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Tema 8
C´alculo de Primitivas.
8.1. Definici´on y propiedades
Definici´on 8.1.1. Sea f : I R! R. Una primitiva de f en I es una funci´on F : I R! R derivable en I y tal que F ′(x) = f (x) para todo x 2 I. Proposici´on 8.1.2. Si F es una primitiva de f en I, entonces todas las primitivas de f en I son de la forma F (x) + C con C 2 R Definici´on 8.1.3. Se llama integral indefinida de f al conjunto de todas sus primitivas y se denotar´a por
f (x)dx. As´ı, si F (x) es una primitiva de f (x) en I, se cumple que ∫ f (x)dx = F (x) + C; o equivalentemente, f (x)dx = dF (x). Propiedades 8.1.4. (Propiedades de la integral indefinida)
(a)
f (x)dx
= f (x).
(b)
F ′(x)dx = F (x) + C.
(c)
f (x)dx =
f (x)dx con 2 R.
(d)
(f (x) g(x)) dx =
f (x)dx
g(x)dx.
Las propiedades (c) y (d) aseguran que la integral indefinida es una operaci´on lineal.
Curso 2015/2016 C´alculo Infinitesimal
8.2. Integrales Inmediatas
Las siguientes integrales se obtienen directamente a trav´es de las derivadas de las funciones elementales y de la regla de la cadena.
∫ kdx = kx + c; k 2 R
xkdx = x
k+ k + 1 +^ c;^ k^ ̸=^ ^1
f (x)k^ f ′(x)dx = f^ (x)
k+ k + 1 +^ c;^ k^ ̸=^ ^1
x dx^ = ln^ jxj^ +^ c
∫ (^) f ′(x) f (x) dx^ = ln^ jf^ (x)j^ +^ c
exdx = ex^ + c
ef^ (x)f ′(x) = ef^ (x)^ + c
axdx = a
x ln a +^ c;^ a >^0
af^ (x)f ′(x)dx = a
f (x) ln a +^ c;^ a >^0
sen(x)dx = cos(x) + c
sen(f (x))f ′(x)dx = cos(f (x)) + c
cos(x)dx = sen(x) + c
cos(f (x))f ′(x)dx = sen(f (x)) + c
1 + tan^2 (x)
dx = tan(x) + c
1 + tan^2 (f (x))
f ′(x)dx = tan(f (x)) + c
(1 + cot^2 (x))^ dx = cot(x) + c
(1 + cot^2 (f (x)))^ f ′(x)dx = cot(f (x)) + c
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8.3.3. M´etodo de integraci´on por partes
Este m´etodo se basa en la regla de la derivaci´on del producto. Sean u(x) y v(x) dos funciones derivables, Entonces (u(x)v(x))′^ = u′(x)v(x) + u(x)v′(x), y por lo tanto
u(x)v(x) =
(u(x)v(x))′dx =
u′(x)v(x) dx +
u(x)v′(x) dx;
por lo que (^) ∫ u(x)v′(x) dx = u(x)v(x)
v(x)u′(x) dx; o escrito en forma de diferencial, ∫ u(x)dv(x) = u(x)v(x)
v(x)du(x):
8.4. Integraci´on de funciones racionales
Sea p q((xx)) una funci´on racional tal que el grado del polinomio p(x) es menor que el grado de q(x). Si fuese gr(p) gr(q), dividiendo obtendr´ıamos: p q((xx)) = c(x) + r q((xx)) y el grado del resto es menor que el del divisor. Descomponiendo q(x) en factores, puede ocurrir:
(a) q(x) s´olo tiene ra´ıces reales simples 1 ; 2 ; : : : ; (^) n, entonces existen A 1 ; A 2 ; : : : AN 2 R tales que p q((xx)) = (^) x A ^1 1 + (^) x A^2 2 + + (^) x An (^) n , luego
∫ (^) p(x) q(x) dx^ =
∑^ n i=
∫ (^) Ai x (^) i^ dx;
que son integrales inmediatas.
(b) q(x) tiene ra´ıces reales m´ultiples, por ejemplo, ra´ız con multiplicidad n 2 N. En este caso se procede a la descomposici´on de p q((xx)) en fracciones simples en la misma forma que en el caso (a), pero con la particularidad que al factor (x )n^ le corresponder´ıan los sumandos B 1 x +^
B 2
(x )^2 +^ ^ +^
Bn (x )n^ :
La ´unica novedad con respecto al caso anterior son integrales de la forma
∫ (^) Bi (x )i^ dx (i = 2; ; n), que son inmediatas tambi´en.
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(c) q(x) tiene ra´ıces complejas (conjugadas) simples. Supongamos que q(x) tiene la ra´ız compleja z 1 = + i, por consiguiente, tendr´a tambi´en la ra´ız conjugada z 2 = i. Como [x ( + i)][x ( i)] = (x )^2 + 2 , en la descomposici´on en fracciones al par de ra´ıces complejas le corresponder´a la fracci´on M x + N (x )^2 + 2 ; cuya integral se reduce a dos inmediatas (un logaritmo y un arcotangente), sin m´as que tener en cuenta que M x + N (x )^2 + 2 =^ M^
x (x )^2 + 2 + (M^ +^ N^ )^
(x )^2 + 2 :
(d) q(x) tiene ra´ıces complejas m´ultiples. En esta situaci´on hay dos opciones:
(i) Actuar como en el caso de ra´ıces reales m´ultiples. Si las ra´ıces complejas (como las del apartado (c)) tienen multiplicidad n 2 N, se a˜naden a la descomposici´on las siguientes fracciones: M 1 x + N 1 (x )^2 + 2 +^
M 2 x + N 2 ((x )^2 + 2 )^2 +^ ^ +^
Mnx + Nn ((x )^2 + 2 )n^ : Las nuevas fracciones se integran por partes (reduciendo en cada paso un grado en el denominador), o bien mediante el cambio x = + tan t. (ii) Utilizar el M´etodo de Hermite. Este m´etodo consiste en descomponer la funci´on racional de la forma p(x) q(x) =
( (^) A(x) B(x)
- C(x); donde B(x) es un polinomio con las mismas ra´ıces que q(x) pero con una multipli- cidad menos cada una. A(x) es un polinomio de coeficientes indeterminados, cuyo grado es una unidad menos que B(x). C(x) es la descomposici´on en fracciones simples correspondientes a las ra´ıces de q(x) consideradas todas como simples.
8.5. Integrales reducibles a racionales
En esta secci´on trataremos de integrales de funciones irracionales (es decir, que no son racionales) pero que mediante un cambio de variables adecuado, la transformamos en una integral de tipo racional.
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8.5.3. Integrales con radicales de polinomios cuadr´aticos
Se trata de integrales del tipo ∫ R
x;
ax^2 + bx + c
dx:
Estas integrales las podemos integrar de dos formas diferentes.
Integrales Abelianas
Se trata de realizar un cambio de variables que la transforme en una integral de tipo racional.
(i) Si a > 0, se hace el cambio pax^2 + bx + c = pax + t. (ii) Si c > 0, se hace el cambio pax^2 + bx + c = pc + tx. (iii) Si a < 0 y c 0, se hace el cambio
p ax^2 + bx + c = t(x ), donde es una ra´ız real de ax^2 + bx + c
Completando cuadrados
En este caso, vamos a realizar un cambio de variables trigonom´etrico que nos reduzca a una integral racional trigonom´etrica (que se resolver´a mediante otro cambio de variables adecuado). En primer lugar, veamos los siguientes casos particulares:
(i)
R
x;
a^2 b^2 x^2
dx. Realizamos el cambio bx = a sen t (o bx = a cos t).
(ii)
R
x;
b^2 x^2 a^2
dx. Realizamos el cambio bx = a sec t.
(iii)
R
x;
a^2 + b^2 x^2
dx. Realizamos el cambio bx = a tan t.
En el caso general, tenemos que completar cuadrados, es decir, escribir la funci´on cuadr´atica de la forma ax^2 + bx + c = a(x A)^2 + B y en funci´on de los signos de a y B, realizar el cambio trigonom´etrico adecuado.
