¡Descarga MATES I y más Apuntes en PDF de Matemáticas solo en Docsity!
MATEM `ATIQUES I
Curs 2014-
- Diagonalitzaci´o.
1.1. Espais vectorials. Matrius.
- Considereu les seg¨uents fam´ılies de vectors del Rn^ corresponent:
A = {(1, 3 , 2), (1, 0 , −1), (2, − 3 , 5)}, B = {(0, 2 , −1), (4, 3 , −2), (4, 1 , −1)}, C = {(1, 2 , 1 , 3), (2, 1 , 4 , 3), (1, 3 , 2 , 1)}, D = {(1, 2 , − 1 , 1), (3, − 1 , 2 , 1), (2, − 3 , − 3 , 0), (4, 1 , − 5 , 2)}.
a) Determineu si s´on o no linealment independents.
b) Determineu si formen base.
- Calculeu els seg¨uents determinants:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
- Resoleu les equacions:
a)
3 x 0 1 − 1 x 2 0 x
= 4 b)
1 + x x x x 1 + x x x x 1 + x
- Trobeu la inversa de les seg¨uents matrius:
a)
(^) b)
(^) c)
- Trobeu la matriu quadrada A que verifica l’equaci´o
A +
- Calculeu el rang de les matrius seg¨uents:
a)
(^) b)
(^) c)
- Resoleu els sistemes seg¨uents:
a)
x − 3 y +2z = 6 2 x +y − 5 z = − 4 2 x − 13 y +13z = 28
b)
x − y + 2 z − 3 t = 0 2 y − z − 2 t = 0 2 x − 3 y − 4 z + t = 0 4 x + y − 3 z + t = 0
c)
3 x + 2 y + z = 1 5 x + 3 y + 4 z = 2 x + y − z = 1
d)
x + y − z = 5 2 x + 3 y + 8 z = 11 4 x + 5 y + 6 z = 2
- Determina quines de les seg¨uents matrius s´on definides o semidefinides:
(i) A =
(ii) B =
(iii) C =
(iv) D =
(v) E =
(vi) F =
(vii) G =
(viii) H =
(ix) J =
- Discuteix segons els valors de a si ´es definida o semidefinida la seg¨uent matriu:
A =
a 1 0 1 a 0 0 0 a − 1
- Considerem la matriu : (^)
a 1 0 0 − 1 0 0 0 1
a) Proveu que si a a 6 = 1, −1 ´es diagonalitzable i doneu una base en la qual diagonalitzi. b) Qu`e passa si a = 1? I si a = −1?.
- Discutiu la diagonalitzaci´o de les seg¨uents matrius per als diferents valors de a:
a) A =
1 a a − 1 1 − 1 1 0 2
(^) b) B =
2 − a 1 − a 1 − a a − 1 a a − 2 0 0 2
- (gener 2006) Considerem la matriu
A =
4 + 2a^2 − 5 6 5 + a^2 − 3 4
(^) , a ∈ R.
a) Per quins valors del par`ametre a ´es la matriu A diagonalitzable?
b) Per a = 1, doneu una matriu diagonal associada a A i una base de vectors propis.
- (novembre 2008) Digues per quins valors del par`ametre a diagonalitza la matriu seg¨uent:
A =
a − 5 a^2 1 0 − 3
- (gener 2009) Digues per quins valors del par`ametre a diagonalitza la matriu seg¨uent:
A =
a − 1 3 − 2 0 − 4
- Digues per quins valors del par`ametre a diagonalitza la matriu seg¨uent:
A =
3 − 2 a − 4 1 4 0 − 8
- Equacions diferencials
2.1. Equacions diferencials de primer ordre.
- Resoleu les seg¨uents equacions diferencials de variables separables i comproveu-ne les solucions: a) x^2 y′^ = y^2 lnx b) tan x cos y = −y′^ tan y c) (x + 1) y′^ + y^2 = 0 d) yy′^ = ex+2y^ sin x e) y′^ = (y − 1) (y − 2) f )
1 − x^2 y y′^ = x
- Resoleu les seg¨uents equacions diferencials homog`enies i comproveu-ne les solucions:
a) (4x − 3 y) + (2y − 3 x) y′^ = 0 b) (2y^2 − x^2 ) y′^ + 3xy = 0
c) 2xyy′^ = x^2 − y^2 d) 2xy′(x^2 + y^2 ) = y(y^2 + 2x^2 )
e) (x^2 + y^2 ) dx = 2xy dy
- Resoleu les seg¨uents equacions diferencials lineals de primer ordre:
a) y′^ + 2y = x^2 + 2x
b) y′^ − 3 y = e^2 x
c) y′/x = 2y − x^2 + 1
d) xy′^ − 2 y = x^5 , condici´o inicial: y = 1 quan x = 1
e) y′^ + y tan x = sin 2x, condici´o inicial: y = 2 quan x = 0
f) y′^ + xy = x^3 , condici´o inicial: y = 0 quan x = 0
g) y′^ − y tan x = sec x, condici´o inicial: y = 0 quan x = 0
- Resoleu les seg¨uents equacions diferencials:
a) y′^ = − x y
b) xy′^ + y − ex^ = 0
c) y′^ + 2xy = 4x
d)y′^ =
y(x^2 + xy + y^2 ) x(x^2 + 3xy + y^2 )
e)x^2 (y + 1) + y^2 (x − 1) y′^ = 0
- Resol les equacions diferencials seg¨uents:
a) (juny 2000) y′^ = (^) x 2 xy+y 2.
b) (gener 2001) (x − y)y′^ = x + y.
c) (gener 2002) xy + x^2 = (y^2 − 12 x^2 )y′.
d) (gener 2006) xy′^ = 2x − y.
e) (abril 2006) x^2 y′^ + 2yxy′^ − y^2 = 0
f) (juny 2006) 3xy^2 y′^ + 2y^3 + 5x^3 = 0.
2.3. Sistemes d’equacions diferencials lineals
- Resoleu els seg¨uents sistemes lineals homogenis:
a)
x′^ = 3x + 5y y′^ = − 2 x − 8 y b)
x′^ = 2x + y y′^ = 4x − y c)
x′^ = x + 4y y′^ = 2x − y
d)
x′^ = 2y y′^ = 8x e)
x′^ = x + 2y y′^ = 4x + 3y f)
x′^ = − 4 x + 2y y′^ = − 52 x + 2y
g)
x′^ = x + y − z y′^ = 2y z′^ = y − z
h)
x′^ = x + 2z y′^ = − 2 x + 3y + 2z z′^ = 2x + z
i)
x′^ = 2x − 7 y y′^ = 5x + 10y + 4z z′^ = 5y + 2z
j)
x′^ = 3x − y + z y′^ = −x + 5y − z z′^ = x − y + 3z
k)
x′^ = −x + y y′^ = x + 2y + z z′^ = 3y − z
- Resoleu els seg¨uents sistemes lineals no homogenis:
a)
x′^ = y + 1 y′^ = x + 1 x(0) = 0, y(0) = 1
b)
x′^ = x + 1 y′^ = 16x − 5 y + 4z z′^ = 16x − 6 y + 5z + 1
- Resoleu els seg¨uents sistemes lineals :
a)
x′^ = 2x y′^ = 3x + 2y + z z′^ = − 3 x + z x(0) = y(0) = z(0) = 1
(juliol 2002)
b)
x′^ = x y′^ = x + 2y z′^ = x + y − z (x(0), y(0), z(0)) = (2, 0 , 2)
(juny 2001)
c) Trobeu una soluci´o particular del sistema lineal no homogeni { x′^ = 2x + y + 3e^2 t y′^ = 4x + 2y + te^2 t^ (juny 2001)
- (abril 2006) Resol el sistema d’equacions diferencials { x′^ = x + 2y + t + 1/ 2 y′^ = 4x + 3y − t + 1
- (juny 2006) Resol el sistema d’equacions diferencials
{ x′^ = x + 2y − 2 t + 3e^7 t y′^ = 3x + 6y + t + 2e^7 t
- (gener 2007) Resol el sistema d’equacions diferencials { x′^ = x + 3y + 6t + 25 y′^ = − 2 x − 6 y − 2 t
- (novembre 2006) Resol el sistema d’equacions diferencials { x′^ = 2x − y + t y′^ = 9x − 8 y + t + 56
- (novembre 2007) Resol el sistema d’equacions diferencials { x′^ = −x + 2y + 3 + 2t^2 y′^ = 2x − 4 y + t^2 − 1
2.4. Aplicacions
- Considerem una massa m que cau lliurement per l’acci´o de la gravetat. Troba l’equaci´o de la seva traject`oria sabent que la velocitat inicial ´es 0.
- Suposem que tenim un cultiu de x bact`eries. Si en aquest cultiu es multipliquen sense problemes, la velocitat de creixement ´es proporcional a la poblaci´o.Es a dir:´
dx dt
= kx.
Troba l’equaci´o que ens d´ona la poblaci´o en funci´o del temps.
- Donada una subst
ancia radioactiva, decreix segons la llei dxdt = −kx, k > 0. Troba l’equaci´o que ens d´ona la quantitat de substancia radioactiva en funci´o del temps. - La concentraci´o x(t) d’una subst`ancia a la sang compleix
dx dt
= A − Bx,
on A, B constants positives. Resol-la sabent que x(0) = 0.
- La llei de Newton de refredament d’un cos ens diu que un cos que es refreda ho fa a una velocitat proporcional a la difer`encia entre la temperatura T(t) del cos i la temperatura ambient Ta. Es a dir,´ T ′^ = k(T − Ta),
on k, Ta s´on constants. Suposem que un cos t´e una temperatura inicial de 180o, als dos minuts ha baixat a 100o^ i la temperatura ambient ´es 30o. Quant tardar`a fins a refredar-se a 31 o? I a 30o?
- La variaci´o de la velocitat d’una massa m que cau, tenint en compte el fregament, ´es:
m
dv dt = mg − kv,
on k > 0 ´es el factor de fregament, que suposem proporcional a la velocitat. Resol l’equaci´o diferencial. Calcula el l´ımit quan t tendeix a infinit suposant velocitat inicial v 0. Troba la funci´o recorregut.
- (Oscil.lador harm
onic sense fregament) La llei de Hooke ens diu que la for¸ca que fa una molla sobre una massa m ´es proporcional a la posici´o x, considerant l’origen del sistema de referencia x = 0 la posici´o en rep`os. Es a dir:´
m
d^2 x dt^2
= −kx,
on k > 0 constant. Troba la posici´o de la molla en funci´o del temps. (Indicaci´o: Si el polinomi caracter´ıstic t´e una arrel complexa a + bi, aleshores eatcos(bt) i eatsin(bt) formen part d’una base de la soluci´o de l’equaci´o diferencial)
- Diferenciaci´o
3.1. Derivades direccionals. Gradient.
- Calculeu les derivades parcials i el vector gradient de les funcions seg¨uents:
f (x, y) = x^2 y + xy^2 g(x, y) =
y x^2 + y^2
h(x, y) = ex
(^2) y cos x
- L’equaci´o d’estat dels gasos ideals ´es V = f (p, T, n) = nRTp , on V ´es el volum, que queda determinat per la pressi´o p, la temperatura T i la quantitat de mat`eria n. Calcula les tres derivades parcials de V.
- (Termodin`amica) L’equaci´o d’estat d’un gas ´es V = RTp − ap 2 , on a, R s´on constants. Calcula:
(i) La variaci´o de volum en funci´o de la temperatura a pressi´o constant, ´es a dir, ( ∂V∂T )p, i el coeficient de dilataci´o α. (Recorda que α = (^) V^1 ( ∂V∂T )p).
(ii) La variaci´o de volum en funci´o de la pressi´o a temperatura constant, ´es a dir, ( ∂V∂p ) T
i el coeficient de compressibilitat κ.(Recorda que κ = − (^) V^1 ( ∂V∂p )T ).
(iii) El diferencial del volum dV.
- (Termodin`amica) L’equaci´o d’estat d’un gas ´es
V = Ke
aT p 3 ,
on K, a s´on constants. Calcula:
(i) La variaci´o de volum en funci´o de la temperatura a pressi´o constant i el coeficient de dilataci´o α.
(ii) La variaci´o de volum en funci´o de la pressi´o a temperatura constant i el coeficient de compressibilitat κ.
(iii) El diferencial del volum dV.
- Calculeu les derivades direccionals de les seg¨uents funcions en els punts a i direccions v que s’indiquen: a) f (x, y, z) = ex^ cos(yz) a = (0, 0 , 0) v = (2, 1 , −2). b) f (x, y, z) = ln
x^2 + y^2 + z^2 a = (3, 4 , 12) v = (3, 6 , −2). c) f (x, y, z) = x^2 + 2y^2 + 3z^2 a = (1, 1 , 1) v = (1, 1 , 1). d) f (x, y, z) = xy + yz + zx a = (1, − 1 , 2) v = (10, 11 , −2).
- Trobeu la direcci´o de m`axim creixement/decreixement i la ra´o d’aquest creixement/decreixement (´es a dir, la derivada en aquesta direcci´o) per a les seg¨uents funcions: a) f (x, y) = x^2 − y^2 en el punt (0, 1). b) f (x, y) = x^2 + cos(xy) en el punt (1, π/2). c) f (x, y, z) = exy^ + z^2 en el punt (0, 2 , 3). d) f (x, y) = ex^ sin y en el punt (1, 1). e) f (x, y, z) = (x + y)^2 + (y + z)^2 + (z + x)^2 en el punt (2, − 1 , 3). f) f (x, y, z) = z ln(x^2 + y^2 ) en el punt (1, 1 , 1).
- Un astronauta es passeja per la cara il.luminada de Mercuri i nota que la protecci´o solar de la seva nau es comen¸ca a esquerdar. La temperatura ve donada per T = e−x^ + e−^2 y^ + e^3 z^. Si ell ´es a (1, 1 , 1), en quina direcci´o haur
a d’anar per refredar-se m´es rapidament? - Calculeu les derivades parcials segones i la matriu Hessiana de: a) f (x, y) = ex
(^2) y
b) f (x, y) = cos(xy).
- Comproveu el teorema de les derivades creuades (o de reciprocitat d’Euler) per a les funcions: a) f (x, y) = x^3 exy b) f (x, y) = ex+y^ + cos(x^2 ) + ln y
- Sigui f la funci´o de R^3 en R donada per
f (x, y, z) = x^2 + y^2 − 2 z^2 + 4xy + 2xz + 2yz.
a) Calculeu el gradient de f i el diferencial de f en un punt (x, y, z) qualsevol. b) Calculeu la derivada direccional de f en el punt a = (1, 1 , 1) i en la direcci´o del vector v = (1, 1 , 0).
c) Demostreu que la funci´o f satisf`a ∂
(^2) f ∂x^2 +^
∂^2 f ∂y^2 +^
∂^2 f ∂z^2 = 0.
3.2. Optimitzaci´o. Extrems de funcions en diverses variables.
- Estudieu els punts cr´ıtics de les funcions seg¨uents i classifiqueu-los (m`axims o m´ınims locals o b´e absoluts):
(i) f (x, y) = x^3 + 3xy^2 − 15 x − 12 y.
(ii) f (x, y) = x^3 + 6x^2 y + 3xy^2 + 9x^2 − 12 x + 2.
(iii) f (x, y) = x^3 + 3xy + y^2.
(iv) f (x, y) = ex (^3) +3xy+y 2 .
- Demostreu que la funci´o f (x, y) = xex^ − (1 + ex)cosy t´e infinits m´ınims locals per
o cap maxim local. - Troba els punts cr´ıtics de la funci´o f (x, y) = x^3 + 6xy^2 − 2 y^3 − 12 x i classifica’ls.
- Considereu la funci´o f (x, y) = sinx + siny + cos(x + y). Trobeu el m`axim i m´ınim absolut de f per a 0 ≤ x ≤ 2 π,0 ≤ y ≤ 2 π.
- Sigui T (x, y, z) = 100 + x^2 + y^2 la temperatura sobre una esfera determinada per x^2 + y^2 +z^2 = 50. Trobeu la temperatura m`axima a l’el.lipse formada per la intersecci´o de l’esfera i el pla x = z.
- Troba el m`axim i m´ınim absolut de la funci´o f (x, y) = x^3 + y^2 − 2 en el subconjunt de punts del pla K = {(x, y) ∈ R^2 : x^4 + y^2 = 16}.
- Quin ´es el valor m`axim de la funci´o f (x, y) = 3x − 4 y sobre el disc tancat de radi 20?
- Integraci´o
4.1. Integrals de l´ınia.
- Calculeu la longitud de la corba C descrita pel cam´ı σ en cadascun dels casos seg¨uents:
a) σ(t) = (t^2 −
t^6 3
(1 − t^4 ) (^32) ,
t^4 2
), t ∈ [0, 1].
b) σ(t) = (
2 + t t
, − ln t,
t^2
), t ∈ [1, e].
- Calculeu la integral de l´ınia
C f dσ^ per a cada camp escalar^ f^ i cada corba^ C^ seg¨uent:
a) f (x, y, z) = x + y + z σ(t) = (sin t, cos t, t) t ∈ [0, 2 π] b) f (x, y, z) = cos z σ(t) = (sin t, cos t, t) t ∈ [0, 2 π] c) f (x, y, z) = yz σ(t) = (t, 3 t, 2 t) t ∈ [1, 3] d) f (x, y, z) = xy++yz σ(t) = (t, 23 t (^32) , t) t ∈ [1, 2].
- Calculeu
C F^ ·^ dσ^ per a cada camp vectorial^ F^ i cada corba^ C^ seg¨uent:
a) F (x, y) = (−y, x) σ(t) = (cos t, sin t) t ∈ [0, 2 π] b) F (x, y) = (x, y) σ(t) = (cos πt, sin πt) t ∈ [0, 2] c) F (x, y, z) = (cos z, ex, ey^ ) σ(t) = (1, t, et) t ∈ [0, 2] d) F (x, y, z) = (x, y, z) σ(t) = (t, t, t) t ∈ [0, 1] e) F (x, y, z) = (x, y, z) σ(t) = (cos t, 0 , sin t) t ∈ [0, 2 π].
- Donat el camp de for¸ca F (x, y, z) = (x, y, z), calculeu el treball realitzat al moure una part´ıcula al llarg de la par`abola y = x^2 , z = 0 de x = −1 a x = 2.
- Donat el camp de for¸ca F (x, y, z) = (y, 2 x, y), calculeu el treball realitzat quan movem una part´ıcula al llarg de la corba σ(t) = (t, t^2 , t^3 ) amb t ∈ [0, 1].
- Avalueu la integral del camp F (x, y) = (xy^2 , x + 5y) al llarg de la vora del triangle de v`ertexs (0, 0), (0, 2) i (2, 0), recorreguda en el sentit de les agulles del rellotge. Existeix algun camp escalar f tal que F sigui el seu gradient?
- Calcula la circulaci´o del camp F (x, y) = (y^2 + x^3 , x^4 ) al llarg de la vora del quadrat unitari [0, 1]^2 en el sentit de les agulles del rellotge.
- Sigui f (x, y, z) = xey^ cos πz. a) Calculeu F = ∇f. b) Avalueu
C F^ ·^ dσ^ on^ C^ ´es l’arc de corba donat per^ σ(t) = (3 cos
(^4) t, 5 sin^7 t, 0), t ∈ [0, π].
- Sigui F el camp vectorial definit per
F (x, y, z) = (2xyz + z^2 − 2 y^2 + 1, x^2 z − 4 xy, x^2 y + 2xz − 2).
a) Comproveu la igualtat de les derivades parcials creuades i dedu¨ıu que F ´es conservatiu. b) Doneu-ne les funcions potencials. c) Quant val la circulaci´o de F al llarg de l’arc d’h`elix x = cos t, y = sin t, z = 2t, t ∈ [0, 2 π]?
- (gener 2006) Considerem el camp vectorial F : R^3 → R^3 donat per
F (x, y, z) = (yz + exy, xz + ex^ + zcosy, xy + siny + z).
a) Proveu que F ´es conservatiu.
b) Calculeu una funci´o potencial per a F i calculeu la integral de l´ınia
C F^ ·^ dσ^ on^ C^ ´es la corba parametritzada per σ(t) = (tet−^1 , t^2 , t^3 e^2 t−^2 ) que va de σ(0) a σ(1).
- Sigui F el camp vectorial de R^2 definit per F (x, y) = (3x^2 y + 2y^5 , x^3 + 10xy^4 + 2yey
2 ). a) Calculeu una funci´o potencial de F. b) Integreu F al llarg de la corba que t´e origen en (1, 0) i final en (0, − 1 /3) seguint l’el·lipse que t´e per equaci´o x^2 + 9y^2 = 1 en sentit positiu.
- (gener 2007) Considerem el camp vectorial F : R^3 → R^3 donat per
F (x, y, z) = (2xsin(yz), x^2 zcos(yz) + ey^ , x^2 ycos(yz) + 2z).
(i) Prova que F ´es conservatiu i troba una funci´o potencial per a F.
(ii) Calcula la integral de l´ınia
α F^ ·^ dα^ on^ α^ ´es la corba parametritzada per^ α(t) = (t^2 , t^3 , sin(πt)), t ∈ [0, 1].
- (gener 2009) Considerem el camp vectorial F : R^3 → R^3 donat per
F (x, y, z) = (2xeyz^ , x^2 zeyz^ , x^2 yeyz^ + 3z^2 ).
(i) Prova que F ´es conservatiu
(ii) Troba una funci´o potencial per a F i calcula la integral de l´ınia
α F^ ·^ dα^ on^ α^ ´es la corba tancada parametritzada per α(t) = (3cos(t), 3sin(t), 4cos(t)sin(t)), t ∈ [0, 2 π].
- (Termodin`amica) El coeficient de dilataci´o c´ubic d’un cert gas ve donat per la seg¨uent expressi´o
α = K 1
cp cV
T
cp cV −^1
i el de compressibilitat isot`ermic ´es igual a
κ =
K 2
p
on cp, cV s´on les capacitats calor´ıfiques molars a pressi´o i volum constants, respectivament, i K 1 i K 2 s´on constants. Dedu¨ıu l’equaci´o d’estat d’aquest gas, ´es a dir, la relaci´o V = V (p, T ).
- (Termodin`amica) Els coeficients α i κ d’un cert gas s´on:
α =
nR pV
, κ =
p
a V
on n,a i R s´on constants. Dedu¨ıu l’equaci´o d’estat del gas.
- (Termodin
amica) Els coeficients de dilataci´o c´ubica, α, i de compressibilitat isotermica,κ, d’una subst`ancia s´on:
α = a
T 2
p
, κ = b
T 3
p^2
on a i b s´on constants. Demostreu que l’equaci´o d’estat d’aquesta subst`ancia ´es
V = Ke
bT p 3
on K ´es una constant. Dedu¨ıu la relaci´o entre les constants a i b.
- Calculeu (^) ∫ ∫
D
ex−y x + y
dx dy
on D ´es el quadrat de v`ertexs (1, 0), (2, 1), (0, 1), (1, 2). (Indicaci´o: feu el canvi u = x − y, v = x + y.)
- Verifiqueu el teorema de Green pel disc D de centre (0, 0) i radi R i les funcions:
P (x, y) = xy^2 Q(x, y) = −yx^2.
- Sigui γ la circumfer`encia de radi 3 centrada en el punt (5, 0) i recorreguda en el sentit contrari a les agulles del rellotge:
γ(t) = (5 + 3 cos(t), 3 sin(t)).
a) Avalueu el treball del camp F (x, y) = (x^2 + y^2 , 2 x) al llarg de la corba γ. b) Sigui D el cercle limitat per la corba γ. Calculeu
D(1^ −^ y)^ dx dy.
- Calcula la circulaci´o del camp F (x, y) = (2x^3 − y^3 , x^3 + y^3 ) al llarg del cercle unitari en el sentit contrari a les agulles del rellotge.
- Avalueu la integral del camp F (x, y) = (xy^2 , x + 5y) al llarg de la vora del triangle de v`ertexs (0, 0), (0, 2) i (2, 0), recorreguda en el sentit de les agulles del rellotge. Existeix algun camp escalar f tal que F sigui el seu gradient? (exercici 77)
- Calcula la circulaci´o del camp F (x, y) = (y^2 + x^3 , x^4 ) al llarg de la vora del quadrat unitari [0, 1]^2 en el sentit de les agulles del rellotge.(exercici 78)
- (gener 2005)
(a) Calcula
D (x^ +^ y)
x^2 + y^2 dx dy on D ´es el semidisc de centre l’origen i radi 2 en el semipl`a y ≤ 0.
(b) Sigui γ la vora de D recorreguda en sentit contrari a les agulles del rellotge. Avalua el treball del camp F (x, y) = (7 + cosx − (x^2 + y^2 ) (^32) , y^2 + (x^2 + y^2 ) (^32) ) al llarg de γ.
- (juny 2006)
(i) Calcula la circulaci´o del camp vectorial
F (x, y) = (ln(x) + cos(x^2 ) − 3 y, 2 x + ln(y^5 ))
al llarg de la vora del rectangle [1, 2] × [3, 5], recorreguda en el sentit de les agulles del rellotge.
(ii) Calcula el volum del cilindroide que t´e per base la regi´o del pla x^2 + y^2 ≤ 9, x ≥ 0, i est`a acotat superiorment per z = 5xy^2.
- (gener 2007) Calcula la circulaci´o del camp vectorial
F (x, y) = (ex
2 − y^2 − y^3 + xy^2 , tg(y) + x^3 + x^2 y)
al llarg de la vora del semidisc de centre l’origen i radi 3 en el semipla x ≤ 0 i orientada en sentit contrari a les agulles del rellotge.
- (gener 2008) Sigui γ la vora del triangle de v`ertexs (0, 0),(1, 0) i (0, 2) recorreguda en sentit contrari a les agulles del rellotge. Avalua el treball del camp F (x, y) = (ex 2
y^2 , tag(y) + 2x) al llarg de γ.
- (gener 2009) Sigui γ la vora del triangle de v`ertexs (0, 0),(1, 0) i (0, 2) recorreguda en sentit contrari a les agulles del rellotge. Avalua el treball del camp F (x, y) = (cos(2x) + y^2 , tag(y) + 2x + 2xy) al llarg de γ.
4.3. Integrals triples.
- Calculeu les seg¨uents integrals:
a)
W (2x^ + 3y^ +^ z)^ dx dy dz^ on^ W^ = [1,^ 2]^ ×^ [−^1 ,^ 1]^ ×^ [0,^ 1]
b)
W x
(^2) dx dy dz on W = [0, 1] × [− 1 , 1] × [0, 1]
c)
∫ (^) π
0
∫ (^) π
0
∫ (^) π
0
sin(x + y + z) dx dy dz d)
0
0
0
zex+y^ dx dy dz.
- Calculeu (^) ∫ ∫ ∫
W
x dx dy dz
on W ´es la regi´o delimitada pels plans x = 0, y = 0, z = 0, x + y + z = 1.
- Calculeu (^) ∫ ∫ ∫
W
x^2 cos z dx dy dz
on W ´es la regi´o acotada pels plans z = 0, z = π/ 2 , y = 0, x = 0, x + y = 1.
- Trobeu el volum determinat pels plans x = 0, x = 1, y = 0, y = 2, z = 0 i el paraboloide z = x^2 + y^2.
- Trobeu la massa i el centre de massa de la capsa [0, 12 ] × [0, 1] × [0, 2] a) Si la densitat ρ ´es constant. b) Si ρ = x^2 + 3y^2 + z + 1.
- Calculeu el volum del recinte W de R^3 limitat pel pla z = 0, la gr`afica de f (x, y) = 2 − (x^2 + y^2 ) i el cilindre de radi 1 i eix OZ:
W = {(x, y, z) ∈ R^3 | 0 ≤ z ≤ 2 − (x^2 + y^2 ), x^2 + y^2 ≤ 1 }.
- a) Calculeu el volum del recinte W de R^3 limitat pels plans x = 0, y = 0, z = 0, z = x + y i el cilindre x^2 + y^2 = 16.
b) Calculeu la massa de W si la seva densitat ´es ρ(x, y, z) = e−
(x^2 +y^2 )^3.
- Calculeu el volum del recinte de R^3 limitat per la semiesfera d’equaci´o x^2 +y^2 +(z−1)^2 = 1, z ≥ 1 i la superf´ıcie d’equaci´o z = x^2 + y^2 , z ≤ 1.
- En una esfera massissa de radi 3 cm i densitat constant 5 g/cm^3 taladrem un forat perfectament cil´ındric en la direcci´o d’un di
ametre, utilitzant una broca de 1.5 cm de radi. Quina quantitat de massa haura perdut l’esfera? (Indicaci´o: si centrem l’esfera a l’origen de coordenades, la seva vora tindr`a l’equaci´o x^2 + y^2 + z^2 = 9; si fem el forat al llarg de l’eix z, llavors les parets del forat tindran l’equaci´o x^2 + y^2 = 2.25.)
Facultat de Qu´ımica
Grau de Qu´ımica
MATEM `ATIQUES I
15 de juny de 2010
Posa el nom en tots els fulls i realitza els problemes en fulls separats
- Resol el sistema d’equacions diferencials { x′^ = 2x − 6 y y′^ = −x + 3y
amb la condici´o inicial x(0) = y(0) = 1.
- Resol l’equaci´o diferencial y′x − y = x^2 sin x i troba la soluci´o particular que verifica y(π) = π.
- Troba els m`axims i m´ınims locals de la funci´o f (x, y) = 2x^2 + y^2 + x^2 y.
- Considera el camp vectorial F : R^3 → R^3 donat per
F (x, y, z) = (ey^ z + exy^2 − sin z, xey^ z + 2exy, xey^ − x cos z).
(a) Prova que F ´es conservatiu. (b) Calcula la integral de F al llarg de la corba parametritzada per
α(t) = ((t − 1)et^ sin(2t), (t^2 − 1)(t − 2 cos^2 t), 2 t(t − 1))
quan t ∈ [0, 1].
- Calcula el treball del camp vectorial
F (x, y) = (−x^2 y + sin x^2 , xy^2 + ey
3 )
al llarg de la vora del cercle de centre l’origen i radi 2 recorreguda en el sentit antihorari.
MATEM `ATIQUES I
10 de gener de 2011
Posa el nom en tots els fulls i realitza els problemes en fulls separats
- Resol el sistema d’equacions diferencials
x′^ = 3x − y + 2z y′^ = − 2 x + 4y − 4 z z′^ = − 2 x + 2y − 2 z
- Resol les equacions diferencials:
(a) y(4)^ + 2y(3)^ + y(2)^ = 12x^2 + 36x. (b) y′^ = y + 2xy − 2 xex.
- Troba els m`axims i m´ınims locals a R^2 de la funci´o f (x, y) = xy − x^2 y − xy^2.
- Considera el camp vectorial F : R^3 → R^3 donat per
F (x, y, z) = (3x^2 z + z^2 y, xz^2 + 2 sin y cos y, x^3 + 2xyz + 1).
(a) Prova que F ´es conservatiu. (b) Calcula la integral de F al llarg de la corba parametritzada per
α(t) = (
t, (t − 1)(t − 4), t)
quan t ∈ [1, 4].
- Calcula el treball del camp vectorial F (x, y) = (xy^2 + cos x, x^2 y + 2x + y tan y + ey 2 ) al llarg de la vora del triangle de v`ertexs (0, 0), (3, 0) i (0, 2) recorreguda en sentit positiu.
- Calcula la integral de la funci´o f (x, y, z) = x^2 + y^2 sobre la regi´o de R^3 limitada pel semicilindre d’equacions {x^2 + y^2 = 4 , y ≥ 0 } i els plans z = 0 i x + y − z = −4.
