¡Descarga mates y más Apuntes en PDF de Matemáticas solo en Docsity!
FACULTAT DE CIENCIES ECONOMIQUES I EMPRESARIALS, UPF
Matem`atiques I – Examen Final – ECO/ADE/IBE
Soluci´o provisional Examen 2016-
1 (10 punts) Donada la funci´o
f (x) =
(x − k)(x^2 − 4), trobeu el seu domini en funci´o del par`ametre k ∈ R i doneu-lo escrit en forma d’uni´o d’inter- vals. SOLUCI O:´
(a) Si k < −2 ´es [k, −2] ∪ [2, ∞).
(b) Si k = −2 ´es {− 2 } ∪ [2, ∞).
(c) Si − 2 < k < 2 ´es [− 2 , k] ∪ [2, ∞).
(d) Si k = 2 ´es [− 2 , ∞).
(e) Si k > 2 ´es [− 2 , 2] ∪ [k, ∞).
2 (15 punts) Donades les funcions f (x) = |x − 1 | i g(x) =
x + 1:
(a) Resoleu l’equaci´o f (x) = g(x). (b) Usant despla¸caments de les funcions
x i |x|, resoleu gr`aficament la desigualtat
f (x) > g(x),
donant la soluci´o en forma d’interval o com a uni´o d’intervals. Indiqueu els despla¸caments utilitzats. (c) Calculeu l’`area tancada entre les corbes y = f (x) i y = g(x).
SOLUCI O:´
(a) x = 0 i x = 3.
(b) f (x) > g(x) ⇔ x ∈ [− 1 , 0) ∪ (3, +∞). Despla¸cament per f : 1 unitat a la dreta. Despla¸cament per g: 1 unitat a l’esquerra.
(c)
x + 1 − (−x + 1))dx +
x + 1 − (x − 1))dx = 136.
3 (10 punts) Des de l’any 2000 es va registrant la poblaci´o d’un cert pa´ıs per a realitzar un estudi. Sabem que la poblaci´o de l’any 2005 va ser de 20 milions d’habitants, per`o que l’any 2010 havia disminu¨ıt fins a 16 milions d’habitants. Suposem tamb´e que aquesta poblaci´o disminueix en un percentatge fix anual.
(a) Raoneu si la poblaci´o en funci´o del temps segueix un model lineal o exponencial. (b) Trobeu la funci´o de poblaci´o del pa´ıs P (t), on t s´on els anys i t = 0 representa l’any
(c) Quants habitants hi havia l’any 2000? Quin ´es el percentatge de disminuci´o anual? (d) A partir de quin any la poblaci´o ser`a inferior a una quarta part de la de l’any 2000?
Justifiqueu adequadament les respostes. Si arrodoniu, preneu 4 decimals.
SOLUCI O:´
(a) Es exponencial perqu`´ e cada any disminueix en un factor fix, no un valor fix.
(b) P (t) = 25( 5
4 /5)t^ ≈ 25(0.9564)t.
(c) P (0) = 25 milions d’habitants. Disminueix aproximadament un 4.36% anual.
(d) P (t) < 14 P (0) ⇔ ( 5
4 /5)t^ < 14 ⇔ t > ln(0.25)/ ln( 5
4 /5) ≈ 31 .0628. Al cap de m´es de 31 anys, per tant al 2032 aproximadament.
4 (10 punts) Considerem les funcions f (x) =
4 − x i g(x) =
1 + x^2.
(a) Calculeu els polinomis de Taylor d’ordre 2 de f i de g en un entorn de x = 0. (b) Quin dels dos polinomis trobats a l’apartat anterior seria el m´es adequat per a calcular un valor aproximat de
1 .01? Justifiqueu la vostra resposta i calculeu aquest valor aproximat.
SOLUCI O:´
(a) Els polinomis de Taylor s´on p(x) = 2 −
x −
x^2 (de f ) i q(x) = 1 +
x^2 (per g).
(b) Com que per f (x) hauria de ser x = 2.99 que no ´es proper a 0, i per g(x) tenim que podria ser√ x = 0.1 que s´ı ´es proper a 0, triem q(x) per aproximar, i obtenim
- 01 ≈ 1 .005.
5 (15 punts) La cardioide ´es una corba amb forma de cor que t´e per equaci´o i gr`afica
(x^2 + y^2 − x)^2 = x^2 + y^2
Es demana:
(a) Derivant impl´ıcitament, calculeu y′(x). (b) Trobeu l’equaci´o de la recta tangent en el punt x = 0, y < 0. (c) Trobeu dos punts qualssevol P i Q de la recta de l’apartat anterior, i calculeu el vector −→ P Q.
8 (15 punts) Donada la matriu
A =
(a) Trobeu tots els vectors que s´on combinaci´o lineal de les files de A i que a m´es s´on perpendiculars al vector (1, 0 , 0) i s´on unitaris (i.e., amb norma 1). (b) Calculeu tr(AAT^ ) i tr(AT^ A). (Recordem que si una matriu A = (aij ) ´es n × n, la seva tra¸ca es defineix com tr(A) =
∑n i=1 aii^ =^ a^11 +^...^ +^ ann.) (c) Donada la matriu m × n
B =
b 11 b 12... b 1 n b 21 b 22... b 2 n
... bm 1 bm 2... bmn
definim C = BBT^. Expresseu cii en termes dels elements bij de la matriu B. Useu aquesta expressi´o per demostrar que la tra¸ca de C ´es sempre no negativa (≥ 0).
SOLUCI O:´
(a) Les combinacions lineals s´on de la forma (x+y, x−y, x) i si han de ser perpendiculars a (1, 0 , 0) obtenim x = −y per tant els vectors s´on de la forma (0, 2 x, x). Si han de tenir norma 1, aleshores x = ±
1
(b) Obtenim AAT^ =
[
]
i per tant la tra¸ca ´es 5. Obtenim AT^ A =
(^) i
per tant la tra¸ca tamb´e ´es 5.
(c) El coeficient (i, i) de BBT^ ´es cii i es calcula com el producte escalar de la fila i de B i la columna i de BT^. La columna i de BT^ ´es la fila i de B i per tant el coeficient (i, i) de BBT^ ´es el producte escalar de la fila i de B amb ella mateixa, aix`o ´es, cii =
∑n j=1 b
2 ij =^ b
2 i 1 +^ · · ·^ +^ b
2 in ≥^ 0. Per a obtenir tr(BB
T (^) ) hem de sumar els elements (i, i) de BBT^ que com que s´on no negatius donaran un resultat no negatiu.
