¡Descarga mates problemes y más Ejercicios en PDF de Matemáticas solo en Docsity!
BLOC 2: Càlcul
TEMA 1: Funcions reals de n variables
Material de treball autònom
1. Calculeu el domini de la funció ( , ) ln 2 2
xy f x y x y
- Representeu gràficament el domini de les funcions següents:
(a) ( )
x y f x y x y
(b) ( )
2
x y f x y y x
(c) f ( x y , ) = + x^2 + y^2 − 4 (d) f ( x y , ) = + y − x^2
3. Si ( )
ln ,
y f x y x
= , aleshores el domini de la funció f és un conjunt:
(a) Obert i no convex (b) No obert i no convex (c) Convex i no obert (d) Obert i convex
4. Si f ( x y , ) = ln 1( − y ) ⋅ 1 − x^2 − y^2 , aleshores el domini de la funció f és un conjunt:
(a) Tancat i acotat (b) Tancat i no acotat (c) No tancat i acotat (d) No tancat i no acotat
5. Donada la funció f ( x y , ) = x ( y − 2 ):
(a) La corba de nivell C 0 ( k = 0 )es redueix al punt ( 0, 2)
(b) Totes les corbes de nivell són rectes
(c) El punt ( 10,12 )pertany a la corba de nivell C 100 ( k = 100 )
(d) Les corbes de nivell d’ f són circumferències centrades en el punt ( 0, 2)
6. Donada la funció f ( x y , ) = ( x − 2 ) 2 + ( y − 1 )^2 , determineu quina de les següents afirmacions és
FALSA :
(a) La corba de nivell 0 ( k = 0 )es redueix al punt ( 2,1)
(b) La corba de nivell 1 ( k = 1 )passa pels punts ( 2,0 ), ( 1,1) , ( 3,1) i ( 2, 2)
(c) El punt ( 22, − 3 )pertany a la corba de nivell C 416 ( k = 416 )
(d) Les corbes de nivell són circumferències concèntriques centrades en el punt ( −2, − 1 )
- Donades les funcions escalars:
(a) f ( x y , )= x + 2 y (b) g ( x y , ) = x^2^ − 4 x + 4 + y^2 (c) h x y ( , )= xy
representeu gràficament les corbes de nivell.
8. La norma del vector gradient de la funció f ( x y z , , ) = 4 y^2 + cos( z − x ) en el punt
( x y z ,^ ,^ ) =^ ( 0,^ π,^ π 2 )és:
(a) 64 π 2 + 2 (b) 64 π 2 + 2 (c) 16 π + 2 (d) ( 1,8 π , − 1 )
9. El gradient de la funció ( )
2 , 2 2
y
f x y = x + en el punt ( 2,1) és:
(a) ( 2,1) (b) ( 1, 2 ) (c) ( 4,1) (d) ( 1, 4)
10. Donada la funció f ( x y , ) = y − x^2 + 1 , es demana:
(a) Representeu gràficament el domini i les corbes de nivell
(b) Calculeu el gradient d’ f en el punt ( 0,0)
(c) Calculeu la derivada d’ f en el punt ( 0,0) segons la direcció del vector ( 0, − 1 )
11. El valor d’ a que fa que la funció ( , ) ln
y f x y x ax
= ⋅ ^
, amb a > 0 , compleixi la relació
x f^ y f f x y
⋅ ∂^ + ⋅ ∂ =
és:
(a) Qualsevol a (b) a = 1 (c) a = 2 (d) No existeix
12. Donada la funció ( , ) ln
x f x y y
, es demana:
(a) Representeu gràficament el domini i les corbes de nivell d’ f (b) Determineu el vector gradient d’ f en el punt (^) ( 12 ,1)
(c) Trobeu el valor de la derivada direccional d’ f en el punt (^) ( 12 ,1) segons la direcció del vector
13. Donada la funció ( , )
x f x y y
= , es demana:
(a) Representeu gràficament el domini i les corbes de nivell de la funció f
(b) Determineu el vector gradient d’ f en el punt ( 1,1)
(c) Trobeu el valor de la derivada direccional d’ f en el punt ( 1,1) segons la direcció del vector
- Calculeu l’elasticitat de les següents funcions reals de variable real en el punt x 0 que s’indica en
cada cas:
(a) f ( x ) = ( 10 − 3 x )^2 en x 0 = 5 (b) ( )
f x x
= en x 0 (^) = 2 , x 0 (^) = 1 i x 0 (^) = 0
(c) (^) ( ) (^) ( ) 2 3
f x = x − 1 en x 0 = 0 (d) f ( x ) = x^4 + 3 en x 0 = 3
15. Donada la funció f ( x y z , , ) = 6 x^2 y + e y^ − z , calculeu les elasticitats següents:
(a) Ex f ( 1,1,1) (b) E yf ( 1,1,1) (c) Ez f ( 1,1,1)
- Donada la funció
si , 0 si
x y x y f x y (^) x y x y
calculeu, en el cas que existeixin, ( 0,0)
f x
,^ f ( 0,0)
y
f x
i^ f ( 2,3)
y
17. Donada la funció diferenciable f ( x y , ) = x^2^ y^2 − 3 xy , calculeu l’equació de l’hiperplà tangent a
f en el punt (1, 2 ). Utilitzeu el pla tangent per aproximar el valor de la funció en el punt
- Donada la mateixa funció de l’enunciat anterior, si avaluem
z v
trobem:
(a)
2 u^2 uv z u v
(b)
v z u v
(c) 0 (d)
2 z v u v
28. Si z = f ( x y , ), on x = uw i y = vw , calculeu
z u
z v
i
z w
. Quin és el valor de
z z z u v w
al
punt ( u v w , , ) = ( 1,1, − 1 )?
- La relació y^3^ − x^3 − y = − 1 defineix implícitament a y com a funció d’ x en l’entorn del punt
( 1,1)^. Llavors, el valor de^
dy dx
en aquest punt és:
(a)
(b)
− (c)
(d)
- La relació 2 2 2 y − x ey = 1 defineix implícitament a y com a funció d’ x en l’entorn del punt
( 0,1)^. Llavors, el valor de^
dy dx
en aquest punt és:
(a) − 1 (b) 0 (c) 1 (d) Cap de les anteriors
31. La relació ln ( xy ) 2 − ln ( xy )^2 = 0 defineix una funció implícita y = y x ( ) en l’entorn del punt
1, e^2. Llavors, el valor de dy dx
en aquest punt és:
(a) e^2 (b) − e 2 (c) 0 (d) 1
32. La relació ln ( x + y )− x − y + 1,5 = 0 defineix una funció implícita y = y x ( ) en l’entorn del punt
( 0 , 0,3017^ ). Llavors, el valor de la derivada^
dy y dx
′ = en aquest punt és:
(a) x (b) x^2^ − 1 (c) 1 (d) − 1
33. Donada l’equació y^2 + xz + z^2 − e z − c = 0 , que defineix implícitament z = z x y ( , ), calculeu el
valor de c tal que z ( 0, e )= 2. Quines són les derivades parcials
z x
i
z y
al punt ( x y , ) = ( 0, e )?
- Calculeu, si és possible, el grau d’homogeneïtat de les funcions:
(a) ( )
(^4) sin , 2
x x y (^) x y f x y e y
= ⋅ (b) ( )
cos( )
x x y f x y y
- Determineu el grau d’homogeneïtat de les següents funcions:
(a) f ( K L , )= K^ α^ L β, amb α + β= 1
(b) ( )
2 2
yz f x y z x
(c) ( )
2 3
yz f x y z x
BLOC 2: Càlcul
TEMA 1: Funcions reals de n variables
Solucions material de treball autònom
(d)
(c)
(c)
(d)
(b)
(c)
(a)
17. L’equació del pla tangent a f en el punt ( 1, 2) és T ( x y , )= 2 x + y − 6.
El valor aproximat de la funció en el punt ( 1,1 , 2,01) és T ( 1,1 , 2,01) = −1,79 , valor que podem
comparar amb el seu valor exacte, f ( 1,1 , 2.01) = −1,.
(a) f ( 10,5) = 750
(b) T ( x y , )= 175 x + 100 y − 1.500i T (10,1 , 5 ) =767,
(c) E xf ( 10,5) = 2,
, és a dir, si incrementem el valor d’ x en un 1%, el valor d’ f s’incrementarà,
aproximadament, en un 2,3%
(d) f ( 10,1 , 5 )= 767,6. Si comparem amb el valor obtingut en l’apartat (b) veiem que la
diferència (error absolut) és de només 0,1 unitats. Finalment, si fem servir la informació
obtinguda en l’apartat (c), donat que passar del punt (10,5 ) al punt (10,1 , 5 ) suposa un
increment de la variable x en un 1%, l’elasticitat parcial de la funció en el punt ( 10,5) ens deia
que la imatge de la funció augmentaria, aproximadament, en un 2,3%
. El 2,3%
de 750 és 17,
i, per tant, el valor aproximat de la funció en el punt ( 10,1 , 5 )serà de 750+17,5=767,5.
f f f x y z
- ∇ f (^) ( x y , (^) ) = (^) ( e x^ ⋅ cos y , − e x ⋅ sin y )i ∇ f (^) ( 0, π) = (^) ( −1,0)
2 2 2
f y x
2 0
f x z
2 2 2
f y z
( ) 2 2 2 2 3
g^ ex^ y x^^2 x^2 x x
2
g^2 e^ x^ y x^1 x y (^) x
∂ +^ ⋅^ −
2 2 0
f y
2 2
f z z y
3 3 0
f x
y x Hf x y z x z z y
= ^ −
( )^ ( )
(^2 2 )
3 2 (^2 ) 2
x y (^) x y
x y (^) x y
e x x (^) e x
Hg x y x^ x e x (^) e x x
⋅^ −
Hf
= ^ −
- La producció diària creixerà, aproximadament, en 10 unitats. L’increment exacte és de 9, unitats.
- El benefici mensual creixerà, aproximadament, 3.360 €.
- (b)
- (a)
z f w u x
z f w v y
i
z f f u v w x y
. Per tant, al punt ( u v w , , ) = ( 1,1, − 1 )tenim que
z z z u v w
- (c)
- (b)
- (b)
- (d)
33. c = 4 , ( )
2
z e x (^) e
i ( )
2
z e e y (^) e
(a) La funció és homogènia de grau 3 (b) La funció és homogènia de grau −^12
(a) La funció és homogènia de grau 1 (b) La funció és homogènia de grau 1 (c) La funció és homogènia de grau 0
