mates, Apuntes de Matemáticas

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LICENCIATURA EN ADMINISTRACIÓN

APUNTES

PARA LA ASIGNATURA

MATEMÁTICAS FINANCIERAS

Coordinación general L. A. C.y Mtra. Gabriela Montero Montiel

Coordinación académica L.A.C. Francisco Hernández Mendoza

Elaboradores de contenido Maria Reynería Pompa Osorio Euardo Arévalo Guerrero Coordinación operativa L.A.C. Francisco Hernández Mendoza L.C. Gilberto Manzano Peñaloza

Asesoría pedagógica Sandra Rocha

Corrección de estilo José Alfredo Escobar Mellado

Edición L.A.C. José Mario Hernández Juárez

Captura Beatriz Ledesma Espíndola

Colaboradores

Prohibida la reproducción total o parcial de esta obra, por cualquier medio, sin autorización escrita del editor.

APUNTES PARA LA ASIGNATURA MATEMÁTICAS FINANCIERAS

Primera edición, octubre, 2005

Derechos reservados conforme a la ley. Prohibida la reproducción parcial o total de la presente obra por cualquier medio, sin permiso escrito del editor.

DR © 2005 Universidad Nacional Autónoma de México Facultad de Contaduría y Administración Fondo Editorial FCA Circuito Exterior de Ciudad Universitaria, Deleg. Coyoacán, 04510-México, D.F.

Impreso y hecho en México

Contenido

Desde que se inventó la moneda o el uso de la misma, el hombre ha tratado de utilizarla de la mejor manera, el dinero pasó a formar parte importante de la vida de las personas, con él podían y se puede realizar todo tipo de transacciones. El día de hoy ha adquirido una mayor importancia ya que, afortunada o desafortunadamente, todo se mueve través de ese medio, debido a ello también se ha visto la manera de utilizarlo de la mejor manera posible porque al mismo tiempo que abunda en lo general, es muy escaso en lo particular, y por lo mismo es menester el que se sepa manejar y aprovechar a su máxima utilidad. Al estar las personas relacionadas con el uso y manejo del dinero es necesario el comprender de una forma clara y sin complejidades cómo el dinero puede ganar, perder o cambiar de valor con el transcurso del tiempo, debido a la inflación; para ello debemos saber emplear en particular las matemáticas financieras. Además es trascendental su manejo ya que la economía de cualquier nación está basada en el crédito y para tomar una decisión acertada es necesario tomar en cuenta que a través del tiempo el valor del dinero puede tener variaciones.

La intención de los presentes apuntes de Matemáticas Financieras es el lograr que el estudiante conozca de una manera más cercana a los conocimientos más importantes que se ven el medio financiero y bursátil, además que se puede considerar que son la base para poder estudiar otras materias que por sus características es requisito el saber de los conceptos y procedimientos para el manejo del dinero.

Introducción

Se ha tratado de exponer todas las unidades de la asignatura de una manera clara y sencilla, utilizando un lenguaje simple para que el estudiante encuentre interesante el campo de las matemáticas financieras. A lo largo de las unidades se verán problemas prácticos, empezando por ver el Interés Simple que es la base de los siguientes temas como son el Interés Compuesto, Anualidades, Amortización y Depreciación, hasta llegar a la parte de Aplicaciones. Es importante aclarar que las matemáticas financieras, como todas las demás matemáticas, requieren de trabajo y práctica, por ello la recomendación de realizar todos los ejercicios que contiene el cuaderno de actividades y la guía de estudio. Estamos seguros que al final de la materia, el alumno tendrá conocimientos suficientes para poder tomar una decisión en todo lo referente al manejo del dinero.

1.1. Concepto 1.2. Monto, capital, tasa de interés y tiempo 1.3. Tipos de interés simple (clasificación) 1.4. Descuento bancario o simple 1.5. Ecuación de valor

Unidad 1: Interés simple

Al terminar la unidad el estudiante debe diferenciar entre monto, interés, tasa de interés, tiempo y capital, así como hacer los cálculos respectivos para obtener cada concepto. Deberá utilizar las herramientas necesarias para la reestructuración de una o varias deudas, conocer como cambia el valor del dinero en el transcurso del tiempo.

Objetivos particulares de la unidad

UNIDAD 1. INTERES SIMPLE

1.1. Concepto

El interés es la cantidad que debe pagar una persona por el uso del dinero tomado en préstamo. La cantidad del interés depende de las variables siguientes:

 Capital: cantidad que se da en préstamo.  Plazo: tiempo durante el cual se presta el capital.  Tasa de interés.

Fórmula general del interés

El interés es el producto que resulta de multiplicar el capital por la tasa; y multiplicándolo por la(s) unidad(es) de tiempo obtenemos el interés total que corresponde a dicha(s) unidad(es).

Para designar los diversos elementos del interés, se emplean las literales siguientes: I = Interés C = Capital, principal, valor actual o valor presente i = Tasa de interés por unidad de tiempo t = Tiempo o plazo

Al aplicar la definición anterior, tenemos la fórmula siguiente:

I = Cit …………………………….………………......................................................(1)^1

NOTA: para aplicar la fórmula y resolver el problema, los datos de tiempo ( t ) y tasa de interés ( i ) deben referirse a una misma unidad de tiempo.

(^1) Se enumeran las fórmulas planteadas, con el fin de identificarlas fácilmente en el documento cuando se haga referencia a ellas.

se extraen las que sirvan para calcular el capital ( C ), tasa de interés ( I ) y tiempo ( t ), despejando cada una de esas variables de la fórmula de interés ( I ):

C = I / it………. ..............……………………………….......................………………..(2)

i = I / Ct…………………….. …...………………………………...............................…(3)

t = I / Ci…….. ...………………………………………........................…………………(4)

1.2. Monto, capital, tasa de interés y tiempo.

Cálculo del capital ( c )

Ejercicio 2. ¿Qué capital ( C ), con tasa de interés del 12% anual ( i ), produce intereses de $15,000.00 ( I ) en 10 meses ( t )?

C =?

I = $15,000. i = 12% anual = 0.12 anual t = 10/12 de año

C = I / it = 15000 / [0.12 x (10/12)] = $150,000.

Cálculo de la tasa de interés ( i )

Ejercicio 3. ¿Cuál es la tasa de interés ( i ) a la que ha estado invertido un capital de $110,000.00 ( C ) que durante dos años y 5 meses ( t ) produjo $39,875.00 de interés ( I )? i =? C = $110,000. I = $39,785. t = 2 años y 5 meses = 29 meses

i = I / Ct = 39875 / (110000 x 29) = 0.0125 = 1.25% mensual

Si el interés es de 1.25% cada mes, corresponde a 1.25 x 12: 15% anual.

NOTA: si la tasa de interés es la incógnita, la unidad de tiempo será la que se maneje en la variable tiempo.

Cálculo del tiempo ( t )

Ejercicio 4. ¿Qué tiempo ( t ) habrá estado invertido un capital de $85,000.00 ( C ) que produjo un interés de $35,700.00 ( I ) a una tasa anual de 21% ( i )?

t =? C = $85,000. I = $35,700. i = 21% anual = 0.21 anual

t = I / Ci = 35700 / (85000 x 0.21) = 2 años

NOTA: cuando se pide la tasa de interés en años, automáticamente, la tasa saldrá anualizada. Es decir, toma la unidad de tiempo que maneja la tasa de interés.

Monto de un capital utilizando interés simple Se conoce por monto a la suma del capital ( C ) más el interés ( I ). (También se le denomina valor futuro, valor acumulado o valor nominal).

Si designamos como M a dicha suma, tenemos:

M = C + I……..…………………………...……………………………………………… (5) Y si la fórmula del interés ( I ):

I = Cit..................……………………………………………………………………….. .(1)

la sustituimos en la fórmula del monto ( M ) arriba anotada, tenemos que:

M = C + Cit = C (1+ it)……….………….………………………...........................….. (6)

M

------ – 1 = i t C

(M/C) – 1 -------------- = t……………………..……………………………………......................... (8) i

Por último, para encontrar la tasa de interés, aplicamos la fórmula siguiente:

(M/C) – 1

--------------- = i………….……………………………………………………................. (9) t

A continuación –mediante ejercicios– se analizan las fórmulas anteriores. (Conviene que realices los cálculos, para que comprendas cómo se resolvieron cada una de las literales).

Cálculo del capital ( C ) utilizando monto ( M )

Ejercicio 6. ¿Cuál es el capital ( C ) que produjo un monto ( M ) de $135,000.00, a una tasa ( i ) de 14% anual durante nueve meses?

C =? = $122,171. M = $135,000. i = 14% = 14% anual = 0. t = 9 meses = 9/12 de año

13,5000 13,5000 13, C = ---------------------- = ---------------- = ------------ 1 + (0.14) (9/12) 1 + 0.105 1.

C = $122,171.

NOTA: si en el enunciado no se especifica la unidad de tiempo a la que se establece la tasa de interés, se sobreentiende que es anual.

Cálculo del tiempo ( t ) utilizando monto ( M )

Ejercicio 7. ¿Durante qué tiempo ( t ) un capital ( C ) de $122,171.94, impuesto a 14% anual ( i ), se convierte en un valor futuro ( M ) de $135,000.00?

C = $122,171. M = $135,000. i = 14% = 14% anual = 0.

t =?

t = -------------------------------- = ---------------- = ----------- 0.14 0.14 0.

t = 0.75 años = 0.75 * 12 = 9 meses

NOTA: observa que, como el tiempo resultó en fracción de año, se utiliza una regla de tres para obtener la unidad de tiempo preferida, que en este ejercicio es:

1 año 12 meses 0.75 año? Operación: (0.75 x12)/1 = 9 meses

Cálculo de la tasa de interés ( i ) utilizando monto ( M )

Ejercicio 8. ¿A qué tasa de interés ( i ) habrá estado impuesto un capital ( C ) de $122,171.94, que en 9 meses ( t ) produjo un monto ( M ) de $135,000?

C =? = $122,171. M = $135,000.