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´Algebra Lineal y Estructuras Matem´aticas 31
TEMA 5
Espacios Vectoriales y Aplicaciones Lineales
Espacios Vectoriales. Bases
Como siempre k es un cuerpo. Un conjunto no vac´ıo V es un k–espacio vectorial si satisface las siguientes
propiedades:
- Existe una operaci´on + en V tal que (V ; +) es un grupo abeliano, es decir, la operaci´on
es asociativa: (u + v) + w = u + (v + w) para cualesquiera u; v; w ∈ V ,
es conmutativa: u + v = v + u para cualesquiera u; v ∈ V ,
tiene elemento neutro: existe 0 ∈ V tal que 0 + v = v + 0 = v para cualquier v ∈ V ,
tiene elemento opuesto: para cualquier v ∈ V , existe − v ∈ V tal que v + ( − v) = ( − v) + v = 0.
- Existe una acci´on de k sobre V denotada por yuxtaposici´on tal que
a(u + v) = au + av para cualquier a ∈ k y cualesquiera u; v ∈ V ,
(a + b)u = au + bu para cualesquiera a; b ∈ k y cualquier u ∈ V ,
a(bu) = (ab)u para cualesquiera a; b ∈ k y cualquier u ∈ V ,
1 u = u para cualquier u ∈ V.
Ya conocemos muchos ejemplos:
M m × n(k),
k n ,
k[x],
k[x]m = { p(x) ∈ k[x] | deg(p) ≤ m } ,
el conjunto de las funciones reales definidas en un intervalo fijo sobre R,
soluciones de un sistema de ecuaciones lineales homog´eneo.
Proposici´on 1. Sea V un k –espacio vectorial. Para cualesquiera a; b ∈ k y u; v ∈ V se tiene que:
0 u = 0 ,
a0 = 0 ,
si au = 0 entonces a = 0 o u = 0 ,
− (au) = ( − a)u = a( − u) ,
a(u − v) = au − av ,
(a − b)u = au − bu_._
32 Tema 5
Definici´on 2. Sean { v 1 ; : : : ; vn } ⊆ V. Una combinaci´on lineal de { v 1 ; : : : ; vn } es un vector de la forma
a 1 v 1 + · · · + anvn =
n ∑
i=
aivi
donde a 1 ; : : : ; an ∈ k.
Un conjunto de vectores { v 1 ; : : : ; vn } se dice linealmente dependiente si el vector 0 se puede escribir como una
combinaci´on lineal de { v 1 ; : : : ; vn } en la que no todos los escalares son cero, es decir,
∃ a 1 ; : : : ; an ∈ k ∃ i 0 ∈ { 1 ; : : : ; n } | ai 0
= 0 y a 1 v 1 + · · · + anvn = 0:
Un conjunto de vectores { v 1 ; : : : ; vn } se dice linealmente independiente si no es linealmente dependiente, es
decir,
a 1 v 1 + · · · + anvn = 0 = ⇒ a 1 = · · · = an = 0:
Proposici´on 3. Si 0 ∈ { v 1 ; : : : ; vn } entonces { v 1 ; : : : ; vn } es linealmente dependiente.
{ v } es linealmente independiente si y solo si v 6 = 0_._
Si { v 1 ; : : : ; vn } es linealmente dependiente entonces { v 1 ; : : : ; vn; vn+1; : : : ; vr } es linealmente dependiente.
Si { v 1 ; : : : ; vn; vn+1; : : : ; vr } es linealmente independiente entoces { v 1 ; : : : ; vn } es linealmente independiente.
Proposici´on 4. Un conjunto { v 1 ; : : : ; vn } es linealmente dependiente si y solo si uno de los vectores se puede
escribir como combinaci´on lineal de los dem´as.
Definici´on 5. Se dice que S ⊆ V es un sistema de generadores de V si todo vector de V se puede expresar como
combinaci´on lineal de un subconjunto finito de S.
Proposici´on 6. Si { v 1 ; : : : ; vn } es un sistema de generadores de V y vi es combinaci´on lineal de los dem´as, entonces
{ v 1 ; : : : ; vi − 1 ; vi+1; : : : ; vn } es un conjunto de generadores de V_._
Lema 7. Si { v 1 ; : : : ; vm } es linealmente independiente y { u 1 ; : : : ; us } es un sistema de generadores entonces m ≤ s_._
Definici´on 8. Una base de un espacio vectorial V es un subconjunto B ⊆ V tal que
B es linealmente independiente,
B es sistema de generadores.
Teorema 9 (Teorema de la base). Si un espacio vectorial V tiene una base formada por un n´umero finito de vectores
entonces todas las bases de V son finitas y tienen el mismo n´umero de vectores.
Definici´on 10. Si V tiene una base finita definimos la dimensi´on de V como
dim(V ) = dimk(V ) = | B |
donde B es una base cualquiera de V.
Teorema 11. En un espacio vectorial, de cada sistema de generadores finito puede extraerse una base.
Teorema 12. Sea V un espacio vectorial de dimensi´on n y sea { v 1 ; : : : ; vm } un conjunto linealmente independiente.
Existen vectores { vm+1; : : : ; vn } tales que { v 1 ; : : : ; vm; vm+1; : : : ; vn } es una base de V_._
Corolario 13. Sea V un espacio vectorial de dimensi´on n y sea { v 1 ; : : : ; vn } ⊆ V_. Son equivalentes:_
(1) { v 1 ; : : : ; vn } es linealmente independiente,
(2) { v 1 ; : : : ; vn } es sistema de generadores de V ,
(3) { v 1 ; : : : ; vn } es una base de V_._
Proposici´on 14. Sea B = { e 1 ; : : : ; en } una base de un k –espacio vectorial V_. Entonces todo vector se escribe de_
forma ´unica como combinaci´on lineal de los vectores de B_._
34 Tema 5
Sea V un subespacio vectorial de dimensi´on n y sea B una base de V. Sea U = 〈 u 1 ; : : : ; ur 〉 un subespacio
vectorial de V. Las coordenadas de los vectores { u 1 ; : : : ; ur } en B las denotamos por
(ui)B = (c 1 i; c 2 i; : : : ; cni) 1 ≤ i ≤ r:
Por tanto, si x ∈ U tenemos que x = λ 1 u 1 + λ 2 u 2 + · · · + λr ur y si sus coordenadas en B son xB = (x 1 ; x 2 ; : : : ; xn)
´estas deben verificar (^)
x 1
x 2
. . .
xn
c 11
c 21
. . .
cn 1
λ 1 +
c 12
c 22
. . .
cn 2
λ 2 + · · · +
c 1 r
c 2 r
. . .
cnr
λr ;
o equivalentemente
x 1 = c 11 λ 1 + c 12 λ 2 + · · · + c 1 r λr
x 2 = c 21 λ 1 + c 22 λ 2 + · · · + c 2 r λr
xn = cn 1 λ 1 + cn 2 λ 2 + · · · + cnr λr :
Las ecuaciones (9) reciben el nombre de ecuaciones impl´ıcitas o param´etricas de U. Estas ecuaciones permiten
producir todos vectores de U a partir de todos los posibles valores asignables a los par´ametros. Es inmediato
calcular unas ecuaciones param´etricas a partir de un sistema de generadores de U y viceversa.
Por otra parte las ecuaciones (9) pueden verse como las soluciones de un sistema de ecuaciones homog´eneo.
Decimos que un sistema de ecuaciones homog´eneo forma unas ecuaciones expl´ıcitas o cartesianas de U si su
conjunto de soluciones constituyen unas ecuaciones param´etricas de U.
Sean
a 11 x 1 + a 12 x 2 + · · · + a 1 nxn = 0
a 21 x 1 + a 22 x 2 + · · · + a 2 nxn = 0
am 1 x 1 + am 2 x 2 + · · · + amnxn = 0
unas ecuaciones cartesianas de U.
¿C´omo podemos calcular unas ecuaciones param´etricas (9) de U a partir de unas ecuaciones cartesianas (10) de
U? Este paso es sencillo, resolviendo el sistema dado por (10). De esta forma podemos construir un sistema de
generadores y una base de U.
¿C´omo podemos calcular unas ecuaciones cartesianas (10) de U a partir de unas ecuaciones param´etricas (9) de
U? Consideremos las variables de (9) como par´ametros y viceversa, es decir, consideremos el sistema de ecuaciones
lineales
c 11 λ 1 + c 12 λ 2 + · · · + c 1 r λr = x 1
c 21 λ 1 + c 22 λ 2 + · · · + c 2 r λr = x 2
cn 1 λ 1 + cn 2 λ 2 + · · · + cnr λr = xn
o en forma matricial
C Λ = X :
Los elementos de U son aquellos para los cuales el sistema de ecuaciones (11) tiene soluci´on, es decir, aquellos
para los cuales rango(C ) = rango(C | X ). Por tanto, si calculamos transformaciones sobre las filas para calcular el
rango tenemos:
c 11 c 12 · · · c 1 r x 1
c 21 c 22 · · · c 2 r x 2
. . .
cn 1 cn 2 · · · cnr xn
∼ f
H ∗
a 11 x 1 + a 12 x 2 + · · · + a 1 nxn
a 21 x 1 + a 22 x 2 + · · · + a 2 nxn
am 1 x 1 + am 2 x 2 + · · · + amnxn
´Algebra Lineal y Estructuras Matem´aticas 35
donde H es la forma de Hermite de C (o cualquier matriz escalonada equivalente a C ). Unas ecuaciones cartesianas
de U vienen dadas al hacer cero las ´ultimas filas por debajo de H, es decir,
a 11 x 1 + a 12 x 2 + · · · + a 1 nxn = 0
a 21 x 1 + a 22 x 2 + · · · + a 2 nxn = 0
am 1 x 1 + am 2 x 2 + · · · + amnxn = 0
Proposici´on 21. Sea V un k –espacio vectorial de dimensi´on n y sea U un subespacio vectorial de V_. Sean_ AX = 0
y X = C Λ ecuaciones cartesianas y param´etricas respectivamente de U_. Entonces:_
dim U + rango(A) = n ,
dim U = rango(C ).
Proposici´on 22. Sean U y W dos subespacios vectoriales de un k –espacio vectorial V_._
U ∩ W es un subespacio vectorial de V , el mayor subespacio vectorial contenido en U y W_._
El conjunto U + W = { u + w | u ∈ U; w ∈ W } es un subespacio vectorial de V , el menor subespacio
vectorial que contiene tanto a U como a W_. Se llama la suma de_ U y W_._
Proposici´on 23. Si U = 〈 S 〉 y W = 〈 T 〉 entonces U + W = 〈 S ∪ T 〉.
Proposici´on 24. Sea V un k –espacio vectorial de dimensi´on n y sean U y W subespacios vectoriales. Sean
a 11 x 1 + · · · + a 1 nxn = 0
am 1 x 1 + · · · + amnxn = 0
y
b 11 x 1 + · · · + b 1 nxn = 0
bp 1 x 1 + · · · + bpnxn = 0
ecuaciones cartesianas de U y W respectivamente. Entonces unas ecuaciones cartesianas de U ∩ W son
a 11 x 1 + a 12 x 2 + · · · + a 1 nxn = 0
. . .
am 1 x 1 + am 2 x 2 + · · · + amnxn = 0
b 11 x 1 + b 12 x 2 + · · · + b 1 nxn = 0
. . .
bp 1 x 1 + bp 2 x 2 + · · · + bpnxn = 0
Definici´on 25. Sea V un k–espacio vectorial y sean U y W subespacios vectoriales. Decimos que la suma de U
y W es directa si U ∩ W = { 0 }. En este caso la suma se denota U + W = U ⊕ W.
Proposici´on 26. Sea V un k –espacio vectorial de dimensi´on n y sean U y W subespacios vectoriales tales que
U ∩ W = { 0 }. Si B es una base de U y C una base de W entonces B ∪ C es una base de U ⊕ W_._
Proposici´on 27 (F´ormula de las dimensiones). Sea V un k –espacio vectorial de dimensi´on n y sean U y W
subespacios vectoriales. Entonces
dim U + dim W = dim(U ∩ W ) + dim(U + W ):
Aplicaciones lineales
Definici´on 28. Una aplicaci´on f : V → V ′ entre k–espacios vectoriales V y V ′ se dice lineal si
(1) f(u + v) = f(u) + f(v), ∀ u; v ∈ V ,
´Algebra Lineal y Estructuras Matem´aticas 37
Matrices y aplicaciones lineales
Sea f : V → V ′ una aplicaci´on lineal y sean B = { e 1 ; : : : ; en } y B ′ = { e ′ 1 ; : : : ; e ′ m } bases de V y V ′ respectivamente.
Para cada 1 ≤ j ≤ n la imagen del correspondiente vector de B se escribe como combinaci´on lineal de los vectores
de B ′ , es decir,
f(ej ) = a 1 j e
′ 1 +^ a^2 j^ e
′ 2 +^ · · ·^ +^ amj^ e
′ m =
m ∑
i=
aij e
′ j :
Sea MBB ′^ (f) la matriz que tiene por columnas las coordenadas de las im´agenes por f de los vectores de B respecto
de B
′ , es decir,
MBB ′ (f) =
a 11 a 12 : : : a 1 n
a 21 a 22 : : : a 2 n
. . .
am 1 am 2 : : : amn
Lema 39. En la situaci´on anterior, para cualquier vector v ∈ V si las coordenadas
1 de v con respecto a B son
vB = (x 1 ; : : : ; xn) , entonces las coordenadas de f(v) con respecto a B
′ son
f(v)B ′^ = MBB ′^ (f)vB =
a 11 a 12 : : : a 1 n
a 21 a 22 : : : a 2 n
. . .
am 1 am 2 : : : amn
x 1
x 2
. . .
xn
Corolario 40. Para conocer una aplicaci´on lineal basta con conocer las im´agenes de los vectores de una base del
dominio.
Proposici´on 41. Sean f; f 1 ; f 2 : V → V
′ y g : V
′ → V
′′ aplicaciones lineales, λ ∈ k y sean B , B
′ y B
′′ bases de
V , V
′ y V
′′ respectivamente. Entonces:
MBB ′ (f 1 + f 2 ) = MBB ′ (f 1 ) + MBB ′ (f 2 );
MBB ′ (λf) = λMBB ′ (f);
MBB ′′ (g ◦ f) = MB ′ B ′′ (g)MBB ′ (f):
Lema 42. Sean B 1 y B 2 bases de un espacio vectorial V_. Entonces_ MB 1 B 2 = MB 1 B 2 (idV ).
Corolario 43. Sea f : V → V ′ una aplicaci´on lineal y sean B 1 ; B 2 y B ′ 1
; B
′ 2 bases de V y V ′ respectivamente.
Entonces
MB
2 B
′ 2
(f) = MB ′ 1 B
′ 2
MB
1 B
′ 1
(f)MB 2 B 1
Sea f : V → V ′ una aplicaci´on lineal y sean B = { e 1 ; : : : ; en } y B ′ = { e ′ 1 ; : : : ; e ′ m } bases de V y V ′
respectivamente. Sea
MBB ′^ (f) =
a 11 a 12 : : : a 1 n
a 21 a 22 : : : a 2 n
. . .
am 1 am 2 : : : amn
Proposici´on 44. Las columnas de MBB ′^ (f) son las coordenadas en B
′ de un sistema de generadores de im f_. En_
particular dim im f = rango(MBB ′^ (f)).
Proposici´on 45. La matriz MBB ′ (f) es la matriz de coeficientes de unas ecuaciones cartesianas de ker f_. En_
particular dim ker f = n − rango(MBB ′ (f)).
Corolario 46. Sea f : V → V
′ una aplicaci´on lineal. Entonces dim V = dim ker f + dim im f_._
1 Las coordenadas las escribiremos indistintamente como filas o como columnas seg´un nos interese.
38 Tema 5
Diagonalizaci´on
Definici´on 47. Dos matrices M; N ∈ M n(k) se dicen semejantes si existe una matriz regular P ∈ M n(k) tal que
M = PNP
− 1 .
Proposici´on 48. Dos matrices M; N son semejantes si y solo si existen bases B 1 y B 2 en un espacio vectorial V
y una aplicaci´on lineal f : V → V tales que M = MB 1 B 1 (f) y N = MB 2 B 2 (f) , en cuyo caso P = MB 2 B 1
Definici´on 49. Una matriz cuadrada se dice diagonalizable si es semejante a una matriz diagonal.
Diagonalizar una matriz A ∈ M n(k) consiste en comprobar que es diagonalizable y en caso afirmativo encontrar
matrices D; P ∈ M n(k) tales que D es diagonal, P es regular y A = PDP
− 1 .
Vamos a responder a esas preguntas.
Sea f : V → V una aplicaci´on lineal.
Definici´on 50. Decimos que λ ∈ k es un valor propio de f si existe un vector v 6 = 0 tal que f(v) = λv.
Sea
Vλ = ker(f − λ id) = { v ∈ V | f(v) = λv }
Definici´on 51. Dado un valor propio λ ∈ k llamamos a Vλ el subespacio propio asociado al valor propio λ. Los
elementos no nulos de Vλ se llaman vectores propios de valor propio λ.
Sea V un espacio vectorial tal que dim V = n. Sea B una base de V. Sea f : V → V una aplicaci´on lineal y sea
A = MBB(f). En vista de lo anterior, λ es un valor propio para f si y solo si rango(A − λIn) < n, o equivalentemente
Lema 52. λ es un valor propio para f si y solo si det(A − λIn) = 0_._
Proposici´on 53. Los valores propios de f son las ra´ıces del polinomio p(x) = det(A − xIn). Dicho polinomio recibe
el nombre de polinomio caracter´ıstico.
Lema 54. Sean λ 1 ; λ 2 ∈ k valores propios de una aplicaci´on lineal f : V → V_. Entonces_ Vλ 1 ∩ Vλ 2
Teorema 55. Sea A ∈ M n(k) y sea f : k
n → k
n la aplicaci´on lineal asociada a A_. Sean_ λ 1 ; : : : ; λs ∈ k los valores
propios de f_._ A es diagonalizable si y solo si n = dim Vλ 1 + · · · + dim Vλs_. En este caso, si_ Bλ 1 ; : : : ; Bλs son bases
de Vλ 1 ; : : : ; Vλs respectivamente, entonces B = Bλ 1 ∪ · · · ∪ Bλs es una base de V formada por vectores propios y
A = P
λ 1 In 1 0 · · · 0
0 λ 2 In 2
0 0 · · · λsIn s
P
− 1
donde ni = dim Vλi para todo 1 ≤ i ≤ s y P = MBBc_._
