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4º TUTORÍA GRUPAL: ECUACIONES DIFERENCIALES
(1) Resolver la ecuación diferencial de variables separadas:
2
SOLUCIÓN: Es una ecuación diferencial de variables separadas:
x
C
dy y x C y
y dy x C y
y
x
dx dy y
y y dx
dy xy dx
dy y xyy y xy
ln( 1 ) ln ln ln 2
ln 1
2 2 2
2
2 2 2
Finalmente:
2
2
2
2
2 2
2 2
1 2 2
1 2 ln( 1 ) ln 1 1 1 x
C x y x
C x
x
C
y x
C
y x
C
y x
C
y
(2) Resolver la ecuación diferencial de variables separadas:
2 2 2 2 y + xy y ′+ x − yx =
SOLUCIÓN: Es una ecuación diferencial de variables separadas:
( ) x ( x ) C
x y y
y
dx x
dy x y
dx y x
x dy y
y dx x
x dy y
y
x y dx
dy x y y x dx
dy x yx y x dx
dy y xy
ln 1 2
ln 1 2
2 2
2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2
o lo que es equivalente:
C
y
x x x y y = −
2 2 2 ln
2 2
La solución general de la ecuación diferencial queda en este caso en forma implícita,
pues no se puede explicitar la variable dependiente y en función de la variable
independiente x como en el caso del ejercicio anterior.
(3) Resolver la ecuación diferencial homogénea:
4 x − 3 y + y ′ ( 2 y − 3 x ) = 0
SOLUCIÓN:
Veamos en primer lugar si se trata de una ecuación diferencial homogénea:
f x y y x
y x y = −
Sustituimos ahora x por tx e y por ty , y veamos qué sucede:
, f x y y x
y x
t y x
t y x
ty tx
ty tx f txty Ecuación diferencial homogénea
Hacemos el cambio de variable: y zx y zx z x
y z = ⇒ = ⇒ ′= ′ +. Este cambio de variable
convierte la ecuación diferencial homogénea en una de variables separadas en la
variable dependiente nueva z.
En efecto:
2
2
2
1 2 2 2
2 2
2
ln 2 6 4 ln 2 6 4 2
ln 2 6 4
ln ln ln 2 6 4
x
C
z z
x
C
z z x
C
dz x C z z z z
z
x
C
dz x C z z
z
x
dx dz z z
z
z
z z x dx
dz
z z
z x dx
dz
z
z x z dx
dz
z
z
x z
x z
zx x
zx x y zx z
Deshaciendo el cambio de variable para recuperar la variable dependiente original y
resulta la integral general de la ecuación diferencial:
y xy x C y xy x C x
C
x
y
x
y − + = ⇒ − + = ⇔ − + =
2 2 2 2 2 2
2 2 6 4 2 6 4 3 2
2 2 2 2 2 x x x C x x C y xy x C y
(4) Resolver la ecuación diferencial homogénea:
2 2 xy ′= y + x
SOLUCIÓN:
Veamos en primer lugar si se trata de una ecuación diferencial homogénea:
2 2
f x y x
x y y =
Para 2
u = 1 ⇒ 1 = 2 C ⇒ C =.
Para 4
u = ⇒ = A + B + C ⇒ B = − A − C = − − =.
[ ]
( u )
u u u
dx u
dx u u u
du
−
ln 1 ln 1 4
2 2
Deshaciendo el cambio hacia atrás:
( ) ( z z )
z
z z
z z
sent sent
sent I
2
2
2
2
ln 4
ln 4
Finalmente la integral general en z es:
( Cx )
z z
z
z z
z z
z z
dz ln 2 1
ln 4
2
2
2
2
2
Deshaciendo el cambio x
y z = para recuperar la variable dependiente original y resulta la
integral general de la ecuación diferencial en forma implícita:
( Cx )
x y y
x y
x y y
x y y ln 2
ln 4
2 2
2 2
2 2
2 2
(5) Resolver la ecuación diferencial lineal de primer orden:
y 2 y x 2 x
2 ′+ = +
SOLUCIÓN:
Primero resolvemos la ecuación homogénea, que siempre es de variables separadas:
x C x C x h
h h
h
h
h h
h h h
y e e e Ce
x C y x C y
dy dx y
dy y dx
dy y y
2 2 2
2 0 2 2 2 ln 2
− + − − ⇒ = = ⋅ =
Para calcular la integral general aplicaremos el método de variación de constantes
(MVC) que consiste en suponer que la integral general de la ecuación diferencial
completa tiene la misma forma que la homogénea, pero donde la constate arbitraria C
ahora es una función de x , es decir, C ( x ), de manera que:
x x G
x yG Cx e y C x e Cx e
2 2 2 2
− − − = ⋅ ⇒ ′ = ′ ⋅ − ⋅
Sustituyendo en la ecuación diferencial completa resulta:
− − −
2 2 2 2
2 2 2 2 2
C x x x e Cx x x e dx hayqueaplicar partes
y y x x C x e Cx e Cx e x x
x x
x x x G G
u x 2 x du ( 2 x 2 ) dx
2 = + ⇒ = +
x x x dv e dx v e dx e
2 2 2
2
2 2 2 2 2 C x x x e dx e x x x e dx Aplicamospartesotravez
x x x
u = x + 1 ⇒ du = dx
x x x dv e dx v e dx e
2 2 2
2
e ( x x ) ( x ) e e C
Cx x x e dx e x x x e e dx
x x x
x x x x
= (^) ∫ + ⋅ = ⋅ + − + ⋅ + ∫ =
2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
Por tanto, la integral general será igual a:
h p
x
x x x x x x G
x x x C e x x y y
y Cx e e x x x e e C e C e
=^ +
−
− − −
2 2 2
2 2 2 2 2 2 2
(6) Resolver la ecuación diferencial lineal de primer orden:
y ′− y tan x =cos x
SOLUCIÓN:
Primero resolvemos la ecuación homogénea, que siempre es de variables separadas:
x
C
y x
C
y x C x C
dx x
senx xdx y y
dy xdx y
dy x y dx
dy y x y
h h
h h
h
h
h h
h h h
cos cos
ln lncos ` ln(cos ) ln ln
cos
tan 0 tan tan tan ln
⇔^ =
Para calcular la integral general aplicaremos el método de variación de constantes
(MVC) que consiste en suponer que la integral general de la ecuación diferencial
2
2 2 2 ln ln ln ln ln ln
z Cx
x C x C z Cx z
dz dx z x
dz z dx x
dz z x
z
h
h h
h
h
h h
h h h
Para calcular la integral general aplicaremos el método de variación de constantes
(MVC) que consiste en suponer que la integral general de la ecuación diferencial
completa tiene la misma forma que la homogénea, pero donde la constate arbitraria C
ahora es una función de x , es decir, C ( x ), de manera que:
z G C ( x ) x zG C ( x ) x 2 xC ( x )
2 2 = ⋅ ⇒ ′ = ′ ⋅ +
Sustituyendo en la ecuación diferencial completa resulta:
C x Cx dx x C
Cxx x C x x x x
z x C x x xCx x
z (^) G G
Por tanto, la integral general será igual a:
zG = C ( x ) ⋅ x =( x + C ) ⋅ x = Cx + x = zh + zp
2 2 2 3
Y finalmente deshaciendo el cambio recuperamos la variable original y , de manera que
la integral general de la ecuación diferencial de Bernoulli original es:
3 3 2 3
1 y (^) G = zG = Cx + x
