absolut) i el més gran (màxim absolut) que pren una funció en un determinat domini.
Definició 4.7 Siga f una funció, direm que un punt x 0 del domini de f és màxim absolut si per a tot punt x del domini de f es compleix f (x) ≤ f (x 0 ).
Direm que un punt x 0 del domini de f és mínim absolut si per a tot punt x del domini de f es compleix
f (x) ≥ f (x 0 ).
Una funció no sempre ha de tenir un màxim i mínim absolut en qualsevol domini. Per exemple, la funció f (x) = x o bé g(x) = x^3 no tenen mínim/màxim absolut quan es considera com a domini tots els nombres reals. Nogensmenys, el següent resultat ens assegura que en un interval tancat i fitat si en tindrien.
Teorema 4.4.1 Si f és una funció contínua definida en un interval tancat [a, b], aleshores f té màxim i mínim absolut en [a, b].
Per a calcular els extrems absoluts d’una funció contínua f en un interval tancat [a, b] seguirem els passos següents:
- Determinem els punts crítics de f en ]a, b[ (interval obert). Suposem que siguen x 0 , x 1 ,...
- Calculem f (x 0 ), f (x 1 ),... per a cada punt crític que hem trobat en ]a, b[.
- Calculem també f (a) i f (b).
- El valor més gran entre els valors de {f (a), f (b), f (x 0 ), f (x 1 ),... } és el màxim absolut de f en [a, b] i, anàlogament, el valor menor de {f (a), f (b), f (x 0 ), f (x 1 ),... } és el mínim absolut de f en [a, b].
Optimització
- Sabem que una colònia de bacteris Escherichia coli duplica la seua població cada 20 minuts quan es cultiva en un medi ideal en el laboratori.
(a) Si comencem amb una colònia de 100 bacteris, determina la funció Q(t) que expressa el creix- ement de la colònia en funció del temps t mesurat en minuts. (b) Quan tindrem una colònia de 1000 bacteris? (c) Si la població inicial és de 1000 bacteris ¿Quina és la funció que dóna el creixement?
- Volem tancar un recinte de forma rectangular i tenim 50 metres de material per a construir la tanca. Determina les dimensions del rectangle que amb els 50 metres de material ens permet tancar la majoràrea possible.
- Una companyia que envasa sopa necessita uns pots de 135cm^3. Determina el radi i l’altura per fer servir la menor quantitat de metal (l’àrea d’un disc és πr^2 i la superfície d’un cilindre és 2 πrh on r és el radi i h l’altura).
- Alguns ocells durant el dia volen més poc a poc sobre l’aigua que sobre terra. Suposem que un d’aquests ocells vola a velocitat constant de 2 milles per hora sobre aigua i de 6 milles per hora sobre terra. Suposem que comença el seu viatge en el punt E d’una illa i l’acaba en el seu niu N situat en la mateixa vora de terra ferma, tal com indica el següent dibuix
P N
E
3 m
x 12 − x
Troba el punt P que permet a l’ocell fer el recorregut en el menor temps possible.
- El ministeri de l’interior d’un país africà estudia la qualitat de la vida salvatge del seu país. Aquest índex, durant el període de 10 anys comprés entre els anys 1984 i 1994, el van aproximar mitjançant la funció I(t) =
50 t^2 + 600 t^2 + 10
0 ≤ t ≤ 10.
(a) Comprova que I(t) decreix al llarg d’aquests 10 anys. (b) Estudia la concavitat de la gràfica de I(t). (c) Interpreta els resultats.
- Durant una epidèmia de grip, el nombre d’estudiants d’aquesta universitat que el dia x s’havien contagiat de la malaltia està donat per
N (x) =
1 + 99e−x^
(a) Quants estudiants hi havia quan va començar l’epidèmia? (b) Calcula la velocitat de contagi i comprova que la funció N (x) és creixent. (c) Quin és el nombre total d’estudiants que van contraure la grip durant aquesta epidèmia?
- Qualsevol polinomi de grau 3 es pot escriure com a
f (x) = ax^3 + bx^2 + cx + d,
amb a, b, c i d nombres reals.
(a) Determina l’únic polinomi de grau 3 determinat per les condicions
f (0) = 4, f ′(0) = 6, f ′′(0) = 0, f (1) = 8.
(b) Una vegada determinat el polinomi de l’apartat anterior, troba ara els seus punts crítics. (c) Determina els màxims i els mínims. (d) Determina els intervals de creixement i decreixement. (e) Calcula l’equació de la recta tangent a f en x = 1. (f) Sabem que f ′′(0) = 0, vol dir això que f té un punt d’inflexió en x = 0?
- (gener 10)
(a) Donada la funció f (x) = ax + b +
x
calcula a i b per a que f passe pel punt (− 2 , −6) i tinga tangent horitzontal en aquest punt. (b) Estudia els intervals de creixement de la funció
f (x) = ex(x^2 − 3 x + 1)
i calcula els màxims i els mínims de f. (c) El propietari d’una granja de conills especialitzada en subministrar als laboratoris científics vol vendre una partida de 400 conills. Inicialment el preu de cada conill és de 30 euros. El propietari vol augmentar el preu de venda. Sap, però, per experiència que, per cada euro que augmente el preu, en vendrà 10 exemplars menys, i a més a més, mantenir als exemplars no venuts en la granja li suposa 5 euros per conill. Ajuda el propietari a trobar el preu amb el que obtindrà un benefici màxim.
- (juliol 10) Donada la funció f (x) = x^3 − 6 x^2 + 9x + 2.
(a) Troba la derivada en els punts − 1 , 2 i 4. (b) Determina la recta tangent en x = 2. (c) Calcula els màxims i mínims relatius de f (x). (d) En x = 4, és f (x) creixent? és decreixent?
- (juliol 10) Una empresa de telefonia vol llançar al mercat una oferta de tarifa plana d’internet. Un es- tudi realitzat afirma que amb la tarifa or de 36 euros/mes podrien aconseguir-se 4800 contractes nous. Ademés, segons l’estudi, per cada euro menys en la tarifa, el nombre de contractes s’incrementaria en 150. Es demana:
(a) Expressa l’ingrés total previst com a funció d’una variable. Explica el significat de la variable utilitzada.
(b) Quina hauria de ser la tarifa per a que l’empresa obtinga el màxim ingrés? Quin és aquest ingrés, i quants abonats aconseguiria? Justifica que l’ingrés obtés és màxim.
- (gener 11) Donada la funció
f (x) = x · e−x
2 .
(a) Calcula els intervals de creixement de f (x). (b) Calcula els màxims i els mínims de f (x). (c) Dona l’equació de la recta tangent a la gràfica de f (x) en x = 0 (d) Calcula els intervals on la funció f (x) és còncava i on és convexa, i també els seus punts d’inflexió.
- (juliol 12) Donada la funció f (x) = x^4 + ax^3 + bx^2 + cx + 7.
(a) Determina a, b i c si sabem que:
- la recta tangent a f (x) en x = 0 és horitzontal.
- f (x) talla a l’eix OX en x = 1.
- f (x) té un extrem relatiu en x = − 2. (b) Calcula l’equació de la recta tangent a f (x) (amb els coeficients trobats en l’apartat anterior) en el punt x = 1. (c) Ara determina els intervals de creixement/decreixement, màxims i mínims relatius, intervals de concavitat/convexitat i els punts d’inflexió de la funció anterior amb els coeficients trobats en el primer apartat.
- (juliol 12) Una colla de treballadors ha de realitzar la collita d’un gran camp de taronges a partir del dia 1 de desembre. Si la collita es fa el 1 de desembre, només es poden collir 60 tones i el preu serà de 100 euros/tona. Sabem que, a partir d’aquest dia per la proximitat de Nadal, la quantitat que es pot collir augmenta en 3 tones al dia però el preu disminueix en 2 euros/tona al dia.
(a) Determina la funció que expressa els ingressos que obtindria la colla de treballadors en funció del número de dies que passen del 1 de desembre. (b) Calcula quin dia de desembre obtindrien els ingressos màxims. (c) Quin és el valor màxim dels ingressos? (d) Determina els dies que tenen que passar per tal que els ingressos siguen els mateixos que el dia 1 de desembre(dia zero).
- (gener 13) Considerem la funció
f (x) =
3 x^2 + 4x e^2 x^
a) Calcula els màxims, mínims, intervals de creixement/decreixement de f. b) Calcula la recta tangent a la gràfica de f en x = 0.
- (gener 13) Un ramader compra vedells de 90 kg per 180 e. Suposem que alimentar cadascun dels animals li costa 1’64 e/dia i que el vedell augmenta de pes 1’2 kg al dia(la mitjana durant el procés de cria). D’una altra banda, cada dia que passa, el valor del kilo de l’animal en el mercat disminueix de manera que després de t dies, el preu per kilo en cèntims d’euro es pot aproximar per la funció p(t) = 200 − 215 t.
a) Troba les funcions que descriuen el pes i el valor en el mercat del vedell després de t dies de la compra. b) Escriu la funció que dona el benefici del ramader si ven el vedell als t dies de la compra. c) Ajuda el ramader a determinar el dia en que deuria de vendre els vedells per tal que els beneficis foren els màxims. Determina el pes del vedell, el preu del kilo i el benefici del ramader si ven eixe dia.
- (juliol 13)
(a) Determina la funció f (x) = ax^3 + bx si sabem que passa per el punt (1, 1) i que en aquest punt la seua recta tangent és paral·lela a 3 x + y = 0.
(b) Determina ara els intervals de creixement, màxims, mínims i punts d’inflexió de la funció f (x) determinada en l’apartat anterior.
Optimització
- (juliol 13) Una empresa que fabrica bicicletes ven, cada mes, la totalitat de la producció. Si anomen- em x al número de bicicletes que produeix mensualment, sabem que les despeses mensuals de la empresa les podem aproximar per la funció C(x) = 180x + 12000, i el ingressos per la funció I(x) = 500x − x
2
Quantes bicicletes ha de produir mensualment l’empresa per tal d’obtenir el màxim benefici? En aquest cas determina quan guanya per cada bicicleta.
- (gener 13-14) a) Calcula el valor de x tal que la recta tangent a f (x) = ln(x^2 + 1) en eixe punt siga paral·lela a la recta tangent a g(x) =
x en el punt x = 14.
b) Troba una funció polinòmica de tercer grau que tinga un extrem relatiu en (− 1 , 3) i un punt d’inflexió en (0, 1).
- (gener 13-14) Es vol elaborar una caixa com la del dibuix a partir d’una peça rectangular de cartró de 60 cm de longitud i 30 cm d’ample. Troba les dimensions de la caixa amb la qual s’obté el volum màxim. Quin és el volum màxim?
- (juliol 13-14) Considerem la funció f (x) = (x^2 + 4)
x + 3.
(a) Determina el domini de la funció i el valor de f ′(x).
(b) Troba els intervals de creixement i decreixement de la funció i els seus màxims/mínims.
(c) Troba l’equació de la recta tangent a f en x = 1.
- (juliol 13-14) En un terreny de la nostra propietat amb una caseta construida de 5 m d’ample i 10 m de llarg volem fer un jardí como el que apareix en el dibuix. Per tal de tancar el jardí disposem de 65 m de tanca.
(a) Determina les dimensions per tal que la superfície del nostre jardí siga màxima.
(b) Quina serà aquesta superfície?
- Troba el valor de x per tal que les rectes tangents a les corbes y = f (x) = 3x^2 − 2 x + 5 i y = g(x) = x^2 + 6x siguen paral·leles en el mateix valor x, i escriu les equacions d’aquestes rectes.
Optimització
(b) Intervals de creixement i decreixement. (c) Màxims i mínims locals.
- (Pau-Juny 2013-MatII) Es va estudiar el moviment d’un meteorit del sistema solar durant un mes. Es va obtenir que l’equació de la seua trajectòria T és y^2 = 2x + 9, sent − 4. 5 ≤ x ≤ 8 i y ≥ 0 , estant situat el sol en el punt (0, 0). Calculeu raonadament:
(a) La distància del meteorit al Sol des d’un punt P de la seua trajectòria l’abscissa del qual és x. (b) El punt P de la trajectòria T on el meteorit aconsegueix la distància mínima al Sol. (c) La distància mínima del meteorit al Sol.
- (Pau-Setembre 2012-MatII) Es vol construir un depòsit cilíndric de 100 m^3 de capacitat, obert per la part superior. La base és un cercle en posició horitzontal de radi x i la paret vertical del depòsit és una superfície cilíndrica perpendicular a la base. El preu del material de la paret vertical és 2 euros/m^2. Obteniu:
(a) L’àrea de la base en funció del seu radi. (b) L’àrea de la paret vertical del cilindre en funció de x. (c) La funció f (x) que dóna el cost del depòsit. (d) El valor x del radi de la base per al qual el cost del depòsit és mínim ie el valor del dit cost mínim.
- Estudia el creixement/decreixement i els extrems relatius de la funció f (x) = (^2) −sincos^ x x en l’interval [−π, π].
- Determina el domini, intervals de creixement/decreixement i els possibles màxims/mínims relatius de les funcions següents:
a) f (x) = ex(x − 2), b) g(x) = (^1) x + ln x,
c) h(x) = (^3) x−^1 x 2 , d) j(x) = x^5 − 8 x^2.
- Considerem la funció f (x) = −ax^2 + bx, amb a i b paràmetres reals.
(a) Determina si per a a = 4 existeix algún valor de b per al qual f (x) tinga un màxim en x = 12. (b) Troba els intervals de creixement/decreixement de la funció trobada.
- Donada la funció f (x) = x
3 3 −^4 x−^
8 3 troba l’equació de la recta tangent que passa pel punt d’inflexió.
- Sabent que el punt d’abscissa x = − 2 és un punt d’inflexió de la gràfica de f (x) i que la recta d’equació y = 16x + 16 és tangent a la gràfica de f (x) en dit punt, determina:
f (−2), f ′(−2), f ′′(−2).
- Donada la funció f (x) = (^) x−^44 + (^2) x^27 +2 , calcular
(a) El seu domini. (b) Els intervals de creixement/decreixement. (c) Els punts d’inflexió.
- Donada la funció f (x) = 2 cos^2 x, es demana:
(a) Determina els extrems absoluts de f (x) en [− π 2 , π 2 ]. (b) Determina els punts d’inflexió de f (x) en [− π 2 , π 2 ].
- Estudia el domini, creixement/decreixement, extrems relatius, concavitat/convexitat i punts d’inflexió de les funcions següents:
a) f (x) = (3x^2 − 9)ex, b) g(x) = x
(^2) − 3 x+ x− 1
c) h(x) = x
4 − x^2 , d) j(x) = (x+3)
2 ex^.
- Determina els extrems absoluts de la funció f (x) = x^2 − 4 x + 4 en l’interval [1, 4].
- Donada la funció f (x) = ae
2 x 1+x es demana: (a) Troba el valor de a per tal que la pendent de la recta tangent a la funció en x = 0 valga 2. (b) Per a a = 1, estudia el creixement/decreixement i extrems relatius.
- Troba l’equació de la recta que passa pel punt (1, 2) i determina en el primer quadrant amb els eixos coordenats un triangle d’àrea mínima. Calcula aquesta àrea.
- Es divideix un filferro de 100 m de longitud en dos segments de longitud x i 100 − x. Amb el de longitud x es forma un triangle equilàter i amb l’altre un quadrat. Siga f (x) la suma de les àrees. Per a quin valor de x aquesta suma és mínima?
- Es vol construir una caixa tancada de base quadrada amb una capacitat de 270 cm^3. Per a la tapa i la superfície lateral s’utilitza un material que costa 5 e/cm^2 i per a la base un material un 50 % més car. Troba les dimensions de la caixa per tal que el cost siga mínim.
- La funció derivada d’una funció f és f ′(x) = e−x(x − x^2 ).
(a) Estudieu el creixement i el decreixement de la funció f. (b) Si la funció f té extrems relatius, indiqueu-ne les abscisses i classifiqueu-los.
- Considerem les funcions f (x) = e
ax+b 4 i^ g(x) = +
3 x + 4.
(a) Determineu el domini i el recorregut de la funció g. (b) Calculeu per a quins valors de a i de b les gràfiques de les dues funcions són tangents(és a dir, tenen la mateixa recta tangent) en el punt d’abscissa x = 0.
- (gener 15) a) Donada la funció f (x) = ln(x^2 + x + 1) determina el seu domini de definició i els seus màxims/mínims. b) La funció f (x) = ax^3 + bx^2 + cx + d, té com a recta tangent en el punt d’inflexió (1, 0), la recta y = − 3 x + 3, i té un extrem relatiu en el punt d’abcissa x = 0. Troba els valors de a, b, c i d.
- (gener 15) Volem construir una pista de gel consistent en una regió rectangular amb regions semicir- culars adjuntades a dos costats oposats com es mostra en el dibuix.
El cost del material que envolta la pista de gel és distint segons que siga de la part recta o de la circular: 10 euros/m de la part recta i 30 euros/m de la part circular. Nosaltres ens volem gastar 1000 euros en aquest material i ens agradaria saber les dimensions del costat recte i el radi de la regió semicircular per tal que l’àrea siga màxima. (Ajuda: àrea d’un cercle de radi r = πr^2 i longitud d’una circumferència de radi r = 2πr.)
- (juliol 15)
(a) Siga f (x) = ax + (^1) x. Determina els valors de a per tal que f (x) siga decreixent en x = 2.
