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Matemáticas: Grado en Biología
Solución del Examen Final (18 de enero de 2012)
1. Dada la función en forma explícita:
( ) ( )
2
3
1 x
x y f x
Se pide:
(a) Dominio de definición y asíntotas.
(b) Intervalos de monotonía, máximos y mínimos.
(c) Intervalos de concavidad y puntos de inflexión. Hacer un esbozo de la gráfica.
SOLUCIÓN:
(a)
Dom ( f ) = { x ∈ℜ x ≠− 1 } =ℜ−{− 1 } =( −∞,− 1 ) ∪( − 1 ,+∞)
Asíntotas horizontales
( ) =+∞ ↑
→+∞ →+∞ →+∞^0
det. 2 1 2 3
2
3
lim lim lim
x x x
In x x
x y f x x x x
No tiene asíntota horizontal por la derecha.
( ) =−∞ ↑
→−∞ →−∞ →−∞^0
det. 2 1 2 3
2
3
lim lim lim
x x x
In x x
x y f x x x x
No tiene asíntota horizontal por la izquierda.
Asíntotas verticales
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )
>
→ >
→ >
→− + →
3 2
0
0
2
3
0
0 0
1 0
lim lim lim lim h
h h h
h h
h LD f x f h
h
h h
h h
x h
f
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )
= −∞ ↑
− ↑
=
− − − −
− − + − − +
− − − = = − − =
>
→ >
→ >
→− − →
0
1
3 3 1
1 2 1 1
1
.. (^112)
3 2
0
0
2
3
0
0 0
1 0
lim lim lim lim h
h h h
h h
h LI f x f h
h
h h
h h
x h
f
Por tanto, x =− 1 es una asíntota vertical tanto por la derecha como por la izquierda.
Asíntotas oblícuas
( ) 1 1
1
2 1 1
1
2 2
3 2
3
lim lim lim = ↑
=
=
= = + →+∞ →+∞ →+∞ x x
x x x
x
x
f x m x x x
[ ( ) ] 2 1
2
2 1 1
1 2
2 1
2
2 1 2
2
2
2
3
lim lim lim lim =− ↑
− ↑
− −
=
− − =
−
= − = →+∞ →+∞ →+∞ →+∞ x x
x x x
x x x x x
x h f x mx x x x x
Por tanto, la ecuación de la asíntota oblícua por la derecha es:
y = mx + h = x − 2
Por la izquierda:
( ) 1 1
1
2 1 1
1
2 2
3 2
3
(^1) lim lim lim = ↑
=
=
= = − →−∞ →−∞ →−∞ x x
x x x
x
x
f x m x x x
[ ( ) ] 2 1
2
2 1 1
1 2
2 1
2
2 1 2
2
2
2
3
(^1) lim lim lim lim =− ↑
− ↑
− −
=
− − =
−
= − = − →−∞ →−∞ →−∞ →−∞ x x
x
x x
x x x x x
x h f x mx x x x x
Por tanto, la ecuación de la asíntota oblícua por la izquierda es la misma que por la
derecha:
y = m 1 x + h 1 = x − 2
f ′′^ ( 1 ) > 0 ⇒ f ( x )es cóncava hacia arriba en el intervalo ( 0 , +∞).
Por tanto, f ( x )tiene un punto de inflexión en el punto x = 0 , es decir, en el punto ( 0 , 0 ).
También se puede clasificar por medio de la derivada tercera:
′′′ (^) = f x x
x f x es un punto de inflexión
Punto de corte de la asíntota oblícua con la función:
3 3 2
3
=^ −
− = x x x x x f x x
x x
Esbozo de la gráfica de la función f ( x ):
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
0
x
x^3 /(x+1)^2
2. Resolver los siguientes ejercicios:
(a) ∫
2 2 x 9 x
dx
SOLUCIÓN:
Es una integral irracional cuadrática de la forma ∫ R ( x a − x ) dx
2 2 ,. El cambio de
variable a efectuar es:
x = a ⋅ sent = 3 sent ⇒ dx = 3 cos tdt
La integral en la variable t es ahora:
∫ ∫ ∫ = ∫ =− + ⋅
C
sent
t
sent
dt
sent t
tdt
sent sent
tdt
x x
dx cos
9
9 3 cos
3 cos
3 cos
2 2 2 2 2 2
Deshaciendo el cambio de variable:
2
2 2 9 3
cos 1 1 3
x
x t sent
x sen t = ⇒ = − = − = −
C
x
x
x
x
x x
dx I +
= (^) ∫ 9
2
2
2 2
(b) (^) 2
2
y
x y x
y ′− =
SOLUCIÓN:
3. Dos especies coexisten en una relación de simbiosis y sus poblaciones y 1 e y 2
satisfacen el sistema diferencial siguiente:
2 1 2
1 1 2
3
y y y
y y y
Si las poblaciones iniciales son 10 y 20 individuos respectivamente. Determinar el
número de individuos de ambas especies a lo largo del tiempo. ¿Cuántos individuos hay
de ambas especies transcurrido un tiempo suficientemente largo?
SOLUCIÓN:
El sistema previo se escribe en forma matricial:
^ ⋅
2
1
2
1
3 1
y
y
y
y
dt
d
En notación matricial más compacta llamando al vector (^)
2
1
y
y X la ecuación anterior se
escribe:
X X A X A
dt
d r r r
Diagonalizando la matriz A obtenemos los autovalores:
( ) ( ) ( ) ( )
y Autovaloresrealesdist os
A I
0 5 int
det
1 2
2
Ahora vamos a calcular el autovector correspondiente a cada autovalor:
Para λ 1 = 0 :
⋅^ =
⇒ = ⋅^ =
=^ ⋅
^ =
^ ⇒
^ =
^ ⋅
0 1 1 1
1 1
1
2
1 2 1 1 2
1 2
2
1
1
1
K X K e^1 t^ et
k k
k
k
k k k k k
k k
k
k
λ
r r r
Para λ 2 =− 5 :
