Optimización: teoremas de Weierstrass y condiciones necesarias y suficientes. - Prof. Cast, Apuntes de Administración de Empresas

¡Descarga Optimización: teoremas de Weierstrass y condiciones necesarias y suficientes. - Prof. Cast y más Apuntes en PDF de Administración de Empresas solo en Docsity!

Matem`atica 1 Tema 4

Concepte d’optim Cond. necessaria Cond. suficient Curvatura

Tema 4: Optimitzaci´o sense restriccions

Matem`atica 1

Matem`atica 1 Tema 4

Concepte d’optim Cond. necessaria Cond. suficient Curvatura

´Index

1 Concepte d’`optim local i global. Teorema de Weierstrass

2 Condici´o necess`aria d’optimalitat local

3 Condici´o suficient d’optimalitat local

4 Optimitzaci´o convexa. Teorema local-global

Matem`atica 1 Tema 4

Concepte d’optim Cond. necessaria Cond. suficient Curvatura

Definici´o d’`optim

Definici´o: Optim global/absolut` Donada una funci´o f : A ⊂ Rn^ −→ R i un punt ~x 0 ∈ A,

Diem que x 0 ´es un m`axim global o absolut d’f si

f (~x) ≤ f (~x 0 ) per tot ~x ∈ A

Diem que x 0 ´es un m´ınim global o absolut d’f si

f (~x) ≥ f (~x 0 ) per tot ~x ∈ A

Matem`atica 1 Tema 4

Concepte d’optim Cond. necessaria Cond. suficient Curvatura

Definici´o: Optim local/relatiuDonada una funci´o f : A ⊂ Rn^ −→ R i un punt ~x 0 ∈ A, Diem que x 0 ´es un maxim local o relatiu d’f si existeix una bola B(~x 0 , r ) ⊂ A centrada en ~x 0 tal que f (~x) ≤ f (~x 0 ) per tot ~x ∈ B(~x 0 , r )

Diem que x 0 és un mínim local o relatiu d’f si existeix una bola B(~x 0 , r ) ⊂ A centrada en ~x 0 tal que f (~x) ≥ f (~x 0 ) per tot ~x ∈ B(~x 0 , r )

Matem`atica 1 Tema 4

Concepte d’optim Cond. necessaria Cond. suficient Curvatura

Teorema de Weierstrass en diverses variables Donada una funci´o escalar f : A ⊂ Rn^ −→ R cont´ınua, si el domini A ´es un conjunt compacte aleshores existeixen dos punts ~α, β~ ∈ A on f assoleix el m`axim i m´ınim absoluts en A, ´es a dir: f (~x) ≤ f (α~) per tot ~x ∈ A f (~x) ≥ f (~β) per tot ~x ∈ A

Matem`atica 1 Tema 4

Concepte d’optim Cond. necessaria Cond. suficient Curvatura

´Index

1 Concepte d’`optim local i global. Teorema de Weierstrass

2 Condici´o necess`aria d’optimalitat local

3 Condici´o suficient d’optimalitat local

4 Optimitzaci´o convexa. Teorema local-global

Matem`atica 1 Tema 4

Concepte d’optim Cond. necessaria Cond. suficient Curvatura

Punts cr´ıtics

Definici´o: Punt cr´ıtic Donada una funci´o escalar diferenciable f : A ⊂ Rn^ −→ R (on A ´es un conjunt obert), diem que ~x 0 ∈ A ´es un punt cr´ıtic d’f si compleix: ∇f (~x 0 ) = ~ 0.

Observacions. Per la condici´o necessaria d’optimalitat de 1er ordre, sabem que es compleix: ~x 0optim local d’f ⇒ ~x 0 punt cr´ıtic d’f

El rec´ıproc no ´es cert (es tracta d’una condici´o necessaria pero no suficient): si un punt ~x 0 ´es un optim local, ha de ser per for¸ca un punt cr´ıtic, pero no tots els punts cr´ıtics s´on `optims relatius.

Matem`atica 1 Tema 4

Concepte d’optim Cond. necessaria Cond. suficient Curvatura

Punts de sella

Definici´o: Punt de sella Un punt cr´ıtic que no sigui un `optim relatiu s’anomena punt de sella.

Matem`atica 1 Tema 4

Concepte d’optim Cond. necessaria Cond. suficient Curvatura

´Index

1 Concepte d’`optim local i global. Teorema de Weierstrass

2 Condici´o necess`aria d’optimalitat local

3 Condici´o suficient d’optimalitat local

4 Optimitzaci´o convexa. Teorema local-global

Matem`atica 1 Tema 4

Concepte d’optim Cond. necessaria Cond. suficient Curvatura

Condici´o suficient d’optimalitat

Recordatori: Condici´o suficient d’optimalitat en 1 variable Donada una funci´o f : A ⊂ R −→ R derivable en (a, b) ⊂ A fins a ordre 2 i donat x 0 ∈ (a, b), aleshores es compleix: Si f ′(x 0 ) = 0 i f ′′(x 0 ) > 0 ⇒ x 0 ´es un m´ınim local d’f Si f ′(x 0 ) = 0 i f ′′(x 0 ) < 0 ⇒ x 0 ´es un m`axim local d’f

Teorema - Condici´o suficient d’optimalitat en diverses variables Sigui f : A ⊂ Rn^ −→ R una funci´o escalar amb totes les derivades parcials segones cont´ınues en ~x 0 ∈ A (on A ´es un conjunt obert). Aleshores es compleix: Si ∇f (~x 0 ) = ~0 i Hf (~x 0 ) ´es definida positiva ⇒ x 0 ´es un m´ınim local d’f Si ∇f (~x 0 ) = ~0 i Hf (~x 0 ) ´es definida negativa ⇒ x 0 ´es un m`axim local d’f

Matem`atica 1 Tema 4

Concepte d’optim Cond. necessaria Cond. suficient Curvatura

Funci´o c`oncava/convexa

Recordatori: Curvatura de funcions d’1 variable Donada una funci´o f : A ⊂ R −→ R definida en (a, b) ⊂ A : Diem que ´es c`oncava en (a, b) si per tot x, y ∈ (a, b) i per tot λ ∈ [0, 1] es compleix: f (λx+(1−λ)y ) ≥ λf (x)+(1−λ)f (y ) (^) x

f

λx + (1 − λ)yy

q

q

Diem que ´es convexa en (a, b) si per tot x, y ∈ (a, b) i per tot λ ∈ [0, 1] es compleix: f (λx+(1−λ)y ) ≤ λf (x)+(1−λ)f (y ) (^) x

f

λx + (1 − λ)yy

q q

Observaci´o. Els punts de la forma λx + (1 − λ)y , on λ ∈ [0, 1], s´on els punts que pertanyen al segment compr`es entre x i y : x

λ = 1 y

λ = 0 λx + (1 − λ)y q λ^ ∈^ (0q,^ 1) q

Matem`atica 1 Tema 4

Concepte d’optim Cond. necessaria Cond. suficient Curvatura

Definici´o: Curvatura de funcions de diverses variables Donada una funci´o escalar f : A ⊂ Rn^ −→ R on el conjunt A ´es un conjunt convexe:

Diem que f ´es c`oncava en A si per tot ~x, ~y ∈ A i per tot λ ∈ [0, 1] es compleix: f (λ~x+(1−λ)~y ) ≥ λf (~x)+(1−λ)f (~y )

Diem que f ´es convexa en A si per tot ~x, ~y ∈ A i per tot λ ∈ [0, 1] es compleix: f (λ~x+(1−λ)~y ) ≤ λf (~x)+(1−λ)f (~y )

Matem`atica 1 Tema 4

Concepte d’optim Cond. necessaria Cond. suficient Curvatura

Teorema - Caracteritzaci´o de la concavitat i convexitat en diverses variables Sigui f : A ⊂ Rn^ −→ R una funci´o escalar (on A ´es un conjunt obert i convex). Si f ´es cont´ınua i t´e totes les derivades parcials segones cont´ınues, aleshores es compleix: f ´es convexa en A ⇔ Hf (~x) ´es definida o semidefinida positiva per tot ~x ∈ A f ´es c`oncava en A ⇔ Hf (~x) ´es definida o semidefinida negativa per tot ~x ∈ A

Matem`atica 1 Tema 4

Concepte d’optim Cond. necessaria Cond. suficient Curvatura

Teorema local-global

Teorema local-global Sigui f : A ⊂ Rn^ −→ R una funci´o escalar on A ´es un conjunt convex. Aleshores es compleix: Si f ´es concava, llavors tot maxim local ´es tamb´e m`axim global. Si f ´es convexa, llavors tot m´ınim local ´es tamb´e m´ınim global.