¡Descarga MATES y más Apuntes en PDF de Matemáticas solo en Docsity!
CONJUNTO
n
1.- Considerar los vectores u = (1, -3, 2) y v = (2, -1, 1) de
3 :
a) Escribir, si es posible, los vectores (1, 7, -4) y (2, -5, 4) como combinación lineal
de u y v.
b) ¿Para qué valores de x es el vector (1, x , 5) una combinación lineal de u y v?
2.- Los vectores v 1 = (1, 1, − 1) , v 2 = (2,1,3) y v 3
= (5, 2, 10) de
3 , ¿son linealmente
independientes? En caso de no serlo hallar la relación de dependencia.
3.- Dados los vectores u 1 = (2, − 1,0) , u 2 = (0,1, − 1) y u 3
= (8,3,1) de
3 , estudiar si son
linealmente dependientes o independientes.
4.- Dados los vectores u 1 = (1,0, − 1,0) , u 2 = (2,0,3, − 1) , u 3 = (1,1, − 1,1) y u 4
de
4 , estudiar si son linealmente independientes. En caso de no serlo hallar la relación
de dependencia.
5.- Dados los vectores de
4 v 1 = (1,1,0, m ) , v 2 = (3, − 1, n , − 1) y v 3 = (−3,5, m , − 4) ,
determinar los valores que han de tomar los parámetros m y n para que los tres vectores
sean linealmente dependientes.
6.- Sean u = (-1, 0, 0), v = (1, 1, 0) y w = (-1, 1, -1) vectores de
3 :
a) Demostrar que { u , v , w } es una base de
3 .
b) Hallar las coordenadas respecto de esta base del vector cuyas coordenadas
respecto de la base canónica son 1, 0, 2.
c) Hallar las coordenadas respecto de la base canónica del vector a = 3 u - v + 5 w.
9.- Dada A ∈ M n probar que las matrices B = A t A y C = AA t son matrices simétricas.
10.- Una matriz A ∈ M n se dice idempotente si A 2 = A. Probar que si A ∈ M n es
idempotente se tiene:
a) B = I n − A es idempotente.
b) AB = BA = 0 n , con B la matriz del apartado a).
11.- Demostrar que si A ∈ M n es regular, entonces A − 1 es también regular. Calcular
A
− 1
− 1 .
12.- Sean A , B , C ∈ M n
. Si A es regular y AB = AC demostrar que entonces B = C. Si A es
singular y AB = AC , ¿deducimos entonces que B = C ?. Razonar la respuesta.
13.- Determinar si son verdaderas o falsas las siguientes cuestiones:
a) El producto de matrices triangulares es triangular.
b) Si A ∈ M n es tal que A 4 = 0 n
A = 0
n
c) A ∈ M n
A
t A = AA t .
d) Sean A , B ∈ M n tales que AB = 0 n
A = 0
n o B = 0 n
e) Sean A , B ∈ M n regulares, entonces A + B es regular.
14.- Sean A , B ∈ M n si AB = A y BA = B , entonces A 2 = A y B 2 = B.
15.- Calcular:
a)
b)
0 a b a 0 c b c 0
c)
d)
e)
f)
g)
h)
x + a b c a x + b c a b x + c
i)
a 3 0 5 0 b 0 2 1 2 c 3 0 0 0 d
j)
x 1 1 1 x 1 1 1 x
k)
1 + x 1 1 1 1 + x 1 1 1 1 + x
l)
m)
n)
a b b b a b b b a
o)
p)
q)
r)
s)
t)
u)
− 1 a 1 1.. 1
− 1 − 1 a 1.. 1
.......
− 1 − 1 − 1 − 1.. a
v)
1 2 3.. n − 1 2 3 4.. n 3 4 5.. n + 1
...... n − 2 n − 1 n.. 2 n − 2 n − 1 n n + 1.. 2 n − 1
16.- Resolver la ecuación
4 x 6
5 7 12
3 − 1 x
24.- Dadas A , B ∈ M n
y t ∈ , verificar que:
a) Si A ≠ B podemos encontrar C ∈ M n tal que CA^ =^ CB^.
b) ( A + B ) 2 = A 2
c) ( A + B )( A − B ) = A 2 − B 2 ⇔ AB = BA.
d) La matriz A + A t es simétrica.
e) | tA | = t n | A |.
f) ∃ A , B ∋ | A + B |≠| A | + | B |.
g) Si A regular | A − 1 | =| A | − 1 .
25.- Estudiar si las siguientes matrices son inversibles. En caso afirmativo calcular la
matriz inversa.
A =
B =
C =
D =
E =
F =
G =
26.- Estudiar la existencia de la matriz inversa según los valores de m ∈ . Calcular la
matriz inversa en los casos que sea posible.
A =
m − 1 0 1 m − 1 1 1 0 1
B =
m 1 − 1 1 2 1
1 3 − 1
C =
m 1 1 1 m 1 1 1 m
27.- Estudiar para que valores del parámetro m ∈ , las siguientes matrices no tienen
inversa.
A =
1 − m 2 3 2 − m
B^ =^
− m 5 2 3 − m
C^ =
2 − m 3 1 1 1 − m 4 0 1 1 − m
D =
m 9 4
4 m − 1 7 7 7
E =
m 1 0
− 1 3 m − 1
28.- Calcular el rango de las siguientes matrices:
A =
B =
C =
D =
E =
F =
G =
H =
I =
29.- Calcular según los valores del parámetro a , el rango de las siguientes matrices:
A =
a 3 − 2 0
− 1 0 − 4 3
B =
a 1 1 1
1 − 1 3 0
4 2 0 a
C =
5 1 a
30.- Resolver, cuando sea posible, los siguientes sistemas de ecuaciones lineales:
a)
x + y − z = 3
5 x − y + 2 z = 5
− 3 x + 3 y − 4 z = 1
b)
x y
x y
x y
c)
x + y − 2 z + t + 3 s = 1
2 x − y + 2 z + 2 t + 6 s = 2
3 x + 2 y − 4 z − 3 t − 9 s = 3
d)
x + y + z = 4
2 x + 5 y − 2 z = 3
e)
x + y + 2 z + t = 3
x + 3 z = 5
3 x + y + 8 z + t = 1
f)
x y z t
x y z t
x z t
g)
x + 2 y + z = 0
2 x + y = 0
3 x + y − z = 0
h)
x + y + 2 z + t = 5
2 x + 3 y − z − 2 t = 2
4 x + 5 y + 3 z = 7
i)
x − y = 0
y + z = 1
x + z = 0
y − z = 1
j)
x + y + 5 t = 0
x + z + 6 t = 0
y + z + 7 t = 0
x + y + 2 z + 13 t = 0
35.- Considerar el sistema lineal
x y
z
, con α ∈ . Discutir el
sistema anterior y resolverlo cuando sea posible.
36.- Considerar las matrices A =
1 a 0 0 a 1 0 1 − a 0 0 1 0
, B =
a
a 2
a^3
y X =
x y
z t
, con a un
parámetro real.
a) Discutir en función de a el sistema AX = B.
b) En los casos que sea posible, calcular las soluciones de AX = B.
37.- En un mercado con competencia perfecta las funciones de oferta y demanda de los
bienes están dadas por:
Q
1 d
= 10 − 2 P
1
+ 4 P
2
Q
2 d
= 10 + 5 P
1
− 3 P
2
Q
1 s
= 20 + 3 P
1
− 2 P
2
Q
2 s
= 30 − 7 P
1
+ 5 P
2
Donde Q id es la cantidad demandada de bien i , Q is es la cantidad ofertada de bien i y P i
es el precio de mercado del bien i , para i =1,2. Calcular los precios para los que el
mercado está en equilibrio y la cantidad demanda y ofertada de cada bien en esta
situación.
38.- La condición de equilibrio para el precio de tres bienes en un mercado queda
determinado por la siguiente condición:
11 P
1
− P
2
− P
3
− P
1
+ 6 P
2
− 2 P
3
− P
1
− 2 P
2
+ 7 P
3
Siendo P 1
, P
2 y P 3 los precios de estos tres bienes. Calcular el precio de equilibrio de
cada bien.
39.- Para la construcción de un almacén se necesita una unidad de hierro y ninguna de
madera. Para la construcción de un piso se necesita una unidad de cada material y para la
construcción de una torre se necesitan 4 unidades de hierro y una de madera. Si
poseemos una reserva de 14 unidades de hierro y 4 de madera, se pregunta:
a) ¿Cuántos almacenes, pisos y torres podemos construir de forma que utilicemos
todas las reservas?
b) Sabiendo que el precio de un almacén es de 1.200.000 €, el de un piso 400.000€
y el de una torre 800.000€, ¿hay alguna combinación que cueste 7.200.000€?
40.- Halla un número de tres cifras sabiendo que éstas suman 9, que si al número dado
se le resta el que resulta de invertir el orden de sus cifras, la diferencia es 198, y que la
cifra de las decenas es la media aritmética de las otras dos.
41.- Dos amigos invierten 20.000€ cada uno. El primero coloca una cantidad A al 4% de
interés, una cantidad B al 5% de interés y el resto al 6%. El otro invierte la misma
cantidad A al 5%, la B al 6% y el resto al 4%. Determina las cantidades A, B y C sabiendo
que el primero obtiene unos intereses de 1.050€ y el segundo de 950€.
42.- Un cajero automático contiene 95 billetes de 10€, 20€ y 50€ y un total de 2.000€. Si
el número de billetes de 10€ es el doble que el número de billetes de 20€, calcular
cuantos billetes hay de cada tipo.
43.- Se dispone de tres cajas A , B, C con monedas de 1€. Se sabe que en total hay 36€.
El número de monedas de A excede en 2 a la suma de las monedas de las otras dos
cajas. Si se traslada 1 moneda de la caja B a la caja A , ésta tendrá el doble de monedas
que B. Averigua cuántas monedas había en cada caja.
44.- Un especulador adquiere 3 objetos de arte por un precio total de 2 millones de
euros. Vendiéndolos, espera obtener de ellos ganancias del 20%, del 50% y del 25%,
respectivamente, con lo que su beneficio sería de 600.000€. Pero consigue más, pues con
la venta obtiene ganancias del 80%, 90% y 85% respectivamente, lo que le da un
beneficio total de 1,7 millones de euros. ¿Cuánto le costó cada objeto?
45.- Una empresa dispone de 27.200 euros para actividades de formación de sus cien
empleados. Después de estudiar las necesidades de los empleados, se ha decidido
organizar tres cursos: A, B, C. La subvención por persona para el curso A es de 400€,
para el curso B es de 160€ y de 200€ para el curso C. Si la cantidad que se dedica al
curso A es cinco veces mayor que la correspondiente al B, ¿cuántos empleados siguen
cada curso?
46.- Un fabricante produce 42 electrodomésticos. La fábrica abastece a 3 tiendas que
demandan toda la producción. En una cierta semana, la primera tienda solicitó tantas
unidades como la segunda y la tercera juntas, mientras que la segunda tienda pidió un
20% más que la suma de la mitad de lo pedido por la primera tienda más la tercera parte
de lo pedido por la tercera. ¿Qué cantidad solicitó cada una?
DIAGONALIZACIÓN DE MATRICES CUADRADAS
1.- Sea A ∈ M n
, λ ∈ un valor propio de A y x ∈
n
vector propio de A asociado a λ.
Probar que:
a) αλ es valor propio de la matriz α A para cualquier α ∈ R y x es vector propio de
α A asociado a αλ.
b) λ
p es valor propio de A p y x es vector propio de A p
asociado a λ
p , con p ∈ .
c) | A | = 0 ⇔λ = 0 es valor propio de A.
d) Si A es regular entonces λ ≠ 0 , además λ
− 1 es valor propio de A − 1 y x es vector
propio de A − 1
asociado a λ
− 1 .
2. - Sean A , B ∈ M n matrices semejantes. Probar que:
a) | A |=| B |.
b) A p es semejante a B p
para cualquier p ∈ .
c) Si A es regular entonces B es regular y A − 1 es semejante a B − 1 .
3.- Sea A ∈ M n
. Probar que A y A t tienen el mismo polinomio característico.
4.- a) Sean A , B ∈ M n matrices regulares. Probar que las matrices AB y BA tienen los
mismos valores propios.
b) Sea A ∈ M n una matriz idempotente ( A 2 = A ). Probar que A sólo puede tener como
valores propios los valores 0 y 1.
5.- Dada la matriz A^ =
se pide:
a) Estudiar si 3 es o no valor propio de A.
b) ¿Son los vectores (1,1,1) y (0,0,1) vectores propios de A? En caso afirmativo,
buscar el valor propio asociado.
6.- Dada la matriz A =
se pide:
a) Estudiar si el vector (−1,
) es o no un vector propio de la matriz A. En caso
afirmativo determinar el valor propio asociado.
b) Lo mismo para el vector (-1,0,1).
7.- Para cada una de las siguientes matrices indicar razonadamente si es diagonalizable
o no. Además:
a) En caso afirmativo, dar una matriz semejante diagonal y la matriz regular de
paso.
b) En caso negativo, calcular los valores propios y los vectores propios asociados a
cada valor propio.
A
1
A
2
A
3
A
4
A
5
A
6
A
7
A
8
A
9
8.- Una matriz A ∈ M 2 verifica las siguientes condiciones: A
=^
y (2,-1) es
vector propio de A asociado al valor propio λ = −2. Hallar la matriz A indicando si es
diagonalizable o no. En caso afirmativo dar una matriz semejante diagonal D y la matriz
de paso P tal que D = P − 1 AP.
9.- Calcular una matriz A ∈ M 3 simétrica que verifique: v =(1,-1,0) es vector propio de A ,
A
y | A | =0. Calcular A 50 .
10.- Sea A = 1 a 2 b
con^ a ,^ b^ ∈^ ^. Calcular los valores de los parámetros^ a^ y^ b^ para que
el vector (2,-1) sea vector propio de A asociado al valor propio 2.
b) Comprobar que se cumple que el determinante de la matriz A es el producto de
sus valores propios.
19.- Comprobar que las matrices A =
y B =
tienen los mismos
valores propios pero sin embargo no son semejantes.
20.- Calcular A 100 y, en general, A k
, con k ∈ , para la matriz A =
21.- Calcular A k
con k ∈ impar para la matriz A =
22.- Calcular A n
∀ n^ ∈^ ^ en cada uno de los siguientes casos:
a) A =
b) A =
23.- Determinar para qué valores de los parámetros b , c ∈ las siguientes matrices son
diagonalizables. En los casos que lo sea, encontrar una matriz diagonal semejante a la
dada.
A
1
0 − 1 b 3 0 c
A
2
b c 0 0 1 0 0 0 2
A
3
0 1 b
0 0 1
24.- Para cada una de las siguientes matrices A i , i=1,2,3, encontrar si es posible una
matriz regular P y una matriz diagonal D de forma que D = P − 1 A i
P.
A
1
A
2
A 3 =
FORMAS CUADRÁTICAS
1.- Dada la forma cuadrática Q ( x , y , z ) = 2 x 2 − y 2
- 2 xz , encontrar la expresión
matricial que se obtiene al realizar el cambio de variables x = 2 x '− y '− z ' , y = − y '+ z ' ,
z = 2 x '+ y '.
2.- Considerar la forma cuadrática Q ( x ) de matriz asociada
A
1
A
2
A
3
A
4
Se pide:
a) Expresar Q ( x ) en forma polinómica.
b) Encontrar, por el método de valores propios, una expresión diagonal para Q ( x ).
c) Clasificar Q ( x ).
3.- Considerar la forma cuadrática Q( x ) de matriz asociada
A
1
A
2
A
3
Se pide:
a) Expresar Q ( x ) en forma polinómica.
b) Encontrar, por formación de cuadrados, una expresión diagonal para Q ( x ).
c) Clasificar Q ( x ).
4.- Para la forma cuadrática Q ( x , y , z ) = 2 x 2
- 5 y 2
- 5 z 2
- 4 xy − 4 xz − 8 yz se pide:
a) Encontrar una expresión diagonal para Q.
b) Clasificar Q.
5.- Para cada una de las siguientes matrices, se pide:
a) Encontrar una matriz diagonal congruente con la matriz dada.
b) Clasificar la forma cuadrática que representa.
A
1
A 2 =
A 3 =
9.- Expresar la forma cuadrática Q ( x , y , z ) = (3 −β) x
2 − y 2 − 4 z 2
una suma de cuadrados y clasificarla según los valores de β ∈ .
10.- Clasificar según los valores de β ∈ la forma cuadrática de expresión
Q ( x , y , z , t ) = x 2
+ 2 β yt + 2 β xz.
11.- Estudiar, según los valores del parámetro a , el signo de la forma cuadrática de
matriz asociada A =
a 2 0 2 a 3 0 3 3
12.- Considerar la forma cuadrática de matriz asociada A =
− 1 a 2 1 a 0 1 0
2 1 4 2
1 0 2 1
. ¿Es definida
negativa para algún valor del parámetro a ?.
13.- Clasificar las siguientes formas cuadráticas restringidas:
a) Q ( x , y ) = 2 x 2
+ 2 2 xy sobre S = {( x , y ) ∈
2 | x − 2 y = 0}.
b) Q ( x , y , z ) = x 2
- 4 y 2
- 5 z 2
- 2 xy − 2 xz + 4 yz para los vectores x + 2 y − z = 0 ,
2 x − 3 y + z = 0.
c) Q ( x , y , z ) = 2 x 2
- y 2 − 4 xy + 2 yz para los vectores x − y + z = 0.
d) Q ( x , y , z , t ) = x 2 − z 2
- 2 xz + xt + 2 yz para los vectores x + y − z = 0, y − t = 0.
14.- Clasificar la forma cuadrática Q ( x , y , z ) = x 2
- y 2 − 2 z 2 restringida a:
a)
S = {( x , y , z ) ∈
3 | x + z = 0}.
b)
S = {( x , y , z ) ∈
3 | x = y = − z }.
15.- Clasificar Q ( x , y , z ) = 2 x 2
- 2 y 2
- 2 z 2
- 2 xy + 2 xz + 2 yz restringida a:
a)
S = {( x , y , z ) ∈
3 | x − 2 z = 0}.
b)
S = {(0, 0, z )| z ∈ }.
16.- Clasificar la forma cuadrática Q ( x , y , z ) = x 2
- y 2
- z 2
- 2 x y + 2 x z + 2 y z sobre el
conjunto
S = {( x , y , z ) ∈
3 | x − y − 2 z = 0}.
17.- Considerar la forma cuadrática Q ( x , y , z ) = 4 x 2
- 5 y 2
- z 2 − 4 xz. Se pide:
a) Encontrar una expresión diagonal para Q.
b) Clasificar Q según su signo.
c) Clasificar Q restringida a
S = {( x , y , z ) ∈
3 | x − z = 0}.
18.- Considerar la forma cuadrática de matriz asociada A =
1 0 b 0 2 0 b 0 1
, donde b es un
parámetro real. Se pide:
a) Determinar su signo según los valores del parámetro b.
b) Determinar su signo restringida a los vectores de la forma y = 2 z para cualquier
valor de b.
19.- Sea Q ( x , y , z ) = y 2 − xy − xz − yz. Se pide:
a) Encontrar una expresión diagonal para Q.
b) Clasificar Q.
c) Clasificar según los valores del parámetro α Q restringida al subconjunto
S = {( x , y , z ) ∈ ^3 | x = y =α z }.
20.- Sea Q ( x , y , z ) = 2 ax 2
+ 4 axz , con a ∈ . Se pide:
a) Clasificar Q según los valores del parámetro a.
b) Para a = -1, encontrar subconjuntos S 1 y S 2
de
3 tales que Q restringida a S 1
sea definida positiva y Q restringida a S 2 sea definida negativa.
21.- Sea A ∈ M n simétrica y Q ( x ) = X t
AX con x ∈
n , la forma cuadrática asociada. Se
pide:
a) Probar que Q ( x ) y Q ( λ x ) tienen el mismo signo ∀λ ∈ con λ ≠ 0.
b) ¿Para qué valores de λ ∈ se cumple que Q ( x ) = Q ( λ x ) ?.
c) Concluir utilizando a) y b) que Q ( x + y ) = Q ( x ) + Q ( y ) en general, no es cierto.
d) Si A ' ∈ M n es una matriz simétrica y Q '( x ) = X t A ' X es la forma cuadrática
asociada, ¿cuál es la matriz asociada a la forma cuadrática
( Q + Q ')( x ) = Q ( x ) + Q '( x ) ?.
