MATEMÁTICAS 2. ADE y ECONOMÍA CURSO 2016-17 EJERCICIOS CAPÍTULO 3: OPTIMIZACIÓN LIBRE
EJERCICIOS CAPÍTULO 3
1) Analiza la convexidad de los siguientes conjuntos:
a)S1=©(x,y)∈R2:x−2y≤1, x−y≥1ª
b)S2=©(x,y)∈R2:y≥x2,y≤x+2ª
c)S3=©(x,y)∈R2:x2+y2>1, x2+y2≤9ª
d)S4=©(x,y)∈R2:|x| < 3, |y−1| ≤ 2ª
e)S5=©(x,y)∈R2: (x−1)2≥yª
f)S6=©(x,y)∈R2:x≥0, y≥0, 6x+2y≤8ª
2) Identifica gráficamente los puntos extremos de los conjuntos del ejercicio 1 que sean convexos.
3) En los siguientes problemas razona si es posible aplicar el Teorema de Weierstrass a la función
y conjunto que se indica. Utilizando curvas de nivel calcula los máximos y mínimos globales, en
caso de que existan.
a)f(x,y)=qx2+y2S=cuadrado de vértices (1,0), (0,1), (−1,0), (0,−1)
b)f(x,y)=x−2y S =cuadrado de vértices (1,0), (0,1), (−1,0), (0,−1)
c)f(x,y)=xy S =cuadrado de vértices (1,0), (0,1), (−1,0), (0,−1)
d)f(x,y)=x+y S =©(x,y)∈R2:|x| < 2, |y| ≤ 2ª
4) Analiza la concavidad/convexidad de las siguientes funciones:
a)f(x,y)=x2+ey
b)f(x,y,z)=x2+xz +y2+z2
c)f(x,y)=ex2+y2
d)f(x,y)=ln(5x+2y)
e)f(x,y,z)=x2+y z −y2+z2
f)f(x,y)= −(x−4)2−(y−5)2
Calcula los puntos críticos (si los hay) de las funciones anteriores y analiza si son máximos o mí-
nimos locales.
5) Demuestra que si f(x,y), g(x,y) son dos funciones cóncavas, entonces la función mínimo de las
dos, h(x,y)=m´
ın©f(x,y), g(x,y)ªes también cóncava (ver primero el resultado gráficamente para
funciones de una variable).
6) Demuestra que si f(x,y), g(x,y) son dos funciones convexas, entonces la función máximo de las
dos, h(x,y)=m´
ax©f(x,y), g(x,y)ªes también convexa (ver primero el resultado gráficamente pa-
ra funciones de una variable).
7) Analiza, según los valores del parámetro α, si la función f(x,y)= −6x2+(2α+4)x y −3
2y2+4αyes
cóncava, convexa, o ninguna de las dos cosas.
8) Demuestra que la función f(x,y)=x y es cuasi-cóncava, pero no cóncava, definida en el conjunto
S=©(x,y)∈R2:x>0, y>0ª.
9) Analiza la concavidad, convexidad, cuasi-concavidad o cuasi-convexidad de f(x,y)=x2+y3.
10) En un mercado de plátanos (P) y naranjas (T) las preferencias de John Lennon venían dadas por
la función de utilidad uJ(P,T)=m´
ın{3P,T}. Se pide1
a) Dibuja, al menos, tres curvas de nivel (curvas de indiferencia) de la función de utilidad.
b) Razona si esta función de utilidad es cóncava, convexa, cuasi-cóncava o cuasi-convexa.
c) Si es de alguno de los tipos anteriores, analiza si lo es estrictamente.
1Este ejercicio se ha tomado prestado de nuestro compañero, y sin embargo amigo, Ramón Sirvent. Muchas gracias
Ramón.
Mètodes Quantitatius i TeoriaEconòmica
Universitat d’Alacant
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