Matrices y sus propiedades, Apuntes de Álgebra Lineal

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MATRICES Y OPERACIONES

MATRICIALES

TEMA Nº 1

1.1. Definición:

Una matriz es una tabla rectangular de números Reales, dispuestos en filas (renglones) y columnas. También es un arreglo bidimensional o tabla bidimensional de números, consistente en cantidades abstractas, que pueden sumarse o multiplicarse entre si. Es una disposición de valores numéricos y/o variables (representadas por letras), en columnas y filas o renglones de forma regular. Donde una fila es cada una de las líneas horizontales de la matriz y una columna es cada una de las líneas verticales. A una Matriz se le denota con letras mayúsculas (A, B, C,…….), esta compuesta de m filas y n columnas, a esta matriz se le denomina de m – por – n (escrito m x n), las dimensiones de una matriz siempre se dan con el números de filas primero y el números de columnas después. Comúnmente se dice que una matriz m-por- n tiene un orden m x n (“ Orden ” tiene el significado de tamaño). Los elementos de la matriz se escriben con letras minúsculas y dos subíndices que indican la fila y la columna 𝑎𝑖𝑗 , siendo su representación la siguiente:

Se dice que dos matrices A y B son iguales si y sólo si siendo equidimensionales, además los elementos que ocupan la misma posición son iguales. Es decir:

𝑎𝑖𝑗 = 𝑏𝑖𝑗 ∀𝑖 = 1, 2,..., m ∧ ∀𝑗 = 1, 2, ..., n. ( m y n número de filas y columnas respectivamente)

Una matriz que tiene todos sus elementos nulos se denomina matriz nula, y se representa por ( 0 ) m x n , siendo m x n el

orden de la matriz. Se llama matriz línea la matriz que consta de una sola línea. Si está formada por una sola fila se llama matriz fila (su orden es 1 x n ) y si está formada por una sola columna se llama matriz columna (su orden es m x 1 ).

Dada una matriz A = (𝑎𝑖𝑗 ) m x n se llama matriz opuesta de A, a la que se obtiene cambiando el signo de

todos los elementos de A; se representa por – A. Así: - A=(- 𝑎𝑖𝑗 ) m x n.

Una matriz que merece nuestra atención, y que llamamos matriz especial, es la matriz cuadrada

1.2. Matriz Cuadrada:

Se dice que una matriz es cuadrada, si y sólo si tiene el mismo número de filas que de columnas. Así una matriz cuadrada de orden n tiene n filas y n columnas, 𝐴𝑛𝑥𝑛.

B =

Es una matriz cuadrada de orden 2 Al ser una matriz especial la matriz cuadrada, algunas definiciones importantes son aplicables a estas. Estas definiciones son las siguientes: Dentro de las matrices cuadradas, llamaremos “Diagonal Principal” , a la formada por los elementos 𝑎𝑖𝑖 = 𝑎 11 , 𝑎 22 , 𝑎 33 ,……. 𝑎𝑛𝑛, siendo la matriz:

Matriz Triangular Inferior: Se denomina matriz triangular inferior, a la matriz cuyos elementos son ceros (o nulos), por encima de la Diagonal Principal, (es decir, 𝑎𝑖𝑗 = 0 ∀𝑖< j ).

Matriz Diagonal: Si una matriz, es a la vez Diagonal inferior y superior, esto quiere decir, que solo tiene elementos en la Diagonal principal, se denomina Matriz Diagonal. Esto es:

Matriz Unidad o Identidad: Si una matriz diagonal tiene en su diagonal principal solo unos, se denomina matriz

unidad o identidad. Se suelen representar por In , donde n es el orden o tamaño de la matriz. Simbólicamente podemos decir que In es la matriz identidad, si y solo si 𝑎𝑖𝑗 = 0 , ∀𝑖 ≠ j ∧ 𝑎𝑖𝑖 = 1 , ∀𝑖. Algunas matrices identidad son:

1.3. Operaciones Matriciales: 1.3.1. Igualdad de Matrices: Dos matrices A = 𝑎𝑖𝑗 y B = 𝑏𝑖𝑗, son iguales si: a) Las matrices son del mismo tamaño, es decir, tienen el mismo número de filas (renglones), que de columnas y sus elementos 𝑎𝑖𝑗= 𝑏𝑖𝑗. b) Las componentes correspondientes son iguales, o sea, el rango de ambas matrices son el mismo. Sean A y B dos matrices que ∈ 𝑀 𝑚, 𝑛, ℝ , 𝛼 𝜖 ℝ, 𝐴 = 𝑎𝑖𝑗 , 𝐵 = 𝑏𝑖𝑗, definimos la igualdad de matrices como: A = B 𝑎𝑖𝑗 = 𝑏𝑖𝑗, ∀𝑖𝑗 1. 3. 2. Suma o resta de Matrices: Dadas dos matrices A y B podemos realizar su suma o diferencia de acuerdo a la siguiente regla. Para sumar o restar dos matrices del mismo tamaño , se suman o restan los elementos que se encuentren en la misma posición, resultando otra matriz de igual tamaño. Esto quiere decir. Si A = 𝑎𝑖𝑗 y B = 𝑏𝑖𝑗, son matrices de m x n, la suma de A y B da por resultado la matriz C = 𝑐𝑖𝑗 de m x n definida por: 𝑐𝑖𝑗 = 𝑎𝑖𝑗 + 𝑏𝑖𝑗 Es decir, C se obtiene sumando los elementos correspondientes de A y B. Por ejemplo:

Si A = 𝑎𝑖𝑗 , es una matriz de m x n, si multiplicamos por un escalar a, obtenemos una matriz B = 𝑏𝑖𝑗, donde: 𝑏𝑖𝑗 = a 𝑎𝑖𝑗 El producto de una matriz A = 𝑎𝑖𝑗 por un escalar a, tiene las siguientes propiedades: 1.3.3.1.Propiedades: a) Distributiva respecto de la suma de matrices: a(A + B) = aA + aB, ∀ α ∧ ∀ A, B b) Distributiva respecto de la suma de escalares: (a + b) A = aA + bA, ∀ α, β ∧ ∀A c) Asociativa: b(aA) = ba(A), ∀ α, β ∧ ∀A

d) Elemento Neutro 1: 1 ∙A = A, ∀A

1. 3. 4. Producto de Matrices: En el producto de matrices, no todas las matrices pueden multiplicarse. Dos matrices se pueden multiplicar cuando se

cumple la siguiente condición:

“Para multiplicar dos ( 2 ) matrices A y B, en este orden A ∙ B, es condición indispensable, que el número de columnas de A, sea igual al número de filas de B”. Si no se cumple esta condición, el producto A·B no puede realizarse, de modo que esta es una condición que debemos comprobar previamente a la propia multiplicación. Con esta comprobación, podemos decir que; Si A es una matriz de n x r y B es una de r x m, entonces el producto A ∙ B es la matriz de n x m cuyos elementos se determinan de la siguiente manera. Para encontrar el elemento en la fila 𝑖 y la columna 𝑗 de A ∙ B, distíngase la fila 𝑖 de la matriz A y la columna 𝑗 de la B. Por lo tanto: “El elemento que se encuentra en la fila 𝑖 y la columna 𝑗 de la matriz C = A·B, se obtiene multiplicando los elementos de la fila 𝑖 de A por la columna 𝑗 de B y sumando los resultados”. La definición en forma simbólica se puede expresar, de la siguiente manera

A ∙ B = C = 𝑐𝑖𝑗 = 𝑘= 1

𝑟

𝑎𝑖𝑟𝑏𝑟𝑗, donde 𝑖=1,2,3,………,m ∧ 𝑗 = 1 , 2 , 3 , … …. , 𝑛

Para poder visualizar mejor toda esta explicación, veamos un ejemplo:

2x

4x3 (^) A∙B = C = 2x Para obtener la matriz C, se deben completar los elementos de la misma, este procedimiento se lo realiza de la siguiente manera:

Es condición obligada aunque no suficiente que las matrices sean cuadradas para que conmuten: A(nxm) • B(mxp) = C(mxm) B(mxp) • A(nxm) = C(nxn) siempre que sean compatibles=> n = p Si conmutan, C(mxm) = C(nxn) => n = m=> matrices cuadradas Cuando dos matrices verifican A · B = - B · A se dicen anticonmutativas. f) El producto de matrices tiene divisores de cero: Para todo A, B que pertenece a Enxm Si A · B = O <=> no necesariamente A = O ó B = O g) El producto de matrices no verifica la propiedad de simplificación: ∀ A, B, C que pertenece a Enxm Si A · B = A · C => no necesariamente B = C f) y g), pueden ser expresados de la siguiente manera: En el producto matricial puede ocurrir que A⋅B sea nulo siendo A≠( 0 ) y B≠( 0 ) (a diferencia del producto con escalares donde a⋅b= 0 si y sólo si alguno de los factores es cero). De la misma manera, siendo A≠( 0 ) la igualdad matricial A⋅B=A⋅C no implica B=C (mientras que con escalares, si a⋅b = a⋅c y a≠ 0 ⇒ b=c). h) Elemento Neutro, la matriz identidad correspondiente, si A es m x n, entonces:

A ∙ 𝐼𝑛 = A

A ∙ 𝐼𝑚 = A

Siendo; 𝐼𝑛 y 𝐼𝑚 matrices identidad. 1.3.5. Potencia de Matrices Cuadradas: Las potencias de matrices cuadradas son un caso particular del producto de matrices. Se llama potencia k-ésima (k∈ℤ

) de una matriz cuadrada A, a la matriz que se obtiene multiplicando A k- veces por sí misma. Ak^ =A ∙ A ∙ A ∙. kveces^ .....A Como el producto de matrices, tiene características especiales, se observa fácilmente que esta operación no puede realizarse con matrices rectangulares. Se conviene en que: A-k^ = (A-^1 )k^ para todo k que pertenece a ℕ A 0 = 𝐼 0 A partir de la definición de potencia tenemos: a) Matriz periódica de período n es aquella matriz que verifica An^ = A siendo n el menor entero positivo que cumple la igualdad. Para n = 2, A^2 = A se dice que A es idempotente.

iv) (𝐴 ∙ 𝐵) 𝑡 = 𝐵 𝑡 ∙ 𝐴 𝑡 v) Si A es simétrica => A = 𝐴 𝑡 , esto es; una matriz cuadrada se dice que es simétrica si coincide con su traspuesta, lo cual sólo se puede cumplir si los elementos dispuestos simétricamente a ambos lados de la diagonal son iguales. Es decir: vi) Una matriz cuadrada A se dice que es antisimétrica si coincide con la opuesta de su traspuesta, lo cual sólo puede ocurrir si los elementos dispuestos simétricamente a ambos lados de la diagonal son opuestos y los elementos de la diagonal principal son nulos; es decir, A es antisimétrica, si y solo si - A = 𝐴 𝑡 Es decir:

𝑡

= A

𝑡

=-A

Una matriz cuadrada y no singular se dice Ortogonal si su traspuesta coincide con su inversa, es decir, si 𝐴 𝑡 = 𝐴 − 1 , siendo A ortogonal si 𝐴 𝑡 ∙ 𝐴 = 𝐴 ∙ 𝐴 𝑡 = 𝐼𝑛.

𝑡

𝑡

1.3.6. Inversa de una Matriz:

Recordemos, en primer lugar, que no siempre es posible efectuar la multiplicación de dos matrices, y en segundo lugar, que aunque sea posible hacer esta multiplicación, en general no es conmutativo, es decir A·B es distinto de B·A. En el caso particular de que tratemos con matrices cuadradas del mismo orden A y B, es claro que podemos efectuar los productos A·B y B·A, que darán como resultado otra matriz del mismo orden, aunque, como ya se ha dicho, las matrices resultantes serán, en general, distintas. Sabemos también que el elemento neutro del producto de matrices es la matriz identidad 𝐼𝑛. Por analogía con el caso de los números reales, podemos plantearnos la siguiente cuestión: Si tenemos un número real, por ejemplo el 2 , podemos interesarnos en buscar el inverso del 2 para el producto, es decir un número real x tal que 2 ·x = 1 , el producto de 2 por x sea igual al elemento neutro, el 1. Evidentemente, en el caso de los números reales es bien fácil despejar x para obtener, en nuestro caso, que x = 1 2 , es decir, el inverso de un número real es otro número que multiplicado por el da el elemento neutro, el 1. Todo número real, salvo el 0 , tiene inverso. Trasladando esto a las matrices, nos podemos plantear si dada una matriz cuadrada A de orden n, cualquiera, existe su inversa X para el producto de matrices, tal que: A ∙ X = 𝐼𝑛 Es decir, el producto de A por su inversa produce el elemento neutro matricial, la matriz identidad 𝐼𝑛.

− 1

x + 2z = 1 y + 2t = 0

• x + z = 0
  • y + t = 1 El método plantea, que se debe plantear las 4 ecuaciones y resolver el sistema, por los métodos tradicionales.

Resolviendo este sistema, tenemos:

x = 1 3 ; y = - 2 3 ; z = 1 3

1 3 Por lo que la inversa de la matriz es: 𝐴 − 1 =

Se puede comprobar que también se cumple que 𝐴

− 1

∙ 𝐴 = 𝐼 2 , luego A es invertible, tiene inversa. Si el

sistema no tiene solución, la matriz no tiene inversa.

Ahora, si tenemos la matriz siguiente; B =

, realizamos todo el calculo de la misma manera que en la anterior matriz, teniendo: 𝐴 ∙ 𝐴 − 1 = 𝐼 2 ⇒

Se obtiene: x + y = 1 ; y + t = 0 ; 2 x + 2 z = 0 ; 2 y + 2 t = 1 Y por ejemplo de 2 x+ 2 z= 0 se obtiene x = - z, si se sustituye en la primera ecuación es - z+z= 1 , es decir 0 = 1 (imposible). El sistema no tiene solución. Por tanto A no es invertible y es singular. Este método directo sólo se suele utilizar para matrices cuadradas de tamaño 2 , puesto que para las de tamaño 3 obtenemos un sistemas de ¡ 9 ecuaciones con 9 incógnitas! que realmente es difícil de resolver.