Mates I, Apuntes de Matemáticas

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Fundamentos Matem´aticos

Tijani Pakhrou

7.8.3. Una aplicaci´on: Probar que no existe l´ım

• 1. Matrices y determinantes Indice general
  • 1.1. Definiciones b´asicas
  • 1.2. Suma de Matrices
  • 1.3. Producto de un escalar por una matriz
  • 1.4. Transposici´on de matrices
  • 1.5. Producto de matrices
  • 1.6. Inversa de una matriz cuadrada
  • 1.7. C´alculo de la matriz inversa
  • 1.8. Determinante de una matriz cuadrada
  • 1.9. Propiedades elementales de los determinantes
  • 1.10. Matriz inversa y determinantes
  • 1.11. Dependencia lineal y rango de una matriz
    • 1.11.1. Dependencia lineal
    • 1.11.2. Rango de un conjunto de vectores
    • 1.11.3. Rango de una matriz
• 1. Sistemas de ecuaciones lineales
  • 2.1. Definiciones b´asicas
  • 2.2. Teorema de Rouch´e-Fr¨obenius
  • 2.3. Regla de Cramer
  • 2.4. Sistemas equivalentes
  • 2.5. M´etodo de Gauss
  • 2.6. Sistemas homog´eneos
    • mog´eneo 2.7. Resoluci´on de un sistema no homog´eneo utilizando un sistema ho-
• 1. Espacios vectoriales
  • 3.1. Definici´on de espacio vectorial
  • 3.2. Subespacios vectoriales
  • 3.3. Intersecci´on de subespacios
  • 3.4. Suma de dos subespacios
  • 3.5. Suma directa de dos espacios
  • 3.6. Sistema generador de un espacio vectorial
  • 3.7. Dependencia lineal de vectores en un espacio vectorial
  • 3.8. Base de un espacio vectorial
  • 3.9. Dimensi´on de un espacio vectorial
  • 3.10. Cambio de Base
• 1. Aplicaciones lineales
  • 4.1. Definici´on de aplicaci´on lineal
  • 4.2. Matriz de una aplicaci´on lineal
  • 4.3. Operaciones con Aplicaciones lineales
  • 4.4. Operaciones con matrices
  • 4.5. Imagen de una aplicaci´on lineal
    • 4.5.1. Definiciones
    • 4.5.2. Im´agenes directas mediante aplicaciones lineales
    • 4.5.3. Dimensi´on de una imagen directa
  • 4.6. N´ucleo de una aplicaci´on lineal
    • 4.6.1. Definici´on
    • 4.6.2. Im´agenes inversas mediante aplicaciones lineales
    • 4.6.3. Dimensi´on del n´ucleo de una aplicaci´on lineal
    • lineal 4.7. Ejemplo: Determinaci´on de la imagen y del n´ucleo de una aplicaci´on
  • 4.8. Aplicaciones lineales inyectivas
    • 4.8.1. Definici´on
    • 4.8.2. Monomorfismo
  • 4.9. Aplicaciones lineales sobreyectivas
    • 4.9.1. Definici´on
    • 4.9.2. Epimorfismo
  • 4.10. Aplicaciones lineales biyectivas
    • 4.10.1. Definici´on
    • 4.10.2. Isomorfismo
    • 4.10.3. Caracterizaci´on de la isomorf´ıa
    • 4.10.4. Ejemplo
  • 4.11. Cambio de base
• 1. Diagonalizaci´on de matrices
  • 5.1. Autovalores y autovectores
  • 5.2. C´omo calcular los autovalores y autovectores
  • 5.3. Propiedades de los autovalores y autovectores
  • 5.4. Multiplicidades algebraicas y geom´etricas
  • 5.5. Matrices diagonalizables
  • 5.6. Forma can´onica de Jordan
    • 5.6.1. Forma can´onica de Jordan para matrices de orden
    • 5.6.2. Forma de Jordan para matrices de orden
  • 5.7. Aplicaciones
    • 5.7.1. Potencia y exponencial de una matriz
    • 5.7.2. Teorema de Cayley-Hamilton
• 1. C´onicas y cu´adricas
  • 6.1. C´onicas o conos
  • 6.2. La elipse
  • 6.3. La hip´erbola
  • 6.4. La par´abola
  • 6.5. Ecuaci´on general de una c´onica
  • 6.6. Ecuaci´on reducida
  • 6.7. C´omo eliminar el t´ermino xy en (F)
  • 6.8. C´omo obtener la ecuaci´on reducida
  • 6.9. Clasificaci´on de las c´onicas
  • 6.10. Cu´adricas
  • 6.11. Clasificaci´on de las cu´adricas
• 1. Funciones
  • 7.1. Funciones reales de variable real
  • 7.2. Funciones definidas “a trozos”
  • 7.3. Representaci´on gr´afica de una funci´on
  • 7.4. L´ımites
  • 7.5. L´ımites en el infinito
  • 7.6. L´ımites infinitos
  • 7.7. Operaciones con l´ımites
  • 7.8. L´ımites de funciones y l´ımites de sucesiones
    • 7.8.1. L´ımite de una sucesi´on
    • 7.8.2. Relaci´on entre el l´ımite de una funci´on y de una sucesi´on
      • f (x) x→c
  • 7.9. L´ımites y desigualdades
  • 7.10. Algunos l´ımites especiales
• 1. Continuidad
  • 8.1. ¿Qu´e es la continuidad?
  • 8.2. Operaciones de funciones continuas
  • 8.3. Continuidad de funciones definidas a trozos
  • 8.4. La continuidad y el c´alculo de l´ımites
  • 8.5. Los “grandes teoremas” sobre continuidad
    • 8.5.1. Teorema del m´aximo y del m´ınimo
    • 8.5.2. Teorema de acotaci´on
    • 8.5.3. Teorema de los valores intermedios
• 1. Derivabilidad
  • 9.1. La derivada
  • 9.2. Significado de la derivada
  • 9.3. T´ecnicas para el c´alculo de derivadas
    • 9.3.1. Reglas b´asicas de derivaci´on
    • 9.3.2. Derivadas de algunas funciones
    • 9.3.3. La regla de la cadena
    • 9.3.4. Funciones inversas
    • 9.3.5. Derivadas de funciones definidas “a trozos”
  • 9.4. El Teorema del Valor Medio
    • 9.4.1. Teorema de Rolle
    • 9.4.2. Teorema del Valor Medio
    • 9.4.3. Aplicaciones del Teorema del Valor Medio
  • 9.5. Teorema de Cauchy - ) - ) ∞
  • 9.6. Derivadas de orden superior
    • 9.6.1. Desarrollo de Taylor
    • 9.6.2. Teorema de Cauchy generalizado
  • 9.7. Funciones crecientes y decrecientes
    • 9.7.1. Una condici´on suficiente para crecimiento y decrecimiento
    • 9.7.2. ¿D´onde es positiva y d´onde es negativa una funci´on?
  • 9.8. Convexidad y concavidad
  • 9.9. M´aximos y M´ınimos locales
    • 9.9.1. Condici´on necesaria de extremos locales
    • 9.9.2. Condici´on suficiente de extremos locales
  • 9.10. Extremos absolutos
    • 9.10.1. ¿C´omo determinar los extremos absolutos en un intervalo I?
    • 9.10.2. Aplicaciones: “Maximizar” y “Minimizar”
  • 9.11. As´ıntotas
  • 9.12. Esquema-Resumen para la representaci´on gr´afica de funciones
• 10.Integraci´on
  • 10.1. ¿Qu´e es la integral de una funci´on?
  • 10.2. La regla de Barrow
  • 10.3. C´alculo de primitivas
    • 10.3.1. Notaciones y cuestiones b´asicas
    • 10.3.2. Integrales inmediatas
    • 10.3.3. Propiedades b´asicas de la integral indefinida
    • 10.3.4. La integraci´on por partes
    • 10.3.5. Cambio de variable
• 11.Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
  • 11.1. Concepto de ecuaci´on diferencial ordinaria
  • 11.2. Soluci´on de una ecuaci´on diferencial ordinaria
    • 11.2.1. Soluci´on general de una ecuaci´on diferencial ordinaria
    • 11.2.2. Soluci´on particular de una ecuaci´on diferencial ordinaria
  • 11.3. Ecuaciones diferenciales de variables separables de primer orden
  • 11.4. Ecuaciones diferenciales homog´eneas de primer orden
  • 11.5. Ecuaciones diferenciales lineales de primer orden
    • constantes 11.6. Ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden con coeficientes
      • mog´enea de segundo orden con coeficientes constantes 11.6.1. C´alculo de la soluci´on general de la ecuaci´on diferencial ho-
      • completa de segundo orden con coeficientes constantes 11.6.2. C´alculo de la soluci´on particular de la ecuaci´on diferencial

1. Se llama matriz nula, y se denota O, a aquella cuyos coeficientes son todos

cero.

O =

1. Si la matriz es de tipo n × n, se dice que es cuadrada de orden n. En tal

caso, los coeficientes a 11 , a 22 ,... , ann constituyen la diagonal principal de A.

1. Si aij = 0 siempre que i > j, es decir,

A =

a 11 a 12 a 13... a 1 n− 1 a 1 n

0 a 22 a 23... a 2 n− 2 a 2 n

0 0 a 33... a 3 n− 1 a 3 n

. . .

0 0 0... a(n−1)(n−1) a(n−1)n

0 0 0... 0 ann

se dice que A es triangular superior

1. Si aij = 0 siempre que i < j, es decir,

A =

a 11 0... 0 0

a 21 a 22... 0 0

. . .

a(n−1)1 a(n−1)2... a(n−1)(n−1) 0

an 1 an 2... an(n−1) ann

se dice que A es triangular inferior

1. Las matrices cuadradas que son, simult´aneamente, triangulares superiores e

inferiores, se llaman matrices diagonales.

A =

a 11 0... 0

0 a 22... 0

. . .

0 0... ann

1. La matriz diagonal de orden n cuyos coeficientes aii = 1 se denota In y se

llama matriz identidad de orden n.

In =

Ejemplo 1.1.3. La matriz

A =

es cuadrad de orden tres, de hecho es triangular superior.

1.2. Suma de Matrices

Dados dos matrices A = (aij ) y B = (bij ) del mismo tipo m × n,

A =

a 11 a 12... a 1 n

a 21 a 22... a 2 n

. . .

am 1 am 2... amn

B =

b 11 b 12... b 1 n

b 21 b 22... b 2 n

. . .

bm 1 bm 2... bmn

se llama suma de A y B a la matriz A + B, tambi´en de tipo m × n, cuyo

coeficiente de la fila i-´esima y la columna j-´esima es aij + bij.

A + B =

a 11 + b 11 a 12 + b 12... a 1 n + b 1 n

a 21 + b 21 a 22 + b 22... a 2 n + b 2 n

. . .

am 1 + bm 1 am 2 + bm 2... amn + bmn

Proposici´on 1.2.1. Si A, B, C ∈ Mm×n (matrices de tipo m × n), entonces:

1. Asociativa: (A + B) + C = A + (B + C)

2. Conmutativa: A + B = B + A

3. Existencia de elemento neutro: A + O = A

4. Existencia de elemento opuesto: Si denotamos −A la matriz cuyo coeficiente

de la fila i−´esima y la columna j−´esima es −aij , entonces A + (−A) = O.

Proposici´on 1.4.1. Si λ, ∈ R y A, B ∈ Mm×n (matrices de tipo m × n), entonces:

1) (A + B)

t = A

t

• B

t

1. (λA)

t = λA

t

3) (A

t )

t = A

1.5. Producto de matrices

Sea A = (aij )

1 ≤j≤n 1 ≤i≤m y^ B^ = (bij^ )

1 ≤j≤p 1 ≤i≤n dos matrices de tipos^ m^ ×^ n^ y^ n^ ×^ p,

respectivamente. Se llama matriz producto de A por B, en este orden, y se denota

C = AB, a la matriz de tipo m × p cuyo t´ermino de fila i−´esima y la columna

j−´esima es

cij = ai 1 b 1 j + ai 2 b 2 j + · · · + ainbnj =

n ∑

k=

aikbkj.

Observaci´on 1.5.1. Para efectuar el producto AB, es necesario que el n´umero de

columnas de A coincide con el de filas de B.

Ejemplo 1.5.2. Sea A = (a 1 , · · · , an) y B = (b 1 , · · · , bn) dos matrices de tipo 1 × n.

no se pueden multiplicar.

La matriz B

t es de tipo n × 1, y el producto AB

t es el producto escalar de A y

B.

AB

t = (a 1 , · · · , an)

b 1

b 2

. . .

bn

= a 1 b 1 + a 2 b 2 + · · · + anbn.

Ejemplo 1.5.3.

Ejemplo 1.5.4.

Observaci´on 1.5.5. sean A y B dos matrices. En general, aunque los dos productos

AB y BA existen, no coinciden (AB 6 = BA)

Ejemplo 1.5.6. ( 2 − 3

Proposici´on 1.5.7. El producto de matrices satisface las siguientes propiedades:

1. (AB)C = A(BC), si A ∈ Mm×n , B ∈ Mn×p y C ∈ Mp×q.

2. (A + B)C = AC + BC, si A, B ∈ Mm×n y C ∈ Mn×p.

3. A(B + C) = AB + AC, si A ∈ Mm×n y B, C ∈ Mn×p.

4. ImA = A = AIn, si A ∈ Mm×n.

5. λ(AB) = (λA)B, si A ∈ Mm×n , B ∈ Mn×p y λ ∈ R.

6) (AB)

t = B

t A

t , si A ∈ Mm×n , B ∈ Mn×p.

Sustituyendo la fila F

′ 3 por^ F^

′ 3 −^3 F^

′ 1 , obtenemos: 

F

′′ 1

F

′′ 2

F

′′ 3

Sustituyendo la fila F

′′ 2 por^ −F^

′′ 2 , obtenemos



F

′′′ 1

F

′′′ 2

F

′′′ 3

Sustituyendo la fila F

′′′ 3 por^ F^

′′′ 3 + 2F^

′′′ 2 , obtenemos:

F

(4) 1

F

(4) 2

F

(4) 3

Sustituyendo la fila F

(4) 1 por^ F^

(4) 1 −^2 F^

(4) 2 , obtenemos:

F

(5) 1

F

(5) 2

F

(5) 3

Sustituyendo la fila F

(5) 3 por^ F^

(5) 3 +^ F^

(5) 1 , obtenemos:

F

(6) 1

F

(6) 2

F

(6) 3

Sustituyendo la fila F

(6) 2 por^ F^

(6) 2 −^2 F^

(6) 3 , obtenemos:



F

(7) 1

F

(7) 2

F

(7) 3

Por tanto, se obtiene que

A

− 1

1.8. Determinante de una matriz cuadrada

Asociaremos a la matriz A un escalar, que denotaremos det(A) y que definiremos

por recurrencia sobre el orden n de la matriz.

 El caso n = 1, A es un escalar

A = (a 11 )

, y se define su determinante como

det(A) = |A| = a 11.

 Si n > 1, y fijados dos ´ındices i, j, se denota Aij a la matriz de orden n − 1

que resulta de eliminar en A la fila i y la columna j. As´ı supuesto

definida la noci´on de determinante para matrices de orden n − 1, se define

det(A) = |A| =

∑^ n

i=

i+ ai 1 det(Ai 1 ).

Ejemplo 1.8.1.

A =

a 11 a 12

a 21 a 22

A 11 =

a 11 6 a 12

6 a 21 a 22

= a 22 , A 21 =

a 11 a 12

6 a 21 6 a 22

= a 12

det(A) =

a 11 a 12

a 21 a 22

= a 11 det(A 11 ) − a 21 det(A 21 )

= a 11 a 22 − a 21 a 12.

Ejemplo 1.8.2.

A =

det(A) = (−1)

1+ 2 det

2+ (1) det

3+ (1) det

det(A) = 2(2 − 0) −

(−1)1 − 0 × 5

(−1)1 − 2 × 5

Ejemplo 1.9.4. Sea

A =

tenemos det(A) = −80.

Proposici´on 1.9.5. Si tres matrices cuadradas A, B y C son id´enticas salvo en que

la i-´esima fila (o columna) de C es la suma de las filas (o columnas) correspondientes

de A y B, entonces

det(C) = det(A) + det(B),

esto es:

det(C) =

a 11 a 12... a 1 n

. . .

x 1 + y 1 x 2 + y 2... xn + yn

. . .

an 1 an 2... ann

a 11 a 12... a 1 n

. . .

x 1 x 2... xn

. . .

an 1 an 2... ann

a 11 a 12... a 1 n

. . .

y 1 y 2... yn

. . .

an 1 an 2... ann

= det(A) + det(B).

Proposici´on 1.9.6. Si una matriz cuadrada A tiene dos filas (o columnas) iguales,

entonces

det(A) = 0,

esto es:

det(A) =

a 11 a 12... a 1 n

. . .

x 1 x 2... xn

. . .

x 1 x 2... xn

. . .

an 1 an 2... ann

Proposici´on 1.9.7. Si B es la matriz que se obtiene de una matriz A intercam-

biando dos de sus filas (o columnas), entonces

det(B) = − det(A),

esto es:

det(B) =

a 11 a 12... a 1 n

. . .

x 1 x 2... xn

. . .

y 1 y 2... yn

. . .

an 1 an 2... ann

a 11 a 12... a 1 n

. . .

y 1 y 2... yn

. . .

x 1 x 2... xn

. . .

an 1 an 2... ann

= − det(A).

Proposici´on 1.9.8. Si B es la matriz que se obtiene a partir de una matriz A

multiplicando por un n´umero real λ una de sus filas (o columnas), entonces

det(B) = λ det(A),

esto es:

det(B) =

a 11 a 12... a 1 n

. . .

λx 1 λx 2... λxn

. . .

an 1 an 2... ann

= λ

a 11 a 12... a 1 n

. . .

x 1 x 2... xn

. . .

an 1 an 2... ann

= λ det(A).

Proposici´on 1.9.9. Si una matriz tiene una fila (o columna) de ceros, su determi-

nante es nulo.

Proposici´on 1.9.10. Si A una matriz cuadrada de orden n y λ un escalar, entonces

det(λA) = λ

n det(A).

Proposici´on 1.9.11. Si a una fila (o columnas) de una matriz cuadrada A se le