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TEMA 1 – EL NÚMERO REAL
CLASIFICACIÓN Y REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE NÚMEROS REALES
EJERCICIO 1 : Clasifica los siguientes números como
ππππ −−−− −−−−
Solución:
= 0,8 ⇒ Decimal exacto, Fraccionario, Racional, Real 5
= 2 ⇒ Natural, Entero, Racional, Real
-2,3333…= − 2 , 3 ⇒ Decimal periódico puro, Fraccionario, Racional, Real 7 ⇒ Irracional, Real
36 = -6 ⇒ Natural, Entero, Racional, Real
⇒ Irracional, Decimal no periódico, Real
-5⇒ Entero negativo, Entero, Racional, Real 7,4 5 ⇒ Decimal periódico mixto, Fraccionario, Racional, Real
EJERCICIO 2 : Sitúa cada número en su lugar correspondiente dentro del diagrama:
ππππ −−−− −−−−
Solución:
EJERCICIO 3 : Representa sobre la recta los siguientes números:
Solución:
EJERCICIO 4 : Representa en la recta real los siguientes números, utilizando el Teorema de Pitágoras:
a) 50 b) 82
Solución:
2 2
a ) 50 = 7 + 1
La hipotenusa de un triángulo
rectángulo de catetos 7 y 1 es la
longitud pedida. Con el compás
podemos trasladar esta medida a
donde deseemos.
2 2
b) 82 = 9 + 1
EJERCICIO 5 : Representa en la recta real los siguientes números, utilizando el Teorema de Pitágoras:
a) 18 b) 46
Solución:
EJERCICIO 6 : Representa en la recta real: a) 3,47 b) 3,4777777….
Solución:
a) b)
INTERVALOS Y SEMIRECTAS
EJERCICIO 7 : Escribe en todas las formas posibles los siguientes intervalos y semirrectas:
a )))) {{{{ x / −−−− 2 ≤≤≤≤ x <<<< 3 }}}} b )))) (^) ((−((−−−∞∞∞∞ , (^) −−−− 2 ]]]] c )))) Números mayores que -1 d ))))
Solución:
a) [−2, 3)
Intervalo semiabierto
Números comprendidos entre
-2 y 3, incluido -
b) {x / x ≤ − 2 }
Semirrecta
Números menores o
iguales que -
c) (−1, +∞)
Semirrecta
{x / x > − 1 }
d) [5, 7]
Intervalo cerrado
{x / 5 ≤ x ≤ 7 }
Números comprendidos entre 5 y
7, ambos incluidos.
EJERCICIO 8 : Escribe en forma de intervalos los valores de x que cumplen: a) x ++++ 2 ≥≥≥≥ 3 b) x −−−− 4 < 2
Solución:
a) Son los números de (−∞, −5 ] ∪ [ 1, +∞).
b) Es el intervalo (2, 6)
FRACCIONES, POTENCIAS Y DECIMALES
EJERCICIO 9 :
a )))) Opera y simplifica el resultado:
1 2 1 3 3 1 3 1, 2 4 5 2 4
−−−− −−−− ^ ++++ ⋅⋅⋅⋅ ++++ −−−− (^) ++++ (^)
b )))) Simplifica:
5 2
1
−− −−
−−−−
Solución:
a ) • Expresamos N = 1,16 en forma de fracción:
− ^ −
^ ^
2 13 1 3 1 3 13 3 1 3 13 3 1 3
− − − − − ) (^) = (^) = (^) = = ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^
1 1 1 3 2 3 2 1 1 5 3 5 5 5 5 3 b : : 3 5 3 3 3 3 5
RADICALES
EJERCICIO 13 : Expresa en forma de potencia, efectúa las operaciones y simplifica:
3 7 a) a ⋅ a b) 2 : 2
5 3 4 4 c) 3 ⋅ 3 3 2
3
d)
a
a 6 4 3 2 e) x ⋅ x
Solución:
3 7 13 72 236 36 5 a) a⋅ a =a ⋅a =a =a a^10
5 3 35 12 110 b) 2 ÷ 2 = 2 ÷ 2 = 2 = 2
c) 4 3 ⋅ 34 = 314 ⋅ 342 = 314 ⋅ 32 = 394 = 3243 = 943 56 6 5 23
32
3 2
3
a a
a
a
a
a d) = = =
e) 6 x^4 ⋅^3 x^2 =x^46 ⋅x^23 =x^23 ⋅x^23 =x^43 =^3 x^4 =x^3 x
EJERCICIO 14 : Efectúa y simplifica:
b) 48 2 12 c) 2
a)
d)
Solución:
a) 3 2
b) 48 2 12 2 3 2 2 3 4 3 4 3 0
4 2 − = ⋅ − ⋅ = − =
( )( )
( )( )
c)
( )
d)
2
EJERCICIO 15 : Simplifica al máximo las siguientes expresiones:
a) ⋅ b) 108 − 147 3
c)
d)
Solución:
a) 2
4
= =
⋅
b) 108 147 2 3 3 7 6 3 7 3 3
2 3 2 − = ⋅ − ⋅ = − =−
( ) 2 2 3
c)
2
= +
( ) ( )
( )( )
d) = − −
LOGARITMOS
EJERCICIO 16 : Utiliza las propiedades de los logaritmos para calcular el valor de las siguientes expresiones, teniendo en
cuenta que log k ==== 1,2:
2
k
c log
Solución:
4 14 3
4
log k log 1000 logk log 10 1000
k a) log 1 , 2 3 0 , 3 3 2 , 7 4
logk 3 4
b) log ( 100 k ) log 100 logk log 10 3 logk 2 31 , 2 2 3 , 6 5 , 6
3 3 2 = + = + = + ⋅ = + =
= log 100 −logk =log 10 − 2 logk =
k
c) log
2 2
2
EJERCICIO 17 : Expresa como un solo logaritmo la siguiente expresión utilizando las propiedades de los logaritmos:
3 ln 2 + ln − ln
Solución: + − ln 25 =ln 2 +ln 8 −ln 25 =
2
ln 8 3
3 ln 2
3 3
=ln 8 +ln 2 −ln 5 =ln 8 ⋅ 2 −ln 5 =ln 16 −ln 5 =ln
EJERCICIO 18 : Si sabemos que log k ==== 0,9, calcula: log ( k )
k log 100 100
3
−
Solución: − log( 100 k) =logk −log 100 −(log 100 +log k)=
k log
3
3
= − − − =
12 3 logk log 100 log 100 logk
= − − = logk− 2 log 100 = 2
logk 2
3 log k 2 log 100 0 , 9 22 2 , 25 4 1 , 75 2
EJERCICIO 19 : Sabiendo que ln 2 ≈≈≈≈ 0,69, calcula el logaritmo neperiano de:
4 a) 4 b) 2 c) 8
Solución:
a) ln 4 ln 2 2 ln 2 2 0 , 69 1 , 38
2 = = ≈ ⋅ = 0 , 69 0 , 345 2
ln 2 2
b) ln 2 ln 22
1 = = ≈ ⋅ = 0 , 69 0 , 5175 4
ln 2 4
c) ln 8 ln 24
3 4 = = ≈ ⋅ =
EJERCICIO 20 : Halla el valor de x , utilizando la definición de logaritmo:
a) 16 4 b) 4 3 log = log x = x c) 64 x ) 64 3 2 x log = d log =
e) 5 2 log x = f) 27 = 3 x log g) log 32 = x 2 h) 3 3 log x =
Solución:
a) log 16 4 x 16 x 2
4 x = → = → = b) log x 4 3 x x 81
4 3
c) log 64 x 2 64 x 6
x 2 = → = → = d) log 64 3 x 64 x 4
3 x
e) log x 5 2 x x 32
5 2 = → = → = f) log 27 3 x 27 x 3
3 x
g) log 32 x 2 32 x 5
x 2 = → = → = h) logx 3 3 x x 27
3 3
EJERCICIO 21 : Calcula, utilizando la definición de logaritmo:
a) 27 1
8
2 3 log + log − ln b) 2
3 2 3
e
log + log − ln c) log + log 8 − lne 81
3 2 d) 125 5 log
e) log 1
5 81 3 16 4 f) log + log − ln g) (^)
2
log 7 (^) log 2 log 1 h) log 2 2
Solución:
a)
2
log 27 ln 1 log 2 log 3 ln 1 3 8
log
32 3
3 2 3 2
−
3
4 b) 100 1000
a) log k
k log
a ) ( 2 ) 3 21 2 ( 3 ) 0 2 3 5
3 3
2
2
− log log log
x
10
b) x 4 x 10 x 4 2
2 2 4 2 = − ⇒ = ⇒ = ⇒ = =
− log
EJERCICIO 28
a) Calcula, utilizando la definición de logaritmo:
4
log + log 2 − log 2
b) Sabiendo que k 1 ,1 calcula ( 10k ).
3 log = log
Solución:
a ) 10 2 2 1
2 2
52 2
1
− − log log log
b) ( 10 k )^10 k 10 3 k 1 31 , 1 1 3 , 3 4 , 3
3 3 log = log + log = log + log = + ⋅ = + =
EJERCICIO 29
a) Calcula, utilizando la definición de logaritmo: 3 81
9
log (^) 3 − log 3 + log 3
b) Calcula el valor de x , aplicando las propiedades de los logaritmos: log x = log 102 − log 34
Solución:
4 3
12 3
2 3 − + =− − + =
− a) log log log 3 34
x 34
b) log x = log ⇒ = =
EJERCICIO 30
a) Calcula, utilizando la definición de logaritmo:
5 7 3 2 8 3
log 2401 − log + log
b)Si 0,7 calcula
3
k logk log
Solución:
a ) 7 3 2 4
35 2
12 3
4 7
− log log log
k 2 10 3
k 100 k 10 100
k b)
3 13 2
3
log = log − log = log − log = log − log = ⋅ − ⋅ = − = −
ERRORES Y COTAS
EJERCICIO 31 : Halla los errores y cotas de los errores al aproximar el número ππππ a las centésimas.
Valor real π = 3,14159265……
Valor de medición: 3,
Error absoluto = |Valor real – Valor de medición| = |3,14159265…… - 3,14| = 0,00159265……< 0,002 = 2.
Error relativo =
4 4
3
Valor real
Error absoluto
− −
−
NOTACIÓN CIENTÍFICA
EJERCICIO 32 : Los valores de A , B y C son:
7 4 5 = 2, 28 ⋅ 10 = 2 ⋅ 10 = 4, 3 ⋅ 10
− A B C
A C
B
A
Calcula: + ⋅
Solución: +( ⋅ ) ⋅( ⋅ )=
−
7 5
4
7
2 , 2810 4 , 310
210
A C
B
A
11 12 11 11 11 12 = 1 , 14 ⋅ 10 + 9 , 804 ⋅ 10 = 1 , 14 ⋅ 10 + 98 , 04 ⋅ 10 = 99 , 18 ⋅ 10 = 9 , 918 ⋅ 10
EJERCICIO 33 : Calcula y expresa el resultado en notación científica:
a) 4
12 11 10
− ⋅
b)
12
5 2 8
−
− −
Solución:
a) =
⋅
− − 4
10 10 10
4
12 11 10
4
10
4
10
296 , 67 10 2 , 9667 10 2 , 9710
1 , 210
− −
b)
−
− −
−
− −
12
10 8
12
5 2 8
−
−
−
− − 2
12
10
12
10 10
157 , 8810
210
4 4 = 1 , 5788 ⋅ 10 ≈ 1 , 58 ⋅ 10
EJERCICIO 34 : Una vacuna tiene 100 000 000 bacterias por centímetro cúbico. ¿Cuántas bacterias habrá en una caja de 120
ampollas de 80 milímetros cúbicos cada una?
Solución:
10
8 bacterias/cm
3 y 80 mm
3 = 8 · 10
− 2 cm
3
− 2 = 9,6 cm
3 en una caja.
9,6 · 10
8 número de bacterias en una caja.
EJERCICIO 35 :
a )))) Calcula el número aproximado de glóbulos rojos que tiene una persona, sabiendo que tiene unos 4 500 000 por milímetro
cúbico y que su cantidad de sangre es de 5 litros.
b )))) ¿Qué longitud ocuparían esos glóbulos rojos puestos en fila si su diámetro es de 0,008 milímetros por término medio?
Exprésalo en kilómetros.
Solución:
a) 5 l = 5dm
3 = 5 · 10
6 mm
3 de sangre
4,5 · 10
6 · 5 · 10
6 = 2,25 · 10
13 número de glóbulos rojos
b) 2,25 · 10
13 · 8 · 10
− 3 = 1,8 · 10
11 mm = 180 000 km
USO DE LA CALCULADORA
EJERCICIO 36 : Utilizando la calculadora, halla:
c) 39 0 4, 2 10
a) 16807 b) 7 4
7 6 5 log −
− −
d) 9, 210 3, 810 2, 6410
− − − ⋅ + ⋅ − ⋅
e) log 5 27 + ln 32 ( ) ( )
8 4 11 f) 4, 31 ⋅ 10 : 3, 25 ⋅ 10 + 7 ⋅ 10
− g) log 3 25 12
9 8
h) − ⋅
Solución:
a) 16 807 SHIFT [ x
1/y ] 5 ==== 7 Por tanto: 16807 7 5 =
b) (((( 3.4 EXP 7 ++++ /– ++++ 2.8 EXP 6 ++++ /– ) ÷÷÷÷ 4.2 EXP 4 ++++ /– ==== 7.
−−−− 03 Por tanto:
3
4
7 6
7 , 4810
4 , 210
−
− −
= ⋅
⋅
c) log 390 ÷÷÷÷ log 7 ==== 3.06599292 Por tanto: log 7 390 = 3,
d) 9.2 EXP 12 ++++ /– ++++ 3.8 EXP 15 ++++ /– −−−− 2.64 EXP 14 ++++ /– = 9.
−−−− 12
Por tanto: 9,2 · 10
− 12
− 15 −2,64 · 10
− 14 = 9,18 · 10
− 12
e) log 27 ÷÷÷÷ log 5 + ln (^32) ==== 5.513554486 Por tanto: log 5 27 + ln 32 ≈ 5,
f) 4.31 EXP 8 ÷÷÷÷ 3.25 EXP 4 ++++ /– ++++ 7 EXP 11 ==== 2.
12
Por tanto:( 4,31 · 10
8 ) : ( 3,25 · 10
− 4 ) + 7 · 10
11 = 2,03 · 10
12
g) log 25 ÷÷÷÷ log 3 ==== 2.929947041 Por tanto: log 3 25 = 2,
h) ((((5.25 EXP 9 ++++ 2.32 EXP (^8) )))) (^) ÷÷÷÷ 2.5 EXP (^12) ++++ / ==== 2.
21 Por tanto:
21 2 , 19 ⋅ 10
