¡Descarga Matrices y más Apuntes en PDF de Álgebra solo en Docsity!
24 Tema 4
TEMA 4
Matrices y sistemas de ecuaciones
Aritm´etica de Matrices
En este tema k representa un cuerpo, es decir, un conjunto k junto con dos operaciones suma y producto tales
que
suma asociativa x + ( y + z ) = ( x + y ) + z para cualesquiera x; y; z ∈ k,
elemento neutro de la suma existe 0 ∈ k tal que x + 0 = 0 + x = x para cualquier x ∈ k,
elemento opuesto para cualquier x ∈ k existe −x ∈ k tal que x + ( −x ) = ( −x ) + x = 0,
suma conmutativa x + y = y + x para cualesquiera x; y ∈ k,
producto asociativo x ( yz ) = ( xy ) z para cualesquiera x; y; z ∈ k,
elemento neutro para el producto existe 1 ∈ k \ { 0 } tal que x 1 = 1 x = x para cualquier x ∈ k,
elemento inverso para cualquier x ∈ k \ { 0 } existe x
− 1 ∈ k tal que xx
− 1 = x
− 1 x = 1,
producto conmutativo xy = yx para cualesquiera x; y ∈ k,
distributiva del producto con respecto de la suma x ( y + z ) = xy + xz y ( x + y ) z = xz + yz para cualesquiera
x; y; z ∈ k.
Definici´on 1. Una matriz de m filas y n columnas sobre un cuerpo k es una aplicaci´on
A : { 1 ; : : : ; m} × { 1 ; : : : ; n} −→ k ;
[
( i; j ) 7 −→ aij
]
Normalmente se representa a una matriz A de la forma siguiente:
A =
aij
1 ≤i≤m 1 ≤j≤n
a 11 a 12 : : : a 1 n
a 21 a 22 : : : a 2 n
. . .
am 1 am 2 : : : amn
El conjunto de las matrices de m filas y n columnas sobre k se denota Mm×n (k)
Definici´on 2. Sean A; B ∈ Mm×n (k). Se define la suma de A y B como
A + B : { 1 ; : : : ; m} × { 1 ; : : : ; n} −→ k ;
[
( i; j ) 7 −→ aij + bij
]
es decir,
a 11 a 12 : : : a 1 n
a 21 a 22 : : : a 2 n
. . .
am 1 am 2 : : : amn
b 11 b 12 : : : b 1 n
b 21 b 22 : : : b 2 n
. . .
bm 1 bm 2 : : : bmn
a 11 + b 11 a 12 + b 12 : : : a 1 n + b 1 n
a 21 + b 21 a 22 + b 22 : : : a 2 n + b 2 n
. . .
am 1 + bm 1 am 2 + bm 2 : : : amn + bmn
´Algebra Lineal y Estructuras Matem´aticas 25
Definici´on 3. Sean A ∈ Mm×n (k) y B ∈ Mn×p (k). Definimos el producto de A por B como
AB : { 1 ; : : : ; m} × { 1 ; : : : ; p} −→ k ;
[
( i; j ) 7 −→
n ∑
k =
aik bkj
]
o en otra notaci´on
a 11 a 12 : : : a 1 n
a 21 a 22 : : : a 2 n
. . .
am 1 am 2 : : : amn
b 11 b 12 : : : b 1 p
b 21 b 22 : : : b 2 p
. . .
bn 1 bn 2 : : : bnp
c 11 c 12 : : : c 1 p
c 21 c 22 : : : c 2 p
. . .
cm 1 cm 2 : : : cmp
donde cij = ai 1 bij + ai 2 b 2 j + · · · + ainbnj.
Proposici´on 4. La suma y el producto de matrices satisfacen las propiedades siguientes:
suma asociativa A + ( B + C ) = ( A + B ) + C para cualesquiera A; B; C ∈ Mm×n (k) ,
elemento neutro de la suma existe 0 ∈ Mm×n (k) tal que A + 0 = 0 + A = A para cualquier A ∈ Mm×n (k) ,
elemento opuesto para cualquier A ∈ Mm×n (k) existe −A ∈ Mm×n (k) tal que A + ( −A ) = ( −A ) + A = 0 ,
suma conmutativa A + B = B + A para cualesquiera A; B ∈ Mm×n (k) ,
producto asociativo A ( BC ) = ( AB ) C para cualesquiera A; B; C ∈ M∗×∗ (k) ,
elemento neutro para el producto para cada n ∈ N existe In ∈ Mn×n (k) tal que AIn = ImA = A para cualquier
A ∈ Mm×n (k) ,
distributiva del producto con respecto de la suma A ( B + C ) = AB + AC y ( A + B ) C = AC + BC para cualesquiera
A; B; C ∈ M∗×∗ (k).
La matriz cero y la matriz identidad, elementos neutros para la suma y el producto, son
1 ≤i≤m 1 ≤j≤n
; In =
δij
1 ≤i;j≤n
Las matrices con igual n´umero de filas y de columnas se llaman matrices cuadradas. Para denotarlas empleamos
un ´unico tama˜no: Mn (k) = Mn×n (k)
Teorema 5. ( Mn (k) ; + ; · ) es un anillo.
El producto de matrices es no conmutativo
- Porque hay matrices que pueden multiplicarse en un orden y no en otro.
- Porque hay matrices que a´un multiplic´andose en los dos ´ordenes los resultados tienen tama˜no distinto.
- Porque incluso hay matrices cuadradas cuyo producto en los dos sentidos dan resultados distintos.
Definici´on 6. Dada una matriz, se define su traspuesta como aquella que se obtiene intercambiando filas por
columnas, es decir,
A =
aij
1 ≤i≤m 1 ≤j≤n
∈ Mm×n (k) A
t
aji
1 ≤j≤n 1 ≤i≤m
∈ Mn×m (k)
Definici´on 7. Una matriz cuadrada A ∈ Mn (k) se dice sim´etrica si A = A t .
Proposici´on 8. Para cualesquiera matrices A; B de tama˜nos adecuados,
( A + B )
t = A
t
t y ( AB )
t = B
t A
t
´Algebra Lineal y Estructuras Matem´aticas 27
Matrices regulares
Llamaremos matrices elementales de orden n a aquellas matrices cuadradas que se obtienen aplicando una
transformaci´on elemental a la matriz identidad. Tenemos por tanto tres tipos de matrices elementales.
Eij =
, Ei ( α ) =
α
. . .
y
Eij ( α ) =
. (^) α
o Eij ( α ) =
α
Proposici´on 17. Sea A ∈ Mm×n (k) y sea E ∈ Mm (k) una matriz elemental. Entonces EA es la matriz que se
obtiene a partir de A aplicando a sus filas la misma transformaci´on elemental elemental con la que se obtiene E
a partir de Im.
Corolario 18. Sean A; H ∈ Mm×n (k) tales que H es la forma normal de Hermite de A. Existen matrices elementales
E 1 ; : : : ; Et ∈ Mm (k) tales que
H = Et Et− 1 : : : E 1 A
Definici´on 19. Una matriz cuadrada A ∈ Mn (k) se dice regular si tiene inversa para el producto, es decir, si existe
B ∈ Mn (k) tal que AB = BA = In
Lo primero que hay que observar es que de existir la inversa es ´unica: si B 1 y B 2 son inversas de A entonces
B 1 = B 1 In = B 1 ( AB 2 ) = ( B 1 A ) B 2 = InB 2 = B 2 :
La inversa de A , en caso de existir, se denota A − 1 Dos propiedades muy f´aciles de comprobar son:
1. ( AB )
− 1 = B
− 1 A
− 1 ,
2. ( A
t )
− 1 = ( A
− 1 )
t .
Proposici´on 20. Las matrices elementales son regulares, y sus inversas son matrices elementales.
Teorema 21. Para una matriz A ∈ Mn (k) son equivalentes las siguientes afirmaciones:
1. A es regular, 2. rango( A ) = _n,
- la forma de Hermite de A es In,
- A se puede escribir como un producto de matrices elementales._
Corolario 22. H ∈ Mm×n (k) es la forma de Hermite de A ∈ Mm×n (k) si y s´olo si existe una matriz regular
P ∈ Mm (k) tal que H = PA.
Para calcular la inversa de una matriz procedemos de la siguiente forma.
- Dada una matriz A ∈ Mn (k), construimos la matriz ( A|In ) ∈ Mn× 2 n (k).
28 Tema 4
- Calculamos la forma normal de Hermite H ∼f ( A|In ).
- Si H = ( In|B ) entonces A es regular y su inversa es B , en caso contrario A no es regular.
La misma idea sirve para calcular la matriz de paso junto a la forma de Hermite:
- Dada una matriz A ∈ Mm×n (k), construimos la matriz ( A|Im ) ∈ Mm× ( n + m )(k).
- Calculamos la forma normal de Hermite H ∼f ( A|Im ).
- Si H = ( HA|P ) entonces HA es la forma de Hermite de A y HA = PA.
Sistemas de ecuaciones lineales
Definici´on 23. Un sistema de ecuaciones lineales (SEL) sobre un cuerpo k es una expresi´on de la forma
a 11 x 1 + a 12 x 2 + · · · + a 1 nxn = b 1
a 21 x 1 + a 22 x 2 + · · · + a 2 nxn = b 2
am 1 x 1 + am 2 x 2 + · · · + amnxn = bm
donde aij ; bi ∈ k para cualesquiera 1 ≤ i ≤ m , 1 ≤ j ≤ n.
Definici´on 24. Una soluci´on de (7) es una lista ( s 1 ; s 2 ; : : : ; sn ) ∈ k
n tal que
a 11 s 1 + a 12 s 2 + · · · + a 1 nsn = b 1
a 21 s 1 + a 22 s 2 + · · · + a 2 nsn = b 2
am 1 s 1 + am 2 s 2 + · · · + amnsn = bm
Asociado al sistema de ecuaciones (7), podemos definir dos matrices la matriz de los coeficientes y la matriz
de los t´erminos independientes:
A =
a 11 a 12 · · · a 1 n
a 21 a 22 · · · a 2 n
. . .
am 1 am 2 · · · amn
B =
b 1
b 2
. . .
bm
Estas matrices permiten describir el sistema (7) de forma matricial como
AX = B (8)
donde
X =
x 1
x 2
. . .
xn
Un sistema de ecuaciones lineales
a 11 x 1 + a 12 x 2 + · · · + a 1 nxn = b 1
a 21 x 1 + a 22 x 2 + · · · + a 2 nxn = b 2
am 1 x 1 + am 2 x 2 + · · · + amnxn = bm
30 Tema 4
Propiedad 2 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ a 11 a 12 : : : a 1 n
. . .
x 1 x 2 : : : xn
. . .
y 1 y 2 : : : yn
. . .
an 1 an 2 : : : ann
a 11 a 12 : : : a 1 n
. . .
y 1 y 2 : : : yn
. . .
x 1 x 2 : : : xn
. . .
an 1 an 2 : : : ann
En particular el determinante es cero si hay dos filas iguales.
Propiedad 3 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ a 11 a 12 : : : a 1 n
. . .
λx 1 λx 2 : : : λxn
. . .
an 1 an 2 : : : ann
= λ
a 11 a 12 : : : a 1 n
. . .
x 1 x 2 : : : xn
. . .
an 1 an 2 : : : ann
Propiedad 4 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ a 11 a 12 : : : a 1 n
. . .
x 1 x 2 : : : xn
. . .
y 1 y 2 : : : yn
. . .
an 1 an 2 : : : ann
a 11 a 12 : : : a 1 n
. . .
x 1 + λy 1 x 2 + λy 2 : : : xn + λyn
. . .
y 1 y 2 : : : yn
. . .
an 1 an 2 : : : ann
Propiedad 5
det( AB ) = det( A ) det( B ) :
Propiedad 6
det( A
t ) = det( A ) :
Propiedad 7
A es regular ⇐⇒ det( A ) 6 = 0
Propiedad 8
det( A ) = ai 1 αi 1 + ai 2 αi 2 + · · · + ainαin
para cualquier 1 ≤ i ≤ n , donde αij = ( − 1)
i + j det( Aij ).
Los elementos αij = ( − 1)
i + j det( Aij ) reciben el nombre de adjuntos. La matriz
A
∗
α 11 α 12 · · · α 1 n
α 21 α 22 · · · α 2 n
. . .
αn 1 αn 2 · · · αnn
se llama matriz adjunta. De las propiedades anteriores se deduce que para cualquier matriz A ∈ Mn (k)
A · ( A
∗ )
t = det( A ) In
y por lo tanto,
Teorema 30. Si A es regular entonces A − 1 = det( A ) − 1 ( A ∗ ) t .
Proposici´on 31. El rango de una matriz A ∈ Mm×n (k) coincide con el tama˜no de la mayor submatriz cuadrada
con determinante distinto de cero.
