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ECONOMÍA APLICADA III
TEMA 3: PROGRAMACIÓN MATEMÁTICA SIN RESTRICCIONES.
1. CONDICIONES NECESARIAS DE OPTIMALIDAD LOCAL.
2. CONDICIONES SUFICIENTES DE OPTIMALIDAD LOCAL Y GLOBAL.
Consideramos en este tema problemas de optimización donde las variables no están sujetas a
restricciones. Es decir, problemas de la forma
)x(fOpt
donde
RRf
n
→:
1. CONDICIONES NECESARIAS DE OPTIMALIDAD LOCAL
Teorema: (Condición necesaria de primer orden).
Sea
)(
1n
RCf ∈
. Si
n
Rx ∈*
es un óptimo local de
f
, entonces
.*)x(f
θ
=
∇
Definición: Un punto
n
Rx ∈*
es un punto crítico o estacionario de
f
si
.*)x(f
θ
=
∇
Definición:
*x
es un punto de silla de
f
si es un punto crítico de
f
y
*)x(E
∀
, entorno de
*x
,
*)()(*),()(*),(,
2121
xfxfxfxfxExx <>∈∃ .
Los puntos de silla de una función son, por tanto, puntos críticos que no son máximos ni mínimos
locales.
Ejemplos:
1) Los puntos críticos de la función
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3y)x()y,x(f +−=
, son los puntos que cumplen
θ
y
)x(
)y,x(f =
−
=∇ 2
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El único punto crítico es (3,0), y es un posible óptimo de la función.
2) La función
yx)y,x(f
+
=
2
no tiene puntos críticos ya que
θ)y,x(f ≠
=∇ 1
2
. Por tanto la
función no tiene máximo ni mínimo finito en
2
R
.
A continuación se establece una condición necesaria de optimalidad local que está basada en las
derivadas de segundo orden de la función.
Teorema: (Condición necesaria de segundo orden).
Sea
)(
2
n
RCf ∈
, y
n
Rx ∈*
un punto crítico de
f
.
a) Si
*x
es mínimo local de
f
, entonces
*)x(Hf
representa una forma cuadrática definida positiva
(D.P.) o semidefinida positiva (S.D.P.).
b)
*x
es máximo local de
f
, entonces
*)x(Hf
representa una forma cuadrática definida negativa
(D.N.) o semidefinida negativa (S.D.N.).
Como consecuencia de este resultado se obtiene una condición suficiente para que un punto crítico
sea un punto de silla.
