Cambio de la matriz
asociada a una transformaci´on lineal
al cambiar las bases del dominio y contradominio
Objetivos. Estudiar el cambio de la matriz asociada a una transformaci´on lineal al
cambiar las bases del dominio y contradominio.
Requisitos. Matriz asociada a una transformaci´on lineal, cambio de base, unicidad de la
representaci´on matricial de una transformaci´on lineal.
1. Repaso breve. En el tema anterior definimos la matriz asociada a una transformaci´on
lineal respecto a un par de bases, luego demostramos la f´ormula
(T v)B=TB,AvA
y la unicidad de representaci´on matricial: si
∀v∈V(T v)B=CvA,
entonces C=TB,A. En este tema seguimos estudiando la correspondencia entre transfor-
maciones lineales y matrices.
2. Teorema (cambio de la matriz asociada a una transformaci´on lineal al cam-
biar las bases del dominio y del contradominio). Sean V, W algunos espacios vec-
toriales de dimensiones finitas sobre un campo F, sea T∈ L(V, W ), sean AyA0bases de
Vy sean ByB0bases de W. Entonces
TB0,A0=PB0,BTB,APA,A0.
En otra forma,
TB0,A0=P−1
B,B0TB,APA,A0.
Demostraci´on. Para un vector arbitrario v∈V,
(T v)B0=PB0,B(T v)B=PB0,BTB,AvA=PB0,BTB,APA,A0vA0.
Por el teorema de la unicidad de la representaci´on matricial de una transformaci´on lineal,
TB0,A0=PB0,BTB,APA,A0.
Cambio de la matriz asociada a una transformaci´on lineal, p´agina 1 de 3
