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Bloque temático 2. Análisis dinámico
1. Integración
.
2. Ecuaciones diferenciales
Material elaborado por L. González-Vila, F.J. Ortí y J. Sáez
**1. Integral indefinida. Concepto y propiedades
- Métodos de integración
- Integral definida. Concepto y propiedades
- Aplicación al cálculo de áreas planas
- Aplicaciones económicas de la integral**
definida
Dada
f : A ⊆ ℜ → ℜ
Se define integral indefinida de dicha función, y se simboliza por
f x ⋅ dx
∫
como otra función
F x
que verifica:
( ) ( ) ( ) ( )
f x dx F x F x f x
La función
F x
se denomina función primitiva de ( )
f x
.
1.1 Definición. Función primitiva
1. Integral indefinida. Concepto y propiedades
Material elaborado por L. González-Vila, F.J. Ortí y J. Sáez
.
Ejemplo: Obtener la siguiente integral indefinida
∫
dx
x
x
x
∫
x
e dx
Ejercicio: Encontrar la función primitiva de
x
f x = e
1.1 Definición. Función primitiva
Material elaborado por L. González-Vila, F.J. Ortí y J. Sáez
Ejercicio: Resolver la integral indefinida
1
⋅ =
∫
dx
x
1. Integral indefinida. Concepto y propiedades
Dada f : A ⊆ ℜ → ℜ
- Si
F x es una primitiva de
f x también lo son:
( )
F x + K ,∀ K ∈ℜ
Por tanto:
f x ⋅ dx = F x + K
∫
- Linealidad:
1 2
∀ c , c ∈ ℜ
( ) ( ) ( ) ( )
1 2 1 2
c ⋅ f x ± c ⋅ g x ⋅ dx = c ⋅ f x ⋅ dx ± c ⋅ g x ⋅ dx
∫ ∫ ∫
1.2 Propiedades
Material elaborado por L. González-Vila, F.J. Ortí y J. Sáez
df x = f ' x ⋅ dx = f x
∫ ∫
( )
d f x ⋅ dx = f x
∫
1. Integral indefinida. Concepto y propiedades
2.1 Integrales inmediatas
sin x dx ⋅ = − cos x + K
∫
sin f ( x ) f ' ( x ) dx cos f ( x ) K
⋅ ⋅ = − +
∫
cos x dx ⋅ = sin x + K
∫
( ) ( ) ( )
cos f x ⋅ f ' x ⋅ dx = sin f x + K
∫
( )
tan x dx ⋅ = − ln cos x + K
∫
( ) ( ) ( )
tan f x ⋅ f ' x ⋅ dx = − ln cos f x + K
∫
2
1
tan
cos
dx x K
x
⋅ = +
∫
( )
( )
( )
2
'
tan
cos
f x
dx f x K
f x
⋅ = +
∫
2
1
arcsin
1
dx x K
x
⋅ = +
−
∫
( )
( )
( )
2
'
arcsin
1
f x
dx f x K
f x
⋅ = +
−
∫
2
1
arccos
1
dx x K
x
−
⋅ = +
−
∫
( )
( )
( )
2
'
arccos
1
f x
dx f x K
f x
−
⋅ = +
−
∫
2
1
arctan
1
dx x K
x
⋅ = +
∫
( )
( )
( )
2
'
arctan
1
f x
dx f x K
f x
⋅ = +
∫
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− ⋅ 3 dx
∫
= − 3 x + K
x
⋅ e ⋅ dx
∫
2 x
e ⋅ dx
∫
sin x dx ⋅
∫
= − cos x + K
4 cos⋅ x dx ⋅
∫
∫
dx
x
Ejemplo: Resolver las siguientes integrales indefinidas inmediatas
Ejercicio: Resolver las siguientes integrales indefinidas inmediatas
Material elaborado por L. González-Vila, F.J. Ortí y J. Sáez
2. Métodos de integración
2.1 Integrales inmediatas
2
∫
x dx
∫
x dx
5
x
⋅ e ⋅ dx
∫
( )
sin 6 x ⋅ dx
∫
∫
x
dx
3 5
x ⋅ dx
∫
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2.1 Integrales inmediatas
.
Ejercicio: Calcular la siguiente integral indefinida
2 2
∫
x
dx
x x
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2. Métodos de integración
2.1 Integrales inmediatas
ln
f x
dx f x K
f x
2
3
x
dx
x
3
= ln x + 5 + K
2
3
x
dx
x
Ejemplo: Resolver la siguiente integral indefinida inmediata
Ejercicio: Resolver las siguientes integrales indefinidas inmediatas
Material elaborado por L. González-Vila, F.J. Ortí y J. Sáez
2.1 Integrales inmediatas
2 sin
cos
x
dx
x
sin
cos
x
dx
x
dx
x
dx
x
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2. Métodos de integración
2.1 Integrales inmediatas
f x f x
e f x dx e K
5
x
e dx
−
5 x
e K
−
5
x
e dx
− ⋅
Ejemplo: Resolver la siguiente integral indefinida inmediata
Ejercicio: Resolver las siguientes integrales indefinidas inmediatas
Material elaborado por L. González-Vila, F.J. Ortí y J. Sáez
2.1 Integrales inmediatas
cos
sin
x
− x e ⋅ ⋅ dx
3 sin
cos
x
x e dx
⋅
4 2
3 5
x x
x x e dx
−
5
4
x
x ⋅ e ⋅ dx
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2. Métodos de integración
2.1 Integrales inmediatas
Algunos integrales que se resuelven mediante este método son:
( )
ln
n
P x ⋅ x dx ⋅
∫
a)
u = ln x
n
dv = P x ⋅ dx
2.2 Integración por partes
Polinomio
de grado n
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Ejemplo: Resolver la siguiente integral indefinida
3
ln
u
x x dx
dv
∫ 3
ln x
x ⋅ dx
du =
4
1
4
x
x
d x
⋅
=
4 4
ln
x x
x dx
x
∫
4 3
ln
x x
⋅ x − ⋅ dx =
∫
4
4
ln
x
= ⋅ x − ⋅ x + K
v =
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2. Métodos de integración
2.2 Integración por partes
Ejercicio: Resolver la siguiente integral indefinida
ln x dx ⋅ =
∫
u
dv
=
=
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2.2 Integración por partes
sin
cos
x
x
n
e
a
P x dx
x
x
⋅ ⋅
∫
b)
( )
n
u = P x
sin
cos
x
x
e
a
dv dx
x
x
= ⋅
Este proceso se repite n veces.
Polinomio
de grado n
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2. Métodos de integración
2.2 Integración por partes
sin
cos
x
x
e dx
x
∫
c)
Pueden tomarse las partes
de cualquier forma
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2.2 Integración por partes
Al repetir este proceso se llega a la misma integral inicial. A partir de
la expresión resultante, habrá que despejar la integral
Ejemplo: Resolver la siguiente integral indefinida
sin
x
u
e x dx
dv
∫
sin
x
x
e ⋅ dx
du
v
cos
x
x dx
e
sin cos
x x
= e ⋅ x − e ⋅ x dx ⋅
∫
cos
x
u
e x dx
dv
=
⋅ ⋅ =
=
∫
cos
x
x
e ⋅ dx
du
v
=
=
sin
x
x dx
e
− ⋅
=
cos sin
x x
= e ⋅ x − − e ⋅ x dx ⋅ =
∫
cos sin
x x
e ⋅ x + e ⋅ x dx ⋅
∫
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2. Métodos de integración
2.2 Integración por partes
Por tanto:
sin sin cos sin
x x x x
e ⋅ x dx ⋅ = e ⋅ x − e ⋅ x − e ⋅ x dx ⋅
∫ ∫
sin sin sin cos
x x x x
e ⋅ x dx ⋅ + e ⋅ x dx ⋅ = e ⋅ x − e ⋅ x
∫ ∫
2 sin sin cos
x x x
⋅ e ⋅ x dx ⋅ = e ⋅ x − e ⋅ x
∫
sin cos
sin
x x
x
e x e x
e x dx K
∫
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2.2 Integración por partes
( ( ))
∫
f g x dx
g x t
x h t
dx h t dt
=
=
= ′ ⋅
( ) ( )
f t h t dt
∫
Se calcula esta
integral
( )
F t
Se deshace el cambio
( )
t = g x
( ) ( )
= F g x + K
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2. Métodos de integración
2.3 Integración por cambio de variable
Ejercicio: Resolver la siguiente integral indefinida
2
3
x
x
e
dx
e
⋅ =
∫
x
t = e
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2.3 Integración por cambio de variable
x x
dx
x
⋅ =
∫
Ejercicio: Resolver las siguientes integrales indefinidas:
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2.4 Ejercicios de cálculo de primitivas
ln x x
dx
x
⋅ =
∫
2. Métodos de integración
Ejercicio: Resolver las siguientes integrales indefinidas:
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2
2
3
3 8
5 40
x
e dx
x x
⋅ ⋅ =
∫
2.4 Ejercicios de cálculo de primitivas
2 x + 1 ⋅ ln x dx ⋅ =
∫
Ejercicio: Resolver las siguientes integrales indefinidas:
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3
x
x ⋅ ⋅ dx =
∫
6
6
x
x e dx
∫
2.4 Ejercicios de cálculo de primitivas
2. Métodos de integración
Ejercicio: Resolver las siguientes integrales indefinidas:
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2.4 Ejercicios de cálculo de primitivas
2
x ⋅ 1 + x ⋅ dx =
∫
3 x
x e dx
−
⋅ ⋅ =
∫
Ejercicio: Resolver la siguiente integral indefinida:
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2
sin x dx ⋅ =
∫
2.4 Ejercicios de cálculo de primitivas
2. Métodos de integración
Ejercicio: Resolver la siguiente integral indefinida:
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2.4 Ejercicios de cálculo de primitivas
3
2
1
⋅ =
−
∫
x x
dx
x
Como el grado del numerador es mayor o igual que el del
denominador, podemos dividir los polinomios:
3. Integral definida. Concepto y propiedades
3.1 Definición de integral definida
El concepto de integral definida surge al tratar de
calcular el área de cualquier tipo de figura plana.
Empezamos por figuras determinadas por funciones
reales de variable real y el eje horizontal.
La idea gráfica del problema consiste en determinar el
área de una figura del tipo:
A
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