¡Descarga Documento de apuntes sobre álgebra lineal y cálculo multivariable - Prof. 29 y más Apuntes en PDF de Administración de Empresas solo en Docsity!
Trias i Giró 15-19, bajos. Tel. 93.203.34. Desde 1975 formando universitarios
ACADEMIA SOL CAMPUS NORD
www.campusnord.academiasol.com www.facebook.com/academiasolnord
C/trias i Giró 15, 93.203.34.
Profesor: Darío
MATEMÁTICAS 1
Trias i Giró 15-19, bajos. Tel. 93.203.34. Desde 1975 formando universitarios
M ATES I-DERIVADAS
f(x) f’(x)
x
n
n x
n-
f
n
(x) n f
n-
(x) f’(x)
x
x^2
ln x x
ln f(x) ( )
f x
f’(x)
e
x
e
x
sin (x) cos(x)
sin f(x) cosf(x) f’(x)
cos (x) -sin (x)
cos f(x) -sin f(x) f’(x)
Trias i Giró 15-19, bajos. Tel. 93.203.34. Desde 1975 formando universitarios
PREGUNTES TIPIQUES D´EXAMEN PER TEMES
1. Àlgebra
1.1. Espai vectorial Rn
1.1.1. Concepte
1.1.2. Combinació lineal de vectors
1.1.3. Dependència i independència lineal de vectors
1.1.4. Sistema de generadors
1.1.5. Base de l’espai vectorial. Components d’un vector en una base
1.1.6. Subespai vectorial. Subespai vectorial engendrat
Sigui B una base de R 3. a) B està formada per 3 vectors com a màxim. b) B està formada per 3 vectors com a mínim. c) B està formada per 3 vectors exactament. d) El nombre de vectors d'una base de R^3 no és fixe.
Considereu el sistema de vectors format per v1 = (1, 1, 0, 3) , v2 = (2,−1, 3, 1) i v3 = (0, 2,−1, 4). Podem afirmar: (a) només conté 2 vectors linealment independents, (b) és un sistema de vectors linealment independent, (c) només hi ha un vector linealment independent, (d) amb vectors de 4 components no poden existir 3 vectors linealment independents.
El vector v = (−1,−8,−4) es pot expressar com a combinació lineal dels vectors: v1 = (3, 0, 2) , v2 = (1, 2, 3) , v3 = (7, 2, 4) , i llavors podem assegurar: (a) no és possible, ja que no és un sistema de vectors linealment independents, (b) és un sistema de vectors linealment independent, però no podem expressar-lo, (c) podem escriure v = 5v1 − 2v2 − 2v3, (d) cap dels anteriors.
Sigui A la matriu formada pels vectors u = (1,−1, 0), v = (−1, 1, 0), w = (0, 1, 0) i s = (1, 1, 1) Indica quin és un subconjunt de {u, v,w, s} format pel màxim nombre de vectors linealment independents i relaciona-ho amb el rang de la matriu A.
(a) {u, v} i el rang d’A és 2 (b) {u, v,w} i el rang d’A és 3 (c) {u, v,w, s} i el rang d’A és 4 (d) {v,w, s} i el rang d’A és 3
Trias i Giró 15-19, bajos. Tel. 93.203.34. Desde 1975 formando universitarios
Donats els vectors u1 = (−1, 2, 0), u2 = (2, 1, 2), u3 = (0, 5, k), amb k R. Aleshores es verifica: (a) el conjunt {u1, u2} és una base de R^3 , (b) el conjunt {u1, u2, u3} és una base de R 3 només si k = 2, (c) el conjunt {u1, u2, u3} és una base de R^3 només si k 2, (d) cap de les anteriors.
Per quins valors del paràmetre k, els vectors (1, 1, k) , (2, k, 3) i (4, 3, 5) són linealment depenents (a) mai són linealment depenents. (b) són depenents si k = 1 ó k = 7/ (c) són depenents si k 1 i k 7/ (d) són depenents si k = 2.
El conjunt de vectors {(1, 0, 1), (1, 0, 2), (1, k, 3)} és una base de R^3 per a: (a) qualsevol k 0. (b) qualsevol valor de k. (c) k = 0. (d) cap de les anteriors.
La dimensió del subespai vectorial de R^3 generat pel conjunt de vectors {(4, −2, 6) , (−8, 4, −12) , (2, −1, 3) , (4, 2, 6)} és igual a:
(a) 3. (b) 4. (c) 2. (d) 1.
El vector (k, −k, 3) és combinació lineal del conjunt de vectors {(3, 2, 0) , (1, 4, 6)}: (a) només per a k = 1. (b) per a qualsevol valor de k. (c) només per a k = −1. (d) per a k = 1 i per a k = −1.
Una base del subespai de R^3 definit per S = {(x, y, z) | x − 2y − z = 0} és
(a) (1,−2,−1). (b) (2, 1, 0) , (1, 0, 1). (c) (−1,−2,−1). (d) (1, 0, 0) , (0, 1, 0) , (0, 0, 1).
Trias i Giró 15-19, bajos. Tel. 93.203.34. Desde 1975 formando universitarios
Considereu la funció f(x, y) = x2 + (y − 1) 2. Si dibuixem les corbes de nivell, podem dir: (a) les corbes de nivell de f son rectes paral·leles, (b) les corbes de nivell de f son circumferències, (c) les corbes de nivell de f son paràboles, (d) la corba de nivell k = 0 passa pel punt (1, 2).
Donada la funció f(x, y) = x^2 + 2 + y, aleshores les seves corbes de nivell son:
(a) paràboles, (b) circumferències, (c) rectes (d) cap de les anteriors
Sigui f(x, y) = x + y
(a) Les corbes de nivell de f son paràboles. (b) f només té corbes de nivells positius. (c) La corba de nivell 0 passa pel punt (0, 0) (d) Pel punt (1, 1) NO passa cap corba de nivell.
Sigui la funció f(x,y) = (x-2)^2 +y 2. Dibuixeu les corbes de nivell
a) Les corbes de nivell de f són rectes paral·leles , per tant tenen totes el mateix nivell. b) Les corbes de nivell de f són circumferències concèntriques. c) Les corbes de nivell de f són paràboles. d) Donat qualsevol número real existeix una corba amb aquest nivell.
Sigui f(x,y)=4·x·y Considerem les corbes de nivell k. La corba de nivell que passa per (5,0) és k= Les corbes de nivell de f són rectes La corba de nivell k=450 passa per (20,5) No té corbes amb nivells negatius
2.1.2. Derivades parcials i direccionals. Marginalitat
Donada la funció f(x, y) = x^2 y+xy 2 , si trobem el valor de la derivada direccional en el punt P(−1, 1) i en la direcció del vector ~v = (1, 1).
(a) f0~v=(1,1)(−1, 1) = − 2 , (b) f0~v=(1,1)(−1, 1) = 2 , (c) f0~v=(1,1)(−1, 1) = 2, (d) f0~v=(1,1)(−1, 1) = −2.
Trias i Giró 15-19, bajos. Tel. 93.203.34. Desde 1975 formando universitarios
Assenyaleu quina de les següents afirmacions és FALSA:
(a) les derivades parcials d’una funció son les derivades direccionals en la direcció dels eixos de coordenades, (b) si una funció real de variable real és derivable, no forçosament és contínua, (c) la direcció del gradient és aquella en la qual la derivada direccional pren el valor màxim, (d) la derivada d’una funció real d’una variable és el pendent de la tangent en aquest punt.
Assenyaleu quina de les següents afirmacions és CERTA: (a) les derivades parcials d’una funció son derivades direccionals en certes direccions, (b) si una funció real de variable real és contínua, forçosament és derivable, (c) la direcció del gradient és aquella en la qual la derivada direccional pren el valor zero, (d) totes les altres respostes son falses.
Sigui f(x, y) = 2x2 + y3 El vector que indica la direcció en la que la derivada direccional de f en el punt (1, 1) és màxima és (a) (1, 0) (b) (1, 1) (c) (4, 3) (d) (2,−1)
2.1.3. Vector gradient. Hiperplà tangent i funció diferenciable
El gradient de la funció f(x; y) = ln( x/y ) _es: a) (1/x;-1/y) b) (x;-y) c) (ln(1/x);-ln(1/y)) d) (1/y;-x/y^2 )
El gradient de la funci´o f(x, y, z) = x^2 cos z + y2z^ + xy 3 en el punt (1,−1, 0) és: (a) (1, 3, 1), (b) (−1, 0, 3), (c) (1,−1, 2), (d) cap de les anteriors.
El gradient de la funció f(x, y, z) = xy · e x^ en el punt (0, 1, 1) és:
(a) 1, (b) (1, 0), (c) (1, 0, 0), (d) cap dels anteriors.
Trias i Giró 15-19, bajos. Tel. 93.203.34. Desde 1975 formando universitarios
Sigui la funció implícita x^3 x^2 · y 2 y^2 10 y 0. Calculeu x
y
x xy
x y d x xy
x y c
x y
x xy b x y
x xy a
2
2 2
2
2
2 2
2
L’equació 2 x y y^3 0 defineix implícitament a y com a funció de x. Aleshores, la
derivada dx
dy en el punt ^0 ,^0 val:
a) 2.
b) 2
c) 2. d) Cap de les anteriors
Sigui la funció y=y(x) definida implícitament mitjançant l’equació x^3 x^2 · y 2 y^2 10 y 0.
Calculeu d y d x
x xy
x y d x xy
x y c
x y
x xy b x y
x xy a
2
2 2
2
2
2 2
2
2.1.6. Funcions homogènies. Teorema d’Euler
La funció f (x, y, z) = x y
x y
a) És homogènia de grau 2. b) És homogènia de grau 1. c) És homogènia de grau 0. d) No és homogènia.
En la funció anterior, la derivada parcial ∂f /∂x és una funció: a) Homogènia de grau 2. b) Homogènia de grau 1. c) Homogènia de grau 0. d) No homogènia.
Trias i Giró 15-19, bajos. Tel. 93.203.34. Desde 1975 formando universitarios
Esbrineu quina de les següents funcions és homogènia:
Suposem que f x , y y g x , y son homogènies de grau r i s respectivament,
essent r s. Esbrineu quina de les següents afirmacions es vertadera.
Donada la funció:
1 2 1 2 3 3
x x f x x x x
de la funció 3
f x
podem dir que és: a) Homogènia de grau 1. b) Homogènia de grau 0. c) Homogènia de grau –1. d) Homogènia de grau –2.
7. Derivació successiva. Matriu hessiana
La matriu hessiana de la funció f (x, y) = x y , avaluada en qualsevol
punt (x, y) , amb x > 0, y > 0 :
(a) no és simétrica, (b) té el determinant negatiu, (c) no té inversa, (d) cap de les anteriors respostes és correcta.
, , és homogènia de grau /
, , és homogènia de grau
, és homogènia de grau 2
, , no és homogènia
a f x y g x y r s
b f x y g x y r s
c g x y s
d f x y g x y
, 1
, ln ln
2 2
4 4
2
d f x y x y
x y x y
x y c f x y
x y
x y b f x y
a f x y x y
Trias i Giró 15-19, bajos. Tel. 93.203.34. Desde 1975 formando universitarios
2.2.2. Condició necessària d’optimitat local
Si considerem la funció f(x, y) = y^4 − 4xy + 4x^2 , resulta que té: (a) 2 punts crítics, (b) 1 punt crític, (c) 3 punts crítics, (d) cap dels anteriors.
2.2.3. Condició suficient d’optimitat local
Si considerem la funció f(x, y) = 4xy − x^4 − y^4 , resulta que té:
(a) màxims relatius a (1, 1) i (−1,−1), i un punt de sella a (0, 0), (b) màxim relatiu a (1, 1), mínim relatiu a (−1,−1), i un punt de sella a (0, 0), (c) màxims relatius a (1, 1), (0, 0), i (−1,−1), (d) cap dels anteriors.
Sigui f(x, y) = 2xy + x 2 + xy^2 + y^3 :
(a) (−1, 1) compleix la condició necessària d’òptim local. (b) (1, 1) és un mínim local d’f perquè la matriu hessiana d’f en aquest punt és semidefinida positiva. (c) (0, 0) és un punt de sella d’f. (d) (1, −1) és un punt de sella d’f.
PROBLEMA 1:
Sigui f ( , x y ) x^3 y^3 3· x 2^ 3· y^2 una funció definida a R^2
Determineu els seus punts crítics a) L’únic punt crític és (0,0). b) L’únic punt crític és (2,2). c) Només té dos punts crítics (0,2) i (2,0). d) f té més de tres punts crítics.
Determineu la naturalesa dels punts crítics de la pregunta anterior.
a) Tots els punts crítics són punts de sella. b) f té exactament dos punts de sella, un màxim i un mínim. c) f té exactament un punt de sella i dos màxims. d) f té exactament un punt de sella, un màxim i un mínim.
Trias i Giró 15-19, bajos. Tel. 93.203.34. Desde 1975 formando universitarios
2.2.4. Optimització convexa. Teorema local-global
Dada la función f(x,y)= 3x+4y definida en D= { (x,y); 1 x 2, 1 y 2}, entonces:
a) Hay un máximo global y un mínimo local. b) Solo hay un máximo global pero no un mínimo global. c) Sólo hay un mínimo global pero no hay otros óptimos locales. d) Cap de les anteriors.
Considerem la funció f : R^2 R definida per f ( x , y ) ( 3 x 2 )^2 ( y 1 )^2 5 aleshores:
a) Qualsevol punt és un mínim local degut a que la hessiana en qualsevol punt és (^)
b) ( 32 , 1 )és un mínim local però no global. c) ( 32 , 1 )és un mínim global. d) Cap de les anteriors.
Sigu i f(x,y )= (x-2) 2 +y 2 a) Les corbes de nivell de f són paràboles b) f és còncava c) f és estrictament convexa d) Cap de les anteriors
Donada la funció f (x, y) = x2 + ky2 + 2xy, indiqueu quins són els valors del paràmetre k fan que la funció sigui convexa: a) k ≥ 0. b) k ≥ 1. c) La funció és convexa per a qualsevol valor de k. d) No existeix cap valor de k que faci que la funció sigui convexa.
Dada la función z x^3^ y^3^ 3· x 3· y 4 definida en el dominio x>0 , y>
a) Se trata de una función estrictamente cóncava. b) Se trata de una función estrictamente convexa. c) No es una función cóncava ni convexa. d) No hay información suficiente para saber si es cóncava o convexa.
