¡Descarga Trigonometría: Fórmulas, nombres complejos y límites de funciones y más Apuntes en PDF de Matemáticas solo en Docsity!
COMBINATÒRIA
n
m
n!(m n)!
m!
−
m− n
m
n
m
n+ 1
m
n 1
m 1
n
n
n +...+ (^) =
n
n 2
n
n
2
n
0
n 2
n-
n
3
n
0
n 2 n-
(x+y)
n =x
n
n x
n- y+ (^)
n x
n- y
2 +...+ (^)
n
n y
n
C (^) m,n=
n
m ; V (^) m,n=m(m-1)...(m-n+1) ; P (^) m=m!; CR (^) m,n=
n
m n 1 ; VR (^) m,n=m n ; PR (^) m,(a,b,...,s)= a!b!...s!
m!
LOGARITMES
Definició
∀ a ,N ∈ R amb N>0, i a>1; es defineix: log (^) a N=x ↔ a x =N
Propietats
log (^) a(M.N)= log (^) aM+ log (^) aN
log (^) a(M
n )=n log (^) a M
log (^) a(M/N)= log (^) a M- log (^) aN
log (^) a1=0 ; log (^) a a=1 ; log (^) a ∞ = ∞
Notacions
El nombre a és la base del logaritme i el nombre x sèra el logaritme en base a de N.
Si a=10 s’escriu simplement log N i rep el nom de Logaritme Vulgar, Decimal.
Si a = e = 2’71828182 ...s’escriu ln N i rep el nom de Logaritme Neperiá.
Canvis de base
La relació entre el logaritme d’un nombre N en base a i en base b és donada per:
log (^) aN= (logb N)/( log (^) ba) , en particular ln N=2’3026 ... log N i log N=0’4343...ln N
r
A
x
y
P(x,y)
O
FUNCIONS I FÓRMULES TRIGONOMÈTRIQUES
Definició i relació entre les funcions trigonomètriques
sin A = y/r ; cos A = x/r ; tag A = y/x
cosec A = 1/sen A = r/y ; sec A = 1/cos A = r/x
cotag A = 1/tag A = x/y ; tag A = sin A / cos A
sin
2 A + cos
2 A = 1 ; sec
2 A- tag
2 A = 1 ; cosec
2 A- cotg
2 A = 1
2 π radians = 360 graus ;
Fórmules trigonomètriques
sin (A+B) = sin A cos B + cos A sin B
sin (A-B) = sin A cos B - cos A sin B
cos (A+B) = cos A cos B - sin A sin B
cos (A-B) = cos A cos B + sin A sin B
tag (A+B) = tagAtagB
tagA tagB
−
tag (A-B) = tagAtagB
tagA tagB
sin 2A = 2 sin A cos A
cos 2A = cos
2 A - sin
2 A
tag 2A = 1 tagA
2 tagA 2 −
sin A + sinB = 2 sin 2
A ± B
cos 2
A m B
cos A+ cos B = 2cos 2
A + B
cos 2
A −B
cos A – cos B = -2 sin 2
A + B
sin 2
A −B
sin 2
A
1 −cosA ±
cos 2
A
1 +cosA ±
tag 2
A
1 cosA
1 cosA
sin A sin B = ½{cos (A-B) – cos (A+B)}
cos A cos B = ½{cos (A-B) + cos (A+B)}
( )ρ (^) θ / (ρ ')θ (^) ' =( ρ/ρ') (^) θ−θ' i i' i( ' ) e .'e 'e
θ θ θ+θ ρ ρ =ρρ i i' i( ' ) e / 'e ( / ')e θ θ θ−θ ρ ρ =ρ ρ
Anàlogament, són les més indicades per efectuar potències i radicacions
Potenciació
[(ρ ) θ]
n = ρ (^) nθ
n ( ) ; [ ]
θ θ ρ =ρ
i n nin e e
Radicació
[ ] n
2 k
1 /n 1 /n ( ρ )θ =(ρ )θ+ π; [^ ]^ n
2 k i 1 /n 1 /n i e e
θ+ π θ ρ =ρ per k = 0,1,2,...,n-
Propietats
z= z'↔x=x',y=y'↔ρ=ρ',θ=θ'± 2 k π
Si z = x+iy , el contrari serà -z=-x-iy
Si z = x+iy , el nombre complex conjugat de z es z* = x-iy
La “cojugació” compleix les següents propietats:
z+z* = 2x ; z-z* = 2iy
(z+z’)* = z+z’
z.z* = 2 2 2 x +y =ρ
(z.z’)* = z.z’
(z/z’)=z/z’*
El mòdul
2 2 ρ = x + y d’un complex z = x+iy , també s’anomena “valor absolut de z” i s’escriu
| z |, complint:
|z+z’| ≤| z|+|z'|; |z.z’| = |z|.|z’|
Logaritmació
Sigui z = x+iy=
θ ρ
i e. Es defineix ln z =ln ρ + i(θ + 2kπk i com a part principal de lnz a: ln ρ + iθ
amb θ =θ+ 2 kπ,θ∈[ −π,π]
Exponenciació
Sigui z = x+iy= iθ ρe. Llavors e e(cosy isiny) e (e ) z x ρcosθ iρρsin = + =
Potenciació d’exponent complex
Sigui z = x+iy , w = a+ib , z =
iθ ρe , w =
iα re. Es defineix z
w wllnz = e i com a part principal de z
w a
: w e (part principal del lnz )
FUNCIONS HIPERBÒLIQUES
L’angle A és el doble de l’àrea ombrejada a la figura
e e sinhA Y
A −A − = =
e e coshA X
A −A
= =
cosh A
sinhA
e e
e e taghA TR A A
A A
−
cosh A sinhA 1 2 2 − =
sinh(A+B) = sinh A
cosh(A+B) = cosh A
1 taghA.taghB
taghA taghB tagh( A B) ±
sinh2A =2sinhAcoshA
A A sinh A 2 2 cosh 2 =cosh +
1 tagh A
2 taghA tagh 2 A 2
A B
cosh 2
A B
sinhA sinhB 2 sinh
A B
cosh 2
A B
cosh A coshB 2 cosh
A B
sinh 2
A B
cosh A coshB 2 sinh
coshA 1
2
A
sinh
Y
X
Sinh A
(x,y)
x -y = 2 2
T
O
Cosh A
R
Comentario:
Forma ∞−∞
−>
−>
−> −> −> 1 g(x)
f(x) límg(x)
f(x)
g(x) límf(x)^1
llavorslímf(x) g(x)
x a
x a
x a
lím f(x) lím^ g(x) x a x a
- Si (^) lím ( f(x)/g(x) ) 1 x a
−>
, la indeterminació donada es transforma en ∞. 0 que es resol com hem
indicat anteriorment
- Si (^) lím ( f(x)/g(x) ) 1 x a
−>
, desapareix la indeterminació
Formes exponencials 0 0 0 ; 1 ;∞ ∞
Si les funcions f i g compleixen que el [ ]
g(x)
x a
lím f(x) − >
és una de les formes indeterminades, llavors
tindrem que el (^) límg(x)lnf(x) j x a
−>
o d’un altra manera [ ]
g(x) j
x a
lím f(x) = e −>
TAULA DE DERIVADES
Siguin: k, n, a ,e nombres reals ; e = 2’
y, u, v, u (^) i funcions de la variable independent x , respecte a la qual es deriva, amb v ≠ 0
y = k y’ = 0
y = x y’ = 1
y = u + v y’ = u’ + v’
y = ∑
n 1 u^ i y’ =^ u'
n ∑ 1 i
y = k. u y’ = k. u’
y = u. v y’ = u’v+uv’
y = (^) ∏ n 1 u^ i y’ =^ ∑^ ∏^ ≠
n (^1) i
n 1 (uj ' u)i j
y = 1/u y’ = -u’/u
2
y = u / v y’ = (vu’-uv’)/v
2
y = u n y’ = n .u’.u n-
y = x
n y’ = n x
n-
y = a
u y’ = a
u u’ ln a
y = e u y’ = u’ e u
y = e
x y’ = e
x
y = log (^) a u y’ = u’ / (u ln a)
y = ln u y’ = u’ / u
y = sin u y’ = u’ cos u
y = cos u y’ = -u’ sin u
y = tag u y’ = u’ /cos 2 u
y = sinh u y’ =u’ cosh u
y = cosh u y’ = u’ sinh u
y = tagh u y’ = u’/ cosh
2 u
y = cosec u y’ = -u’ cos u /sin
2 u
y = sec u y’ = -u’ sin u /cos 2 u
y = cotag u y’ =-u’ /sin
2 u
y = cosech u y’ = -u’ cosh u /sinh
2 u
y = sech u y’ = -u’ sinh u /cosh
2 u
y = cotagh u y’ = -u’ /sinh
2 u
y = arc sin u 2 y' =u'/ 1 −u
y = arc cos u 2 y' =−u'/ 1 −u
y = arc tag u (^) y' =u'/( 1 +u^2 )
y = arc sinh u y' u'/ u 1 2 = +
y = arc cosh u y' u'/ u 1
2 = −
y = arc tagh u (^) y' =u'/( 1 −u^2 )
y = arc cosec u = arc sin (1/u)
u u 1
u' y' 2 −
y = arc sec u = arc cos (1/u)
u u 1
u' y' 2 −
y = arc cotg u = arc tag (1/u)
2 1 u
u' y'
y = arc cosech u = arc sinh (1/u)
u u 1
u' y' 2
y = arc sech u = arc cosh (1/u)
u u 1
u' y' 2 −
y = arc cotagh u = arc tangh (1/u)
2 1 u
u' y' −
SÈRIES DE TAYLOR
Desenvolupament d’una funció d’una variable
∞
n ≥ 0
n n n
n
n) 2 (x a) R A(x a) n!
f (a) (x a) 2!
f''(a) f(x) f(a) f'(a)(x a) L amb Rn la resta ,
que es pot calcular amb La Resta de Cauchy; (^) (x θ) (x a) n!
f (δδ R
n
n1)
n = − −
o per la Resta de
Lagrange; n 1
n1)
n (x a) (n 1)!
f (δδ R
−
= , indistintament. Essent^ θ^ i^ δ un valor qualsevol entre^ a^ i^ x.
Si (^) lím Rn 0 n
−>∞
, és la sèrie de Taylor de f(x) entorn al punt x = a. Si k estem parlant de la sèrie de
MacLaurin.
- Si existeixen els límits [ (^) 1 ] (^) 1 x
1 x
m lím f(x) mx b x
f(x) lím =^ − = −>+∞ −>+∞
i la recta y = m 1 x + b 1 serà una
assímptota oblíqua per la dreta. Si m = 0 la recta y = b serà una assímptota horitzontal per la dreta.
- Si existeixen els límits [ (^) 2 ] (^) 2 x 2 x
m lím f(x) mx b x
f(x) lím =^ − = −>−∞ −>−∞
i la recta y = m 2 x + b 2 serà una
assímptota oblíqua per l’esquerra. Si m 2 = 0 la recta y = b 2 serà una assimptota horitzontal per l’esquerra.
INTERVALS DE CREIXEMENT I DECREIXEMENT
Si f(x) es contínua, en els intervals on f’(x)>0 [f’(x)<0], la funció creix [decreix]
Concavitat i convexitat
Si f(x) es diferenciable, en els intervals on f’’(x)>0 [f’’(x)<0], la funció és cóncava [convexa], és a
dir, que representa una curvatura de la forma (^) U[I ]
Màxims i mínims
S’ha d’igualar a 0 la primera derivada, f’(x) = 0 , i es troben les arrels x 0 de l’equació. Es calcula la
segona derivada en cadascuna de les arrels trobades anteriorment, f’’(x 0 )
si: f’’(x 0 ) < 0 Îen x 0 la funció tindrà un màxim
f’’(x 0 ) > 0 Îen x 0 la funció tindrà un mínim f’’(x 0 ) = 0 Îllavors es busca la primera derivada que no s’anul·li en x 0 , i si es parella o
senar es té:
0 ,Mínim
0 ,Màxim f (x 0 ) 0 2n)
- Si és d’ordre senar f (x 0 ) 0
2n 1) ≠
, llavors en k la funció té un Punt d’Inflexió Pla, ès a
dir, amb tangent horitzontal || a l’eix X.
Punts d’inflexió
Si existeixen punts d’inflexió plans aquests ja hauran aparegut estudiant l’existencia de màxims i
mínims. Per trobar els altres punts d’inflexió s’han de buscar les arrels de l’equació f’’(x) = 0, i si
existeix una derivada de f(x), d’ordre senar que no s’anul·li en una determinada arrel, de l’equació
anterior, direm que allà la funció arriba a un punt d’inflexió.
INTEGRACIÓ: PRIMERES PROPIETATS
[ ]
f(x)dx f(x)dx f(x)dx a c b
f(x)dx f(x)dx f(x)dx 0
f(x) g(x)dx f(x)dx g(x)dx
k.f(x)dx k.f(x)dx
b
a
c
a
b
c
b
a
a
b
a
a
∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫
∫ ∫
Regla de Barrow
Si ∫ ∫ ∫
b
a
x
a
f(x)dx F(x) C f(x)dx F(b) F(a); f(x)dx F(x) F(a)
Intervals infinits
∞
−∞
+∞
−∞
−∞ −>∞−
∞
−>∞
f(x)dx f(x)dx f(x)dx(independentde )
f(x)dx lím f(x)dx
f(x)dx lím f(x)dx
a
a
a a
x x
a
x
x a
a
Taula d’integrals inmediates
∫ dx= x+C
∫ + ≠−
C sinn 1 n 1
x x dx
n 1 n
∫ ∫
− lnx C x
dx x dx
1
∫ =^ +C lna
a a dx
n x
∫ e dx= e +C
x x
∫ sinxdx= −cosx+C
∫ cosxdx=^ sinx+C
∫ tgxdx=^ −ln(cosx)+C
∫ cotgxdx= −ln(sinx)+C
∫ sin xdx= ( 2 x−sin 2 x)/ 4 2
∫ cos xdx= ( 2 x+sin 2 x)/ 4 2
∫
x ln(tg sinx
dx
∫ =^ ln(secx+tgx) cosx
dx
∫ = ln(sinx) tgx
dx
∫ sinhxdx=^ coshx+C
∫ coshxdx= sinhx+C
∫ tghxdx= ln(coshx)+C
∫ cotghxdx=^ ln(sinhx)+C
∫
arcsinx C 1 x
dx 2
∫ = +
arcsinhx C 1 x
dx 2
∫
arctgx C 1 x
dx 2
∫
− arccotghx C;||x|| 1
arctghx C;||x|| 1
1 x
dx 2
Integrals del tipus dx cx d
ax b ,..., cx d
ax b F x,
q
p n
m
El canvi de variable; (^) u
u u
1
a ct
dt b t;x cx d
ax b
−
Sent u = m.c.m. (n,---,q). La transforma en integral d’una funció racional.
Integrals Binomials (^) ∫ x (a + bx ) dx
n n p
El canvi; x n = t , x = 1/n t , dx = dt n
t
1 n
1 −
ho racionalitza sempre i quan sigui enter un dels tres
nombres següents p n
m 1 , n
m 1 p, +
. En cas contrari la racionalització és impossible.
Integrals del tipus (^) ∫ F [ sinx,cosx,tgx ] dx
El canvi (^) 2
2
2
2
2
1 t
2dt ;dx
1 t
2t tgx
1 t
1 t cosx
1 t
2t sinx
t 2
x tg
= → es redueix la integral d’una funció racional sobre t.
Integrals del tipus sin xcosxdx(minenters)
m n ∫
- Si m és senar, llavors cos x = t
- Si n és senar, llavors sin x = t
- Si m i n son de la mateixa paritat es pot fer tg x = t
Integrals del tipus F [ a ] dx
x ∫
El canvi tlna
dt a t;x logat;dx
x = = = la converteix en la integral de una funció racional en t.
El procediment generalitzable a (^) ∫ F [ (^) f(x) ] dx amb F sent una funció racional, i f(x) tal que la seva
funció inversa tingui derivada racional, llavors el canvi f(x) = t transforma la integral en una
racional.
( )
( )
( )
n 1 an 1
ax b ax b dx
n 1 n ≠−
( )
( ) ∫
lnax b a
ax b
dx
( )
x bln( x b) x b
x dx = − +
∫
( )
∫ ax b
x ln b
aax b
dx
( ) ∫
ax b 3 a
2 ax 2 b
ax b
xdx 2
( ) ( )
3 2 ax b 15 a
23 ax 2 b x ax bdx +
∫
a
x arctag a
x a
dx 2 2
∫
a
x arccotagh a
x a
dx 2 2
∫
( )
2 2 2 2 ln x a 2
x a
x dx = ± ±
∫
∫
x x aarctag x a
x dx 2 2
2
∫
− a
x x a arccotagh x a
x dx 2 2
2
( ) (^ )
∫ ±
2 22 2 2 2 x a
x a
xdx
( ) ∫
2 2 2 2
lnx x a x a
dx
∫
2 2 2 2
x a x a
xdx
± ax
x a
x x a
dx 2
2 2
2 2 2
m
∫ =−
x arccosech a
x x a
dx
2 2
∫
− a
x arcsec a
x x a
dx 2 2
( )
2 2 2 23 x a 3
∫x^ x ±a dx= ±
( )
∫ ±
2 23 2 2 2 a x a
x
x a
dx
( )
∫ ±
2 23 2 2 x a
x a
xdx
( ) ( ) 2
5 2 23 2 2 x a 5
x x ±a dx= ± ∫
∫
− a
x arcsin a x
dx 2 2
∫
2 2 2 2
a x a x
xdx
− a
x arcsech a
x a x
dx 2 2
ax
a x
x a x
dx 2
2 2
2 2 2
∫
( )
3
a x x a x dx
2 23 2 2 − ∫ − =−
( )
2 23 2 2 2 a a x
x
a x
dx
∫
( ) 2 23 2 2 a x
a x
xdx
∫
( ) ( ) 2 2 2 3 2 2 5 a x 5
∫x^ a −x dx=− −
( )
∫ (^)
x ln na
xx a
dx n
n
n
( )
( ) ∫
−
n
lnx a
x a
x dx n
n
n 1
lna
a a dx
x x = ∫
x x ∫ e^ dx=e
x e dx e( x 1 ) x x = − ∫
x
- 2!
x
- 1!
x dx lnx x
e x 1 2 3
∫ = + + +^ +
( ) ∫
lnae b
b
x
ae b
dx x
x
( sinx cosx) 2
e e sinxdx
x x = − ∫
( sinx cosx) 2
e e cosxdx
x x ∫ = +
∫ =^ − ∫ dx x
e e lnxdx e lnx
x x x
∫ log^ axdx=^ x^ (^ logax−logae)
( ) ∫ lnxdx= xlnx− 1
∫ ≠−
;n 1 n 1
lnx n 1
x x lnxdx
n 1 n
2 lnx 2
dx x
ln x
∫
∫ =^ ln^ (^ lnx) xlnx
dx
( )
- 3!
ln x
- 2!
ln x lnlnx lnx lnx
dx
2 3
∫
∫ sinxdx= −cosx
∫ cosxdx= sinx
( ) ∫ tagxdx= −lncosx
sin 2 x
2
x sin xdx
2 = − ∫
sin 2 x
2
x cos xdx 2 = + ∫
∫ =^ [(^2 x −^1 )arccoshx−x x −^1 ]
x arccoshxdx
2 2
[ ( ) ]
∫ =^ x+x −^1 arctghx
x arctghxdx
2
∫ =^ [x^ +^ (x^ −^1 )arccotghx]
x arccotghxdx
2
CÀLCUL D’ÀREES PLANES
Forma Cartesiana
∫
b
a
A f(x)dx
I si canvia el signe
∫ ∫
b
c
c
a
A f(x)dx f(x)dx
Forma Polar
( ( )) ∫
θ
θ
= θ θ
2
1
r d 2
A
2
Forma Paramètrica
∫
1
t
t
dt dt
dx(t) A y(t) y y(t)
x x(t) Equacions
CÀLCUL DE LA LONGITUD D’UN ARC DE CORBA
Forma Cartesiana
[ ] ∫
b
a
2 L 1 f'(x) dx
Forma Polar
∫
θ
θ
θ
θ
θ = θ+
2
1
d d
dr( ) L r ( )
2 2
Forma Paramètrica
∫ (^)
2
1
t
t
2 2 dt dt
dy(t)
dt
dx(t) L
A
b x(t ) 2
y
x
y=f(x )
b
y
x
c -
y=f( x)
A
y
x
A
b
y
x
L
y=f(x)
CENTRES DE GRAVETAT
D’un arc de corba
[ ]
[ ] ∫
∫
b
a
2
b
a
2
x 1 f'(x) dx L
Y
f(x) 1 f'(x) dx L
X
On L es la longitud total del arc on
1 [f '(x)] dx dL
2
b
a
b
a
xdL L
ydL;Y L
X
D’una àrea plana
∫
∫
b
a
2
b
a
y dx 2 A
Y
xydx A
X
VECTORS
Sent A A 1 i A 2 j A 3 k ;B B 1 i B 2 j B 3 k
r r r r r r r r = + + = + + ;. .. vectors donats en coordenades cartesianes
Mòdul d’un vector:
2 3
2 2
2 | A|= A 1 +A +A
r
Suma: A B ( A 1 B 1 ) i ( A 2 B 2 ) j ( A 3 B 3 )k
r r r r^ r
Producte per un escalar : nA nA 1 i nA 2 j nA 3 k
r r r r = + +
Vector unitari en la direcció de A :A/|A|
r
Producte escalar
A.B A 1 B 1 A 2 B 2 A 3 B 3
A.B |A|.|B|.cos ,( 0 )
= + +
= θ ≤θ≤π r r
rr r r
b
y
x
Y G
X
L
b
y
x
Y G
X
A
B A
Producte vectorial
sentitde(A B) quefaqueA,B,A Bsiguinunsistemadextroso.
direccióde(A B) perpendicularalpla(A,B)
|A B||A|.|B|sin S
B B B
A A A
i j k
A B
1 2 3
1 2 3
r r r r r r
r r r r
r r r r
r r r
r r
∧ = θ=
Fórmules i propietats diverses
(A B).(C.D) (A.C)(B.D) (A.D)(B.C )
C C C
B B B
A A A
A.(B C)
(A B) C B(A.C) A(B.C)
A (B C) B(A.C) C(A.B)
A.B B.A A B B A
A (B C) A B A C
A.(B C) A.B A.C
1 2 3
1 2 3
1 2 3
r r r r rr rr rr r r
r r r
r r r r rr r rr
r r r r rr r r r
rr rr r r r r
r r r r r r r
r r r r r rr
COORDENADES CURVILÍNIES
Equacions de transformació
Factors d’escala
3
3 2
2 1
1 u
r h u
r h u
r h
r r r
Base
3 3
3 2 2
2 1 1
1 u
r
h
;e u
r
h
;e u
r
h
e
r r
r r
r r
Diferencials
1 2 3 1 2 3
3
2 3
2 2
2 2
2 1
2 1
2 2
1 1 1 2 2 2 3 3 3
dV hhhdududu
ds h du h du h du
dr hdu e hdu e hdu e
r r r r
x =x(u 1 ,u 2 ,u 3 );y=y(u 1 ,u 2 ,u 3 );z=z(u 1 ,u 2 ,u 3 ) ;
A A B
