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EJERCICIOS DE INTEGRALES
Calcula las siguientes integrales:
a) (^) ∫ ⋅
x
SOLUCIÓN:
∫ ∫ ∫ ∫ (^) =∫ +∫ =
− − − x dx x x x dx x x dx x dx x dx x
xdx x x
x^6
1 3
4 6
1 3
4 3
1 2
1 3
4 3
1 1 3 1
x x C
x x = + +
− +
5 3
61 7
1 1 3
4
b)
∫
sen 3 x cos 3 xdx
3
SOLUCIÓN:
∫ sen^^3 x cos^3 xdx
3 =integral inmediata de tipo potencial = (^) ∫ [ f ( x )] ⋅ f ′( x ) dx
n donde
f ( x ) = sen 3 x y n = 3 en este caso.
Por tanto,
[ ]
[ ] C
sen x C
sen x ∫ sen^ x xdx =^ ∫ sen x ⋅ xdx = + = + 12
3 3 cos 3 3
3 cos 3
(^44) 3 3
c)
∫
dx senx x
senx
cos
2
SOLUCIÓN:
Integral de tipo trigonométrico. La función subintegral es impar en cos x. En efecto:
( ) ( ,cos ) cos
( cos )
; , cos cos
( ,cos )
2 2 2 Rsenx x senx x
senx
senx x
senx Rsenx x senx x
senx R senx x =−
Podemos hacer el cambio de variable: dt
t
sen x t x arcsent dx 2 1
Por tanto, la integral queda:
( ) ( )( )
∫ ∫ ∫ ∫ − +
dt t t t
t dt t t
t dt t t t
t dx senx x
senx
1 1
cos
2
2
2
2 2
2 2
Descomposición en fracciones simples:
( )( ) ( ) ( )
( )( ) ( ) ( )
t ( t )( t )
A t t Bt t Ct t
t
C
t
B
t
A
t t t
t
− +
2
1 + t ≡ A ( 1 − t )( 1 + t ) + Bt ( 1 + t ) + Ct ( 1 − t )
2
Para t = 0 ⇒ 1 = A
Para t = 1 ⇒ 2 = 2 B ⇒ B = 1
Para t = − 1 ⇒ 2 =− 2 C ⇒ C =− 1
Por tanto,
( )( ) ( ) ( ) ( )( )
C
t t
t dt t t t C t
dt t
dt t
dt t t t
t
− +
∫ ∫ ∫ ∫ 1 1
ln ln 1 ln 1 ln 1
2
( )( ) ( )( ) ( )
C x
senx
C senx
senx C deshacemoselcambio t
t C t t
t dt t t t
t
= − +
∫
2
2 2
2
cos
ln
1
ln 1
ln 1 1
ln 1 1
1
d) ( ) ∫
tg 2 x + 1 dx
SOLUCIÓN:
Hacemos el cambio de variable 2
dt
x + = t ⇒ dx = dt ⇒ dx =. De esta forma la
integral se transforma:
∫ (^ )^ ∫ ∫ ∫ ∫ =− +
sen t dt t
sen t tgtdt
dt tg x dx tgt lncos 2
2 cos
2 cos
Ahora deshacemos el cambio de variable:
tg ( x + ) dx =− t + C =− ( x + ) + C ∫
lncos 2 1 2
lncos 2
e)
∫
2 x x
dx
SOLUCIÓN:
Integral de tipo racional. Hallamos sus raíces:
Para 9
A C
x A B C B
( )( ) (^ )^ (^ )^ ( )
[ ]
( ) C
x dx x x x
dx x
dx x
dx x x
− +
∫ ∫ ∫ ∫ 2 1
ln 1 ln 2 9
21
2 2
( )( ) (^ )^ (^ )^
C x x
x C x x
x dx x x
−
+
−
− +
∫ (^32)
1
2
1 ln 3 2
1
2
1 ln 9
1
1 2
1 2 9
g)
∫ (^) ( − + )( − )
dx x x x
x
2 10 1
2
SOLUCIÓN:
i
i x x x 1 3 2
2 = ±
− + = ⇒ = (raíces complejas conjugadas
simples)
Por tanto, el denominador tiene una raíz simple y dos raíces imaginarias simples
complejas conjugadas. La descomposición en fracciones simples a efectuar es:
( )( ) ( ) ( )
( ) ( )( )
( 2 10 )( 1 )
2
2
2 2 − + −
x x x
Ax x Bx C x
x x
Bx C
x
A
x x x
x
3 2 ( 2 10 ) ( )( 1 )
2 x − ≡ Ax − x + + Bx + C x −
Para 9
x = 1 ⇒ 1 = 9 A ⇒ A =
Para 9
x = 0 ⇒− 2 = 10 A − C ⇒ C = 10 A + 2 = + =
Para
A C
x A B C B
Por tanto:
( )( ) ( ) ( ) ( )
dx x x
x
dx x x x
x
dx x
dx x x x
x ∫ ∫ ∫ ∫ − +
ln 1 9
2 2 2
Esta última integral es de tipo neperiano más arco tangente.
( )
( )
[ ( ) ]
C
x x x arctg x
dx x x
x
dx x x x
dx x x
x x
dx x x x x
dx dx x x
x
x x
x dx x x
x dx x x
x dx x x
x
^ +
∫
∫ ∫
∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫ ∫
ln 2 10 18
ln 2 10 18
ln 2 10 3 18
ln 2 10 3 18
ln 2 10 3 18
2 2
2
2
2 2
2
2
2 2 2
2 2 2 2
Finalmente:
( ) ( )
C
x dx x x x arctg x x x
x +
∫ 3
ln 2 10 18
ln 1 9
2
h) (^) ∫ − 1
3 x
dx
SOLUCIÓN:
Integral racional. Hay que factorizar el denominador en sus raíces. Una raíz es x = 1. Por
tanto, dividiendo 1
3 x − entre ( x − 1 )resulta:
1 ( 1 ) ( 1 )
3 2 x − = x − ⋅ x + x +
2 i x x x
- = ⇒ = raíces complejas conjugadas simples
La descomposición en fracciones simples es:
( ) ( )
( ) ( )( )
( 1 ) ( 1 )
2
2
3 2 2 − ⋅ + +
− x x x
Ax x Bx C x
x x
Bx C
x
A
x x x x
1 ( 1 ) ( )( 1 )
2 ≡ Ax + x + + Bx + C x −
Para 3
x = 1 ⇒ 1 = 3 A ⇒ A =
Para 3
x = 0 ⇒ 1 = A − C ⇒ C = A − 1 = − =−
( ) ( )
[ ( )] [ ( )] ∫ =^ ∫ ⋅ = + = + C
x C
x dx x
dx x x
x
4
ln 2
2
ln 2
2
ln 2 2
ln 2 1
2 2 2 2 2
2
j) (^) ∫ −
dx e
x 1 2
SOLUCIÓN:
Hacemos el cambio de variable: dt t
e t x t dx
x^2 2 ln
2 = ⇔− = ⇒ =−
−
Por tanto,
( )
∫ ∫ ∫
− (^) t t
dt dt t t
dx e
x (^) 1 2
Integral racional en t con raíces reales
simples. La descomposición en fracciones simples es:
( )
( )
( t ) t
At B t
t
B
t
A
t t + ⋅
1 ≡ At + B ( 1 + 2 t )
Para t = 0 ⇒ 1 = B
Para 2 2
t = − ⇒ =− A ⇒ A =−
Por tanto,
( )
C
e
e C t
t t t C t
dt
t
dt
t t
dt x
x
−
−
∫ ∫ ∫ /^2
/ 2
ln 1 2
ln 1 2 ln ln 1 2
Finalmente:
( )
e C
C
e
C
e
e
t t
dt dt t t
dx e
x
x x
x
x
−
−
∫ − ∫ ∫
6 ln 2
6 ln 1 2
6 ln 1 2
/ 2
/ 2
k)
( )
∫ −
23 1 x
dx
SOLUCIÓN:
Hacemos el cambio de variable x = sent ⇒ dx =cos tdt
( ) (^ )^
∫ ∫ ∫ ∫ + −
C
x
x C t
sent tgt C t
dt
t
tdt
sent
tdt
x
dx
2 3 2 3 /^2322 cos cos cos 1
cos
cos
l)
∫
dx senx x
senx
cos
SOLUCIÓN:
Par en seno y en coseno. En efecto:
( ) ( ) R ( senx x ) senx x
senx
senx x
senx R senx x senx x
senx R senx x ,cos cos cos
, cos cos
, cos =
Hacemos el cambio de variable (^2) 1 t
dt tg x t x arctgt dx
( ) ( )
∫ ∫ ∫
dt t t
t
t
dt
t t
t
t
t
dx senx x
senx
1 1 1
1
cos
2 2
2 2
2
Descomponemos en fracciones simples:
( ) ( )
( ) ( )( )
( 1 ) ( 1 )
2
2
2 2
At Bt C t
t
Bt C
t
A
t t
t
( 1 ) ( )( 1 )
2 t ≡ At + + Bt + C t +
Para 2
t = − 1 ⇒− 1 = 2 A ⇒ A =−
Para 2
t = 0 ⇒ 0 = A + C ⇒ C =− A =
Para 2
A C
t A B C B
Por tanto,
∫ (^) ( ) ( ) ∫ ∫ ∫ +
dt t
t dt t t
t dt t
dt t t
t
1
ln 1 2
2 2 2 Esta última integral
es de tipo neperiano más arco tangente. En efecto:
dt t arctg t t
t = + +
∫
ln 1 2
2
[ ]
C
x
x
C
x
x C t
t dt t t C t
dt t t
dt
∫ ∫ ∫
cos 1
cos 1 ln
cos 1
cos 1 ln 2
ln 2
ln 1 ln 1 2
2
o) (^) ∫ dx x
sen x
cos
3
SOLUCIÓN:
Integral trigonométrica impar en seno. En efecto:
( ) ( )
( ) R ( senx x ) x
sen x
x
sen x R senx x x
sen x R senx x ,cos cos cos
, cos cos
, cos
3 3 3 =− = −
El cambio a efectuar es: 2 1
cos t
dt
senx
dt x t senxdx dt dx −
( )
( )
x C
x
t
t dt t
dt t t
t
t
dt
t
t dx x
senx
∫ =^ −∫ ∫ ∫
ln cos 2
cos
ln 2
cos
2
2 2
21 /^2
3 23 /^2
p) ( ) ∫
x ln 2 x + 1 dx
2
SOLUCIÓN:
Aplicando partes resulta:
( ) 2 1
ln 2 1
x
dx u x du
= ⇒ = ∫ = 3
3 2 2 x dv xdx v xdx
∫ (^ )^ (^ )^ ∫
ln 2 1 ln 2 1
3 3 2
x
x x dx x x dx x Integral racional. Hay que dividir:
2
3
x x x
x
∫ ∫ ∫ = − + − +
ln 2 1 16
3 2 2
3 x
x x x dx x
dx x x dx x
x
Finalmente:
( ) ( )
( ) C
x x x x x x
x C
x x x x x x dx x
∫ + = + ⋅ − − + − +
ln 2 1
3 9 12 12
ln 2 1
ln 2 1 16
ln 2 1 ln 2 1
3 3 2
3 3 2 2
q) (^) ∫ =∫ ⋅ +∫ =∫ ⋅ − +
dx x e dx e dx x e dx e C e
x e x x x x x
x 2 2 2
SOLUCIÓN:
Vamos a resolver la integral ∫
− x ⋅ e dx
2 x aplicando partes:
u = x ⇒ du = dx
∫
− − − = ⇒ = =−
x x x dv e dx v e dx e
2 2 2
2
∫ ∫
− − − − − ⋅ =− + =− −
x x x x x e e
x e e dx
x x e dx
2 2 2 2 2
4
Finalmente:
e e e C
x dx x e dx e dx e
x e x x x x x x
x = ⋅ + =− − − +
∫ ∫ ∫
2 2 2 2 4
r)
∫
xsenxdx
2
SOLUCIÓN:
Aplicando partes:
u x du 2 xdx
2 = ⇒ =
∫
dv = senxdx ⇒ v = senxdx =−cos x
∫ x^ senxdx =^ − x cos x +^2 ∫ x ⋅cos xdx
2 2 Aplicando partes de nuevo a esta última integral
resulta:
u = x ⇒ du = dx
dv = cos xdx ⇒ v = sen x
( ) ( ) ( )
( ) C x x x x sen x C
x sen x x x x
sen xdx
x sen x x sen xdx x x x xdx x x
∫ ∫ ∫
cos 2 4
cos 2 2
cos 2
2
cos 2 1 2
cos 2 1 2
cos 2 1 cos 2 2
2 2
2 2 2
Calcular la derivada de las siguientes funciones:
a) ( ) =∫ ( − )
x
Gx t dt 0
2 1
SOLUCIÓN:
Primera forma: Integrando y aplicando Barrow resulta:
( ) ( ) ( ) 1 3 3
2
3
0
3
0
2 = − ⇒ ′ = −
= (^) ∫ − = − x G x x
x t
t Gx t dt
x^ x
Otra forma: Aplicando el teorema fundamental del cálculo integral:
( ) ( 1 ). 1 ( 0 1 ) 0 1
2 2 2 G ′ x = x − − − ⋅ = x −
b) ( ) ( ) ∫
x H x t dt
cos
1
2 1
SOLUCIÓN:
Primera forma: Integrando y aplicando Barrow resulta:
( ) (^) ( ) 3
cos 3
cos 1 3
cos 3
cos
3
cos 3 3
1
cos 3
1
2 = − +
= (^) ∫ − = − x
x x
x t
t H x t dt
x^ x
Derivando resulta:
H ( x ) x ( senx ) senx senx ( x ) senx
2 2 3 ′ =cos ⋅− + = ⋅ 1 −cos =
Otra forma: Aplicando el teorema fundamental del cálculo integral:
H ( x ) ( x ) ( senx ) ( ) senx
2 2 3 ′ = cos − 1 ⋅− − 1 − 1 ⋅ 0 =
