Álgebra Lineal: Propiedades del Producto de Matrices y Transpuestas, Guías, Proyectos, Investigaciones de Álgebra Lineal

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ÁLGEBRA LINEAL

Mg. Ruben Arbañil Rivadeneira

CONTENIDO (semana N° 02)

1. Propiedades del producto de matrices.

2. Transpuesta de una matriz. Propiedades.

3. Inversa de una matriz de orden 2x2.

4 Operaciones elementales.

5 Método de Gauss Jordan para hallar la inversa.

6. Ejemplos y ejercicios.

Observamos que las matrices 𝐴𝐵 𝐶 y 𝐴 𝐵𝐶 tienen el mismo orden 𝑚 × 𝑞, luego para probar que ambas matrices son iguales sólo resta probar que 𝑒𝑖𝑗 = 𝑔𝑖𝑗, ∀𝑖 = 1,2, … , 𝑚 ∀𝑗 = 1,2, … , 𝑞. En efecto

𝑛

ℎ=

𝑛

ℎ=

𝑝

𝑘=

𝑝

𝑘=

𝑝

𝑘=

𝑝

𝑘=

𝑝

𝑘=

𝑛

ℎ=

𝑛

ℎ=

𝑛

ℎ=

𝑝

𝑘=

𝑛

ℎ=

∴ 𝐴𝐵 𝐶 = 𝐴 𝐵𝐶

Demostración 4. Sea 𝛼 ∈ 𝕂 y sean 𝐴 = 𝑎𝑖𝑗 𝑚×𝑛 y 𝐵 = 𝑏𝑖𝑗 𝑛×𝑝 matrices

sobre el cuerpo 𝕂, probaremos que 𝛼𝐴 𝐵 = 𝛼 𝐴𝐵 = 𝐴 𝛼𝐵 Aplicando definición de producto de un escalar por una matriz y producto de matrices, se tiene

𝛼𝐴 = 𝛼𝑎𝑖𝑗 𝑚×𝑛

𝐴𝐵 = 𝑑𝑖𝑗 𝑚×𝑝 donde 𝑑𝑖𝑗 = 𝑛𝑘=1𝑎𝑖𝑘𝑏𝑘𝑗

𝛼𝐴 𝐵 = 𝑒𝑖𝑗 𝑚×𝑝 donde 𝑒𝑖𝑗 = 𝑛𝑘=1 𝛼𝑎𝑖𝑘 𝑏𝑘𝑗 𝛼 𝐴𝐵 = 𝛼𝑑𝑖𝑗 𝑚×𝑝

Observamos que las matrices 𝛼𝐴 𝐵 y 𝛼 𝐴𝐵 tienen el mismo orden 𝑚 × 𝑝, luego para que sean iguales sólo resta probar que 𝛼𝑑𝑖𝑗 = 𝑒𝑖𝑗 ; ∀𝑖 = 1,2, … , 𝑚 ∀𝑗 = 1,2, … , 𝑝

𝑛

𝑘=

𝑛

𝑘=

𝑛

𝑘=

Ejercicio Si 𝑋, 𝐴, 𝐵 ∈ ℂ2𝑋2^ y 𝐴 + 𝐵 = 6 − 12𝑖^18 3 + 6𝑖 −24𝑖

, resolver la

ecuación matricial 1 3

Solución.

Ejercicio Sabiendo que 𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐼 ∈ ℂ3×3^ y

𝐴𝐵 =

resolver la ecuación matricial

Solución.

2𝑋 − 2𝐼 + 2𝐼 −

2. TRANSPUESTA DE MATRICES:

Definición Sea 𝐴 = 𝑎𝑖𝑗 𝑚×𝑛 ∈ 𝕂𝑚×𝑛^ , la matriz transpuesta de 𝐴 denotada por 𝐴𝑡^ es una matriz de orden 𝑛 × 𝑚 sobre 𝕂, obtenida de 𝐴 al intercambiar sus filas por sus columnas.

𝐴 = 𝑎𝑖𝑗 𝑚×𝑛 ⇒ 𝐴𝑡^ = 𝑎𝑡𝑖𝑗 𝑛×𝑚 donde 𝑎𝑡𝑖𝑗 = 𝑎𝑗𝑖

Ejemplo Sea 𝐴 =

⇒ 𝐴𝑡^ = 3 −2^7

Proposición Sean 𝐴 y 𝐵 matrices sobre un mismo cuerpo 𝕂 y α ∈ 𝕂, siempre que existan las operaciones mencionadas se cumple las siguientes propiedades

1. 𝐴 ± 𝐵 𝑡^ = 𝐴𝑡^ ± 𝐵𝑡

2. 𝛼𝐴 𝑡^ = 𝛼𝐴𝑡

3. 𝐴𝐵 𝑡^ = 𝐵𝑡𝐴𝑡

4. 𝐴𝑡^ 𝑡^ = A

Demostración 1.

Sean 𝐴 = 𝑎𝑖𝑗 𝑚×𝑛, 𝐵 = 𝑏𝑖𝑗 𝑚×𝑛 ∈ 𝕂𝑚×𝑛, probaremos 𝐴 + 𝐵 𝑡^ =

𝐴𝑡^ + 𝐵𝑡, aplicando definición de suma de matrices y transpuesta de una matriz tenemos:

𝐴 + 𝐵 = 𝑎𝑖𝑗 + 𝑏𝑖𝑗 𝑚×𝑛 denotando 𝑑𝑖𝑗 = 𝑎𝑖𝑗 + 𝑏𝑖𝑗

𝐴𝐵 = 𝑐𝑖𝑗 𝑚×𝑝 ∈ 𝕂𝑚×𝑝^ donde 𝑐𝑖𝑗 = 𝑛𝑘=1𝑎𝑖𝑘𝑏𝑘𝑗

𝐴𝐵 𝑡^ = 𝑐𝑡𝑖𝑗 𝑝×𝑚 donde 𝑐𝑡𝑖𝑗 = 𝑐𝑗𝑖, sabemos que

𝐴𝑡^ = 𝑎𝑡𝑖𝑗 𝑛×𝑚 donde 𝑎𝑡𝑖𝑗 = 𝑎𝑗𝑖 y 𝐵𝑡^ = 𝑏𝑡𝑖𝑗 𝑝×𝑛 donde 𝑏𝑡𝑖𝑗 = 𝑏𝑗𝑖

𝐵𝑡𝐴𝑡^ = 𝑑𝑖𝑗 𝑝×𝑚 donde 𝑑𝑖𝑗 = 𝑛𝑘=1𝑏𝑡𝑖𝑘𝑎𝑡𝑘𝑗

Observamos que las matrices 𝐴𝐵 𝑡^ y 𝐵𝑡𝐴𝑡^ tienen el mismo orden 𝑝 × 𝑚, luego bastará probar que

𝑛

𝑘=

𝑛

𝑘=

𝑛

𝑘=

MATRIZ SIMÉTRICA

Características :

1

2 Los elementos de la diagonal principal permanecen fijos al efectuar la transposición.

Si 𝐴 = 𝐴𝑡^ entonces la matriz 𝐴 se llama simétrica.

La matriz 𝐴 debe ser cuadrada.

𝑎𝑖𝑗 = 𝑎𝑗𝑖 ; ∀𝑖, 𝑗

MATRIZ HERMITIANA

Características :

1

2 Los elementos de la diagonal principal son números reales.

En una matriz hermitiana se cumple 𝐴 = 𝐴

𝑡 . También se le conoce como matriz Auto Adjunta

La matriz 𝐴 debe ser cuadrada y compleja.

En ambos lados de la diagonal principal los números son conjugados.

MATRIZ ANTIHERMITIANA

Características :

1

2 Los elementos de la diagonal principal son ceros o imaginarios puros.

En una matriz hermitiana se cumple 𝐴 = −𝐴

𝑡 .

La matriz 𝐴 debe ser cuadrada y compleja.

En ambos lados de la diagonal principal los números reales son de signos opuestos.

MATRIZ ORTOGONAL

Si 𝐴 ∈ 𝕂𝑛×𝑛, 𝐴 es ortogonal ⇔ 𝐴𝑡𝐴 = 𝐼 = 𝐴𝐴𝑡

OBSERVACIÓN

1. La suma de matrices ortogonales no es ortogonal.
2. El producto de matrices ortogonales es ortogonal.

En efecto, como 𝐴 y 𝐵 son ortogonales 𝐴𝑡𝐴 = 𝐴𝐴𝑡^ = 𝐼 y 𝐵𝑡𝐵 = 𝐵𝐵𝑡^ = 𝐼 𝐴𝐵 𝑡^ 𝐴𝐵 = 𝐵𝑡𝐴𝑡^ 𝐴𝐵 = 𝐵𝑡^ 𝐴𝑡𝐴 𝐵 = 𝐵𝑡𝐼𝐵 = 𝐵𝑡𝐵 = 𝐼 … (1) 𝐴𝐵 𝐴𝐵 𝑡^ = 𝐴𝐵 𝐵𝑡𝐴𝑡^ = 𝐴 𝐵𝐵𝑡^ 𝐴𝑡^ = 𝐴𝐼𝐴𝑡^ = 𝐴𝐴𝑡^ = 𝐼 … (2)

de (1) y (2) se tiene que 𝐴𝐵 es ortogonal.

Sea 𝐴 ∈ 𝕂𝑛×𝑛, decimos que 𝐴 es invertible ⇔ ∃𝐵 ∈ 𝕂𝑛×𝑛^ 𝐴𝐵 = 𝐼 = 𝐵𝐴 En tal caso se dice que la inversa de 𝐴 es 𝐵 que se denota con 𝐴−1.

Ejemplo

es invertible, pues ∃𝐵 = −2^3 9 −

tal que

𝐵𝐴 = −2^3

∴ 𝐵 = 𝐴−1^ = −2^3

es inversa de 𝐴.

3. MATRIZ INVERSIBLE: