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MATEMATICAS I:
1. INTRODUCCIÓN:
1.1. De los naturales a los reales
¿Por qué usamos los R?:
- Motivos algebraicos: Los números reales son los únicos que pueden dar resultado a todas las operaciones algebraicas.
- Motivos topológicos: La recta real es la única continua, sin vacíos.
Como operar con R: Se basa en dos operaciones, la suma (+) y el producto (*):
- La suma consta de 4 propiedades:
- Asociativa F 0E 0 ( a + b ) + c = a + ( b + c )
- Conmutativa F 0E 0 a + b = b + a
- El elemento neutro F 0E 0 [0]
- Elemento opuesto F 0E 0 [de (a) F 0E 0 (-a) ]
- La resta consta de 4 propiedades:
- Asociativa F 0E 0 ( a * b ) * c = a * ( b * c )
- Conmutativa F 0E 0 a * b = b * a
- El elemento neutro F 0E 0 [1]
- El elemento inverso F 0E 0 [/]
- Valor absoluto: Definimos el valor absoluto como:
| a | = Si (a) es positivo = (a)
Si (a) es igual a 0 = (0)
Si (a) es negativo = (-a)
P. Ejemplo:
| x – 3 | = Si (x) es positivo = ( x – 3 )
Si (x) es igual a 0 = (-3)
Si (x) es negativa = (- x + 3)
Propiedades:
F 0 E 0 El valor absoluto siempre da positivo. F 0 E 0 | a * b | = | a | * | b | F 0 E 0 | a | = | ( - a ) | F 0 E 0 | a + b |^ <^ | a | + | b | F 0 E 0 | a / b | =^ | a | / | b | F 0 E 0 El valor absoluto es la distancia entre el valor i (0).
- Desigualdades: Con los números reales siempre se puede decir cuando un numero es más grande que otro.
Propiedades:
F 0 E 0 (a < a) F 0 E 0 Si (a < b) i (b < a) entonces ( a = b ). F 0 E 0 Si (a < b) i (b < c) entonces (a < c). F 0 E 0 Si (a < b) entonces (a ± c <^ b ± c). F 0 E 0 Si (c) es positivo =^ (a < b)^ = (b · c <^ a · c). F 0 E 0 Si (c) es negativo =^ (a < b)^ = (b · c^ >^ a · c). F 0 E 0 El cambio de signo también afecta a los números invertidos (1/a).
- Inecuaciones: Son expresiones algebraicas donde hay desigualdades en vez de igualdades.
F 0 E 0 Inecuaciones de 1r grado: Se resuelven como las ecuaciones normales, pero vigilando cambiar la igualdad al invertir o cambiar signos. Ejemplo: 2x + 2 < 1 + 3x 2 – 1 < 3x - 2x 1 < x Ejemplo’:
(x +
(x -
R = (-4, 2)
F 0 E 0 Inecuaciones con cocientes (X en el denominador): Se pasa todo a un lado, se simplifica hasta tener una única fracción, se discute si A/B < 0 dependiendo de A o de B. Ejemplo: 2 + 3x > 0 1-x
Si 1 –x > 0 y 2 + 3x > 0 F 0E 8 (-2/3 , 1) Si 1- x < 0 y 2 + 3x < 0 F 0E 8 Ø
Ejemplo’’: 1___> ____1__ 2x - 1 2 -x
(2-x) - (2x-1) > 0 (2x-1)(2-x)
- 3x + 3 > 0 -2x² + 5x – 2 3-3x < 0 F 0E 0 (½, 2) --------------------------| -2x²+5x-2 < 0 F 0E 0 (-∞,½)u(2,∞)------------------|------ (2,∞)
3-3x > 0 F 0E 0 (½, 2) --------------------------| -2x²+5x-2 > 0 F 0E 0 (-∞,½)u(2,∞)------------------|------ (2,∞)
F 0 E 0 Inecuaciones con valores absolutos : Discutiremos los valores absolutos y resolveremos las ecuaciones que nos queden de esta discusión.
Ejemplo’:
|x-5|< 2 Si (x-5) < 0 F 0E 0 -x+5 < 2 F 0E 0 x=(3,∞) Si (x-5) = 0 F 0E 0 0 < 2 F 0E 0 x= Si (x-5) > 0 F 0E 0 x-5 < 2 F 0E 0 x=(7,-∞)
R= (3,7)
Ejemplo’’:
|x²-1|< 3 Si (x²-1) < 0 F 0E 0 -x²+1< 3 F 0E 0 x= R Si (x²-1) = 0 F 0E 0 0 < 3 F 0E 0 x=1 x=-
Si (x²-1) > 0 F 0E 0 x²-1< 3 F 0E 0 x=[2, -2] R=(-2,2)
- (^) Distancias: Definiremos la distancia entre dos puntos como el valor absoluto de la resta de los dos puntos: D(a,b)=|a-b|
Propiedades:
F 0 E 0 La distancia siempre es positiva. F 0 E 0 D(a,a)= F 0 E 0 D(a,b)=D(b,a) F 0 E 0D(a,b) < D(a,c) + D(c,b)
- El entorno de un punto: Tenemos una recta de números reales, el entorno será la distancia entre (a-ε) y (a+ε) donde ε = a un número infinitodecimal. Entorno = D(x,a)< ε
β = es la bola abierta (sin extremos), de centro “a” y de radio “ε”.
Ejemplo’:
|x-5|< 2 F 0E 0 d(x,5) < 2 F 0E 0 (a-ε) y (a+ε) F 0E 0 (3,7)
- Conjuntos: Grupos de números que pueden realizar cuatro operaciones básicas: inclusión (C), unión (U), intersección (∩) y el paso al complementario (Ā). F 0 E 0 A C B (Inclusión): Todo elemento de A también es de B.
Propiedades:
F 0 E 0 A C A F 0 E 0 A C B^ y^ B C A^ A = B F 0 E 0 A C B^ y^ B C C^ A C C
F 0 E 0 A U B (unión): Coger todos los elementos de A y B sin repeticiones.
Ejemplo’: A {1,2,3,4,5} B {1,2,7,8,9} A U B = {1,2,3,4,5,7,8,9}
Propiedades:
F 0 E 0 A U A = A F 0 E 0 A U B = B U A F 0 E 0 A U (B U C) = (A U B) U C F 0 E 0 A U Ø = A
El Gráfico de una función es el conjunto de puntos donde f(x) tiene dominio.
2.1 OPERACIONES CON FUNCIONES
Propiedades: Asociativa= (f+g)+h= f+(g+h) Conmutativa= (f+g)=(g+f) El neutro= f(x)= El opuesto f(x)=-f(x)
Propiedades: Igual que las de la suma pero a veces carece de elemento opuesto.
- Producto de funciones.
- Producto de una función por su escalar (escalar= numero real).
Propiedades: 1f=f (Ab)f=a(bf) (ab)f=(af)+(bf) A(f(x)+g(x))=(af(x))+(ag(x))
- Composición de funciones. (g◦f)x:= g(f(x))
2.2 Transformaciones de gráficos:
a) f(x) +/- k = sube o baja la función. b) F(x) * k = Cambio de escala en el eje OY c) F(xk) = cambio de la escala en el eje OX d) F(x +/- k)= La función se mueve a izquierda o derecha.
- Paridad de una función: Se puede conocer una función solo con una mitad si tiene simetría (ya sea par (f(x)=f(-x)) o impar).
2.3 Funciones reales básicas:
- Polinómicas: 1.1: Rectas (y=mx+b):
Se pueden conocer por
- Punto y pendiente: P (xo,yo), pendiente= m y-yo=m(x-xo)
- Dos puntos: (x-xo/xi-xo)=(y-yo/yi-yo)
Posición relativa de dos rectas: r(x)=ax+b; s (x)=mx+n
- Paraleles si m=a
- Perpendicular si m=1/a
1.2: Parábolas: La raíz de un polinomio de grado 2 es -b±√b²-4ac / 2a. La raíz de un polinomio de grado superior a 2 se consigue por ruffinni. | an an-1 ... a1 a |
| r | bn-1r ... b1r b0 r |
|---|
| an an-1+(bn-1 r) ... a 1 +b 1 r a 0 +b 0 r |
|
| = bn-1 = bn-2 ... = b0 = s |
2: Potencias (xⁿ): Xº= 1 x-ⁿ= 1/xⁿ x^a/b= x^a^(1/b) (x^r)^s= x^(rs) X^rx^s= x^r+s X^5y^5=(xy)^
3: Exponenciales (a^x): a es la base nunca es negativa ni 0 ni 1. 3.1 Propiedades:
(a^s)(a^t) = a^(s+t) a^o = 1 (a^s)^t = a^(st) a^s/a^t = a^(s-t) a^(-x) = 1/a^x = (1/a)^x
3.2 Interés compuesto:
Co = inicio r = Interés a tiempo T T1 = Co+rCo T2 = (Co(1+r))r
3.3 Interés simple:
Co Cor+Co (Co+r)+Cor +Co
- Logarítmicas: Loga(x-y)=loga(x)+loga(y) Loga(xx)= xloga(x) Logaⁿ= n(loga) Loga(1)=o Loga(x/y)=loga(x)-loga(y) Loga(x+y)≠loga(x)+loga(y) Loga(x-y)≠loga(x)/loga(y)
5.Trigonométricas: 5.1: Inversas: 1/sinx, 1/cosx, 1/tgx
5.2: Inversas por composición: arco sen, arco cos, arco tg
- Indeterminaciones: 0/
- Si es un cociente de polinomios F 0E 0buscamos raíces i simplificamos.
- Si hay raíces F 0E 0Multiplicamos por el conjugado: (√x+1)-(√1-x)/ (√1-x) = 1-x/(√1-x)
- Escala de infinitos.
- Escala de infinitos.
- Cociente de polinomios. (x^m/x^n m>n = ∞; m<n= 0)
- Si hay raíces F 0E 0 multiplicar y dividir por el conjugado.
- Si es resta de quebrados F 0E 0se resta i aplica lo necesario.
f F 0E 0o; g F 0E 0∞ f/(1/g)=o/o g/(1/f)= ∞/∞
0^0 / ∞^
f^g e^(ln^(f^g)) = e^(lim x F 0E 0∞) de g*lnf
1^∞
f^g e^lim x F 0E 0a de (g*(f-1))
3.3 Continuidades. Propiedades. Discontinuidades y clasificación. Una función es continua si el límite por la izquierda y por la derecha coinciden con la imagen en el punto. Propiedades: Si f i g son continuas en el punto ‘a’ todas sus operaciones algebraicas son continuas también. Tipos de discontinuidades:
- Discontinuidad evitable. (Los límites no coinciden con la imagen).
- Discontinuidad no evitable. (Los limites no coinciden). 1ª especie= Los limites laterales no son ∞.
2ª especie= Uno de los dos limites es ∞. 3ª especie= Los dos límites son ∞.
3.4 Funciones continuas en intervalos cerrados. Weiestrass i Bolzano. Bolzano: Una función es continua en el intervalo [a,b] si: F(a)= lim x F 0E 0a y f(b)=limx F 0E 0b
Weiestrass: Si la función esta acotada en [a,b] i es continua, la función tiene máximo y mínimo.
4. DERIVABILIDAD
4.1 Definición de función derivable en un punto. Pendiente de la recta tangente. F es derivable en ‘a’ cuando: Lim x F 0E 0a = f(x)-f(a) / x-a Si f(x) es derivable en x=a es continua en x=a
La recta tangente de f(x) en el punto x=a F 0E 8 Y=f(a)+f’(a)(x-a)
4.2 Propiedades de la derivada. Regla de la cadena:
- Todo polinomio es derivable en R.
- Las potenciales/exponenciales/trigonometricas… son derivables en su dominio.
- Sean f(x) i g(x) derivables en el dominio de ambas entonces: f±g, f*g, f/g son derivables en a.
- (f±g)’= f’±g’
- (fg)’= (f’g)+(g’*f)
- (f/g)’=(f’g-fg’)/ g²
Regla de la cadena: Sirve para derivar composición de funciones compuestas (fog).
4.3 El teorema de l’Hôpital: la regla de L'Hôpital es utilizada para determinar límites que de otra manera sería complicado calcular.
4.4 Candidatos a máximos y mínimos. Intervalos de crecimiento.
2. ALGEBRA
2.1 Calculo de determinantes y rango de una matriz.
- En el caso en que sea de un grado superior a 3 se calcula mediante adjuntos. Cambiamos filas por columnas para así tener la gran parte de 0. Seleccionamos una fila y multiplicamos el determinante menor por su adjunto:
Rango de una matriz: Con el "método de Gauss". Básicamente consiste en hacer nulos los elementos en escalera; y el rango final será el número de filas distintas de cero.
2.2 Sistemas de ecuaciones lineales. La matriz ampliada. 2.3 Rouche-Frobenius. Clasificación de matrices.
- Si el rango de A es diferente al de la ampliada= S.L Incompatible.
- Si el rango de A es igual al de la matriz ampliada y el numero de incognitas también es un sistema compatible determinado.
- Si el rango de A es igual al de la matriz ampliada y el numero de incognitas es diferente es un sistema compatible indeterminado.
