¡Descarga ex mates 1 y más Apuntes en PDF de Matemáticas solo en Docsity!
MATEMÀTIQUES I
Curs 2014 - 2015 Grups T1 i T Prova d’avaluació continuada 31 d’octubre de 2014, de les 11:00 a les 13:30 hores Fer cada exercici en un full separat. Anotar a cada full el vostre nom i grup.
Exercici 1 L’exercici puntua 15 punts. Cada resposta correcta val 1 , 5 punts. Par cada resposta incorrecta es resten 0. 75 punts. Les preguntes no contestades no compten. La nota mínima és 0. Responeu les preguntes següents indicant en cada cas al full de respostes qui- na de les tres opcions és exactament la correcta. Només una resposta és la totalment correcta.
- La forma polar d’un nombre complex z és z = 2π 6. Aleshores la forma cartesiana de z^4 és igual a:
a) −8 + 8√ 3 i. b) 8 √3 + 8i. c) − 8 √3 + 8i.
- El rang d’una matriu d’ordre 8 × 5 és 5. Aleshores:
a) Cap menor d’ordre 5 es diferent de zero. b) Hi ha un menor d’ordre 5 diferent de zero. c) Tots els menors d’ordre 4 són diferents de zero.
- log( (^) yxe (^2) ex 2 −x−y^2 y 2 ) − 2 log(x y^2 ) és igual a:
a) −x + log (^) x^13. b) 3 x log x. c) x + log y^2.
- Donats 4 vectors de l’espai R^6 es verifica:
a) Són una familia de vectors linealment independents de R^6. b) Mai poden ser una familia de generadors de R^6. c) Si són linealment independents, són una base de R^6.
- 25 i/(3 + 4i) és igual a: a) 4 + 3i. b) −4 + 3i. c) − 4 − 3 i.
- El polinomi característic d’una matriu quadrada A d’ordre 6 té com arrels a 2 amb multiplicitat 3 , 4 amb multiplicitat 2 i − 1 amb multiplicitat 1. Aleshores:
a) La matriu A és diagonalitzable. b) Si A és diagonalitzable, hi ha dos vectors propis de valor propi 4 lineal- ment independents. c) Si A hi ha tres vectors propis de valor propi 2 linealment independents, la matriu A és diagonalitzable.
- La solució general de l’equació diferencial x^2 y′^ − y^2 = 0 és de la forma
a) y = x^2 + c, c ∈ R. b) y = 1+xcx , c ∈ R. c) y = (^) 1+xcx , c ∈ R.
- Una matriu quadrada simètrica d’ordre 9 no és semidefinida. Aleshores:
a) Si té exactament 3 valors propis positius, aleshores en té 6 de negatius. b) 0 és sempre valor propi. c) Si la matriu té rang 9 i exactament 5 valors propis negatius, aleshores el polinomi característic presenta 4 canvis de signe en la seva successió de coeficients.
- ∫^ sin x cos x√ 1 − sin^2 x dx =
a) −^14
1 − sin^2 x.
c) (3 punts) Comproveu que A és diagonalitzable. d) (1 punt) Doneu una matriu diagonal D equivalent a A. e) (3 punts) Trobeu una base de vectors propis d’A. f) (1 punt) Doneu una matriu C tal que D = C−^1 AC.
Exercici 5 L’exercici val 10 punts.
i) Resol l’equació diferencial (5 punts)
y′^ + xy = x sin x
2 2 i troba la solució particular tal que y(0) = 0 (1 punt). ii) Resol l’equació diferencial (4 punts) (x + y)y′^ = x − y
