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Representación de funciones mediante series de potencias en MA 264, Apuntes de Ecuaciones Diferenciales
En esta unidad del curso MA 264 de EDO & AL, se enseña a representar ciertas funciones como sumas de series de potencias, especialmente series geométricas. Se aprende a encontrar las series de potencias centradas en cero y su intervalo de convergencia para funciones como ln(1 − x), arctan(x), 2x³/(2 + 3x)² y otras. Además, se estudia la derivación e integración de estas series.
Tipo: Apuntes
2021/2022
1 / 13
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Unidad 5
SERIES
TEMA
Representación de funciones
mediante series de potencias
MA 264 EDO & AL
Logro de la sesión:
4
Al finalizar la sesión, el estudiante representa funciones mediante
series de potencias, indicando el intervalo de convergencia.
MA 264 EDO & AL
En esta sesión aprenderemos a representar ciertos tipos de
funciones como suma de series de potencia al manipular series
geométricas o derivar o integrar esas series.
5
Representación de funciones mediante series de potencia
Empezaremos trabajando con una serie que ya hemos visto antes,
la serie geométrica (S.G)
2
3
𝑛= 0
∞
𝑛
TEMA
Derivación e integración de
series de potencias
MA 264 EDO & AL
La suma de una serie de potencias es una función
𝑛= 0
∞
𝑛
𝑛
cuyo dominio es el intervalo de convergencia de la serie.
8
Derivación e integración de una serie de potencias
A continuación, aprenderemos a derivar e integrar esas funciones.
No es otra cosa que, derivar o integrar cada término individual de
la serie, como lo haríamos para un polinomio.
MA 264 EDO & AL
a)
Encuentre una representación de serie de potencias, para las
siguientes funciones y halle su intervalo de convergencia:
𝑓 𝑥 = ln( 1 − 𝑥)
𝑓 𝑥 = arctan(𝑥) b)
3
2
c)
10
EJEMPLO 2
MA 264 EDO & AL
11
Resumen
En este estudio, es importante saber manipular la serie
geométrica
ln 1 − 𝑥 = −
𝑛= 0
∞
𝑥
𝑛+ 1
𝑛 + 1
𝑥 < 1
arctan(𝑥) =
𝑛= 0
∞
− 1
𝑛
𝑥
2 𝑛+ 1
2 𝑛 + 1
𝑥 < 1
Hemos aprendido a representar algunas de funciones en serie
de potencias, al manipular series geométricas, o derivar o
integrar esas series.
𝑛= 0
∞
𝑛
MA 264 EDO & AL
Material producido por la Universidad Peruana de Ciencias Aplicadas
Autor: Profesores del curso
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