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TEMA 2: MATRICES.
Matriz Es una tabla de elementos, donde éstos se agrupan en filas y columnas adoptando una forma rectangular. En ella es válido el elemento nulo (cero). Se nombra a los elementos por su posición, con dos subíndices, el primero para la fila, y el segundo para la columna. Elemento genérico: aij.
Diagonal principal de una matriz es la diagonal formada por los elementos en los que se cumple i=j.
Diagonal secundaria es la diagonal formada por los elementos donde se cumple i+j=nº de columnas + 1.
Matriz fila Es la matriz con una sola fila.
Matriz columna Es la matriz con una sola columna.
Matriz cuadrada Es la matriz con el mismo número de filas y columnas.
Matriz triangular Es la matriz que tiene por encima o por debajo de la diagonal principal todos los elementos nulos. Si éstos están por debajo, es una matriz triangular superior. Si están por encima, es una matriz triangular inferior.
Matriz diagonal Es la matriz que sólo tiene elementos no nulos en la diagonal principal.
Matriz escalar Es la matriz diagonal cuyos elementos de la diagonal principal son iguales.
Matriz unidad Es la matriz diagonal con los elementos de la diagonal principal igual a uno. Se designa por In, donde n es el nº de filas y columnas.
Matrices equidimensionales son las que tienen iguales sus números de filas y columnas.
Matrices iguales son las que son iguales en su forma y también miembro a miembro.
*Las matri
ces triangulares, diagonales, escalares, y unidad sólo tienen sentido si son cuadradas.
- Operaciones con matrices:
- Suma:
Condición previa las matrices que se suman deben ser equidimensionales.
Definición la suma de dos matrices es una matriz de la misma dimensión, y cuyos miembros son la suma de los miembros de la misma posición de las otras dos matrices, verificándose (A+B)ij=Aij+Bij.
Propiedades de la suma de matrices:
- Asociativa A+(B+C)=(A+B)+C
- Existencia de elemento cero A+0=A
- Producto por un escalar:
Definición Es otra matriz equidimensional B, cuyos elementos verifican aij · k = bij.
Propiedades:
- Distributiva con respecto a la suma de escalares (k+h)A=kA+hA
- Distributiva con respecto a la suma de matrices k(A+B)=kA+kB
- Asociativa mixta k[h(A)]=(kh)A
- Existencia de elemento neutro A·1=A
- A+C=B+C implica que A=B.
- kA=kB, si k es distinto de 0, implica que A=B.
- kA=hA, si A es distinto de 0, implica que k=h.
- Producto de matrices:
Condición previa Para que dos matrices A y B puedan multiplicarse, el nº de columnas de A debe ser el de filas de B.
Definición El producto de una matriz A de dimensión m · n por la matriz B de dimensión n · q es otra matriz N de dimensión m · q, tal que cada elemento pij se obtiene multiplicando escalarmente la fila i de A por la columna j de B.
Propiedades:
- Asociativa A(BC)=(AB)C.
- Distributiva respecto de la suma de matrices: A(B+C)=AB+AC.
- Generalmente no existe conmutatividad: ABðBA.
- Si A es una matriz cuadrada de orden n A·In=In·A=A. Matrices inversibles: si se cumple AB=BA=In, entonces B es la inversa de A (A−1). Una matriz que tiene inversa se la llama inversible. Si no tiene inversa, recibe el nombre de singular.
- AB=0 no asegura que A=0 o B=0.
- AB=AC no asegura que B=C.
- (A+B)2 no tiene por qué ser A2+2AB+B2.
- (A−B)2 no tiene por qué ser A2−2AB+B2.
- (A+B)(A−B) no tiene por qué ser A2−B2.
- Matrices especiales:
- Matriz simétrica y antisimétrica:
Matriz simétrica es la matriz cuadrada donde se cumple aij=aji.
Matriz antisimétrica o hemisimétrica es aquella donde aij=−aji. Como consecuencia, la diagonal principal sólo tiene ceros.
Dada una matriz A, se define la traspuesta de A (tA) como la matriz que se obtiene cambiando en A filas por columnas.
Determinante de una matriz cuadrada es la suma de todos sus posibles términos. La mitad de ellos serán positivos, y la otra mitad, negativos.
*****Atención: sólo las matrices cuadradas tienen determinante, definición sin sentido en matrices no cuadradas.*****
- Cálculo de determinantes:
Un determinante se escribe colocando dos barras rectas verticales a ambos lados de la matriz, en lugar del paréntesis que se usa sólo para nombrar una matriz.
- Determinantes de 2º orden:
Una matriz de 2º orden tiene por determinante el producto de los elementos de la diagonal principal menos el de los de la diagonal secundaria.
- Determinantes de 3º orden, regla de Sarrus:
Una matriz de 3º orden tiene por determinante la suma de 6 términos. La regla de Sarrus dice que son éstos: los positivos son la diagonal principal y las dos diagonales paralelas con su vértice opuesto, y los negativos la diagonal secundaria y las dos diagonales paralelas con su vértice opuesto.
- Determinantes de la matriz nula, unidad, y triangular:
El determinante de la matriz nula es 0.
El determinante de la matriz unidad es 1.
El determinante de la matriz triangular es el producto de los elementos de la diagonal principal.
- Propiedades de los determinantes: Si todos los elementos de una fila o columna se multiplican por un número, el determinante queda multiplicado por ese mismo número det(k·F1,F2,F3)=k·det(F1,F2,F3) Una consecuencia es que se puede sacar fuera del determinante factores comunes a una fila o columna.
- Si A y B son matrices cuadradas de igual orden, se cumple det(AB)=det(A) · det(B).
- Al permutar dos columnas o filas, el determinante cambia de signo.
- Si una matriz cuadrada tiene una fila o columna nula, el determinante se anula.
- Si una matriz cuadrada tiene dos filas o columnas iguales, el determinante se anula.
- Si una matriz cuadrada tiene una fila o columna proporcional a otra, el determinante se anula. Si una matriz cuadrada tiene una fila o columna combinación lineal de las otras, el determinante también se anula.
Las últimas 4 propiedades se resumen así: si el rango de una matriz cuadrada es menor que su orden, el determinante vale 0, y si rango y orden son iguales, el determinante no vale 0. Estas propiedades son pistas para determinar el rango de una matriz cualquiera formando submatrices cuadradas y estudiando su determinante.
- Si a una fila o columna de una matriz cuadrada se le suma o resta otra paralela, el determinante no varía. Si a una fila o columna de una matriz cuadrada se le suma o resta otra paralela multiplicada por un número, el determinante no varía.
- Adjunto de un elemento:
- Menor complementario de un elemento:
Sea una matriz cuadrada A, y un elemento aij, suprimiendo el resto de la fila y columna de este elemento, queda una submatriz Mij, llamada menor complementario de aij.
Es el determinante de la matriz complementaria de dicho elemento, con el signo + o − si la suma de sus subíndices es par o impar, respectivamente.
- Desarrollo de un determinante por los elementos de una línea:
El determinante de una matriz cuadrada es la suma de los elementos de una fila o columna cualquiera multiplicados por sus respectivos adjuntos.
- Cálculo de determinantes de orden mayor que tres:
- Reducir a ceros una línea (Regla de Chío).
Esta regla recuerda en parte a la reducción de Gauss. Consiste en dejar en una fila o una columna sólo un elemento no nulo. El determinante será el producto de ese elemento por su adjunto.
Profundiza la regla de Chío, y es la misma que se utiliza para el cálculo el rango de una matriz cuadrada. Si se ha logrado hacer la reducción total, el determinante es el producto de los elementos de la diagonal principal. Si la reducción sólo es parcial, el determinante es el producto de los elementos de la diagonal principal de la matriz reducida, multiplicado por el determinante de la matriz no reducida.
- Cálculo de la matriz inversa por determinantes:
El cálculo de una inversa por determinantes responde a esta fórmula (Adj(A) es la matriz donde cada elemento está sustituido por su adjunto). Como consecuencia de esta fórmula, las matrices cuadradas con determinante nulo son singulares.
TEMA 4: SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES.
- Introducción:
- Definiciones:
Igualdad: es una relación entre dos o más términos que verifican el mismo valor. Ej: 2x=6 para x=3.
Identidad: es una relación en la que los términos que se relacionan son exactamente iguales. Ej: 3ð3.
Ecuación: es una relación entre dos términos, donde hay una o más incógnitas.
Solución de una ecuación: es el valor o valores de las incógnitas que satisfacen la ecuación.
Sistema de ecuaciones: es un grupo de ecuaciones para cuyas incógnitas del mismo nombre hay la misma solución.
Sistemas equivalentes: son aquellos donde las soluciones para sus incógnitas son las mismas.
Recuerda al método del mismo nombre para hallar el rango de una matriz. Consiste en hacer ceros por debajo de la diagonal principal, pero trabajando con M*. Si se consigue, queda un sistema escalonado donde ya hay una incógnita despejada, que al sustituir despeja otra, y así sucesivamente.
