Algebra de matrices, Apuntes de Álgebra

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ALGEBRA DE MATRICESALGEBRA DE MATRICES

DEFINICIONES TIPOS DE MATRICES DETERMINANTES Y PROPIEDADES OPERACIONES MATRICIALES INVERSA DE UNA MATRIZ SISTEMAS DE ECUACIONES

• Las matrices y los determinantes son herramientas del álgebra que facilitan el ordenamiento de datos, así como su manejo.
• Una matriz es una tabla bidimensional de números en cantidades abstractas que pueden sumarse y multiplicarse.

DEFINICIONES

• Una matriz es una tabla cuadrada o rectangular de datos (llamados elementos) ordenados en filas y columnas, donde una fila es cada una de las líneas horizontales de la matriz y una columna es cada una de las líneas verticales. A una matriz con m filas y n columnas se le denomina matriz m-por-n (escrito m×n), y a m y n dimensiones de la matriz.

• Al elemento de una matriz que se encuentra en la

fila i-ésima y la columna j-ésima se le llama

elemento a i,j

o elemento (i,j)-iésimo de la matriz.

Se vuelve a poner primero las filas y después las

columnas.

• Abreviadamente se puede expresar A = (a ij

) Cada

elemento de la matriz lleva dos subíndices.

• El primero de ellos “i” , indica la fila en la que se

encuentra el elemento, y el segundo, “j” , la

columna.

• Se llama matriz nula a la que tiene todos los

elementos cero, Por ejemplo:

• Se llama matriz fila a la que sólo tiene una fila, es

decir su dimensión es ( 1 xn). Por ejemplo:

TIPOS DE MATRICES

• Se llama matriz columna a la que sólo consta de una columna, es decir su dimensión será (mx 1 ) , como por ejemplo:
• Una matriz es cuadrada cuando tiene el mismo número de filas que de columnas, es decir su dimensión es (nxn)
• Una matriz es rectangular si no es cuadrada, es decir, tiene diferente número de filas que de columnas; ejemplo:

• Se llama traza de la matriz a la suma de los

elementos de la diagonal. Es decir, Traza

(A)=a 11 +a 22 +a 33 +... + a nn

, y en el caso de DD ,

Traza (D)= 1 + 5 + 0 = 6.

• La diagonal secundaria es la formada por los

elementos a

1 n

, a

n− 1

, a

3 ,n− 2

,.. ., a

n 1

. En la

matriz DD estaría formada por 3 , 5 , - 3.

• Una matriz es triangular superior si todos los

elementos por debajo de la diagonal principal son

nulos.

• Y triangular inferior si son nulos todos los elementos

situados por encima de dicha diagonal. Son ejemplos

de estas matrices:

Aplicaciones de los Determinantes:

• Entre las aplicaciones que podemos encontrar de los determinantes tenemos:
• Resolución de sistemas de ecuaciones a través de Determinantes.
• Encontrar si una matriz es invertible. Ya que si una matriz M no tiene determinante, entonces M no es invertible.
• Saber si un conjunto de n vectores es linealmente dependiente.

DETERMINANTES Y SUS PROPIEDADES

Definiciones:

• Existen diferentes métodos para hallar el determinante de una matriz, desde los mas sencillos hasta los complejos dependiendo de la longitud de la matriz, aquí analizaremos las de segundo orden, tercer orden, y orden superior:
• El determinante de una matriz, como resultado generara un escalar, el cual representa la singularidad de dicha matriz.
• Dada la matriz A , su determinante esta denotado por: det (A).

Determinante por el método de COFACTORES de aij

• Dada la matriz A 33 , se define su determinante det(A) ó |A| igual a un escalar, de la siguiente forma:

Ejemplo:

3 ) Los elementos de la línea paralela inferior a la diagonal principal por el elemento aislado de la esquina superior derecha: a 21 ∙ a 32 ∙ a 13 Representación Grafica de Sumandos Positivos