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Unidad 2. Álgebra de matrices
Página 49
REFLEXIONA Y RESUELVE
Elección de presidente
■ Ayudándote de la tabla, estudia detalladamente los resultados de la votación, analiza algunas características de los participantes y opina quién crees que de- bería ser presidente.
De la tabla podemos deducir muchas cosas:
— Al consejero A no le gusta ninguno de sus colegas como presidente.
— B solo tiene un candidato (el C).
— Dos consejeros (C y E) están de acuerdo en los mismos candidatos (B, C y D).
— El consejero F no opta por ninguno de sus compañeros.
— Al candidato E no le prefiere ninguno de los otros consejeros. De hecho, es el úni- co que no se considera idóneo para el cargo.
— Los candidatos B y D han obtenido los mismos resultados.
— Solo A y C se consideran idóneos para el puesto de presidente. — ... Según los resultados, el candidato C es el más idóneo para presidir la empresa (por lo menos eso piensan sus compañeros del consejo).
A B C D E F
A B C D E F
ÁLGEBRA DE MATRICES
Vuelos internacionales
■ Aquí tienes representados, mediante flechas, los vuelos que hay el martes des- de el país B hasta el país C****. Representa, mediante una tabla, la información recogida en el diagrama.
Conexiones de vuelos
■ Supón que una persona quiere salir el lunes de A , pasar la noche en B y lle- gar el martes a C****.
¿Cuántas posibles combinaciones tiene por cada punto de salida y cada punto de llegada? Es decir, ¿de cuántas formas puede ir de A 1 a C 1 , de A 1 a C 2 , de A 2 a C 1 , etc.? Continúa tú, rellenando razonadamente el resto de la tabla y explicando, en cada caso, cómo llegas a la respuesta. C 1 C 2 A 1 5 2 A 2 2 2 A 3 0 2
A
A 1
A 2
A 3
B
B 1
B 2
B 3
B 4
C 1 C 2 B 1 3 2 B 2 1 0 B 3 1 0 B 4 0 2
B C
C 1
C 2
B 1
B 2
B 3
B 4
Unidad 2. Álgebra de matrices
Página 52
1. Sean las matrices:
A = B =
C = D =
Calcula E = 2 A – 3 B + C – 2 D****.
E = – + – =
Página 55
2. Efectúa todos los posibles productos entre las siguientes matrices:
A = B = C = D =
A · C = ; A · D = ; B · A =
C · B = ; D · C = ; D · D =
3. Intenta conseguir una matriz I 3 de dimensión 3 Ò 3 que, multiplicada por cualquier matriz cuadrada A (3 Ò 3), la deje igual. Es decir: A · I 3 = I 3 · A = A La matriz I 3 que verifica la igualdad anterior se llama matriz unidad de orden 3. Una vez que sepas cuál es su fisonomía, sabrás obtener la matriz unidad de cualquier orden.
I 3 =
)
( 0 0 1
)
) (–4 4 17
) ( 28 38 –1 10
(–9 –
)
( )
) ( 0 30 5
( 24 –4 –1 –
)
) ( 2 3 –
)^ ( –2 –5 1 0
(
)
( –2 5 1
)
) ( 16 –15 –
) ( 12 4 8
) ( 8 –10 0
) (–12 3 9
( 8 2 –
)
) ( 6 2 4
( 8 –10 0
)
) ( – 4 1 3
( 4 1 –
Unidad 2. Álgebra de matrices
Página 56
1. Comprueba las propiedades 2 y 3 del producto de números por matrices, to- mando:
a = 3, b = 6 A = B =
PROPIEDAD 2
9 A =
3 A + 6 A = + =
9 A = 3 A + 6 A
PROPIEDAD 3
3( A + B ) = 3 =
3 A + 3 B = + =
3( A + B ) = 3 A + 3 B
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2. Comprueba las propiedades distributivas para las siguientes matrices:
A = B = C = D =
A · ( B + C ) = A · =
A · B + A · C = + =
A · ( B + C ) = A · B + A · C
( B + C ) · D = · D =
B · D + C · D = + =
( B + C ) · D = B · D + C · D
)
) (–
) (–
(–
)
) (–
( 3 –1 14 3
)
) ( 21 0 96 25
) ( 4 –5 36 30
( 17 5 60 –
)
( 21 0 96 25 )
( 3 –1 14 3
)
(
)
) ( 0 –1 5 5
) (^3 0 9 –
( 1 6
)
) ( 18 9 24
) ( 12 18 24
( 6 –9 0
)
) ( 18 9 24
( 6 3 8
)
) ( 18 –27 0
) ( 12 –18 0
( 6 –9 0
)
( 18 –27 0
)
) ( 4 6 8
( 2 –3 0
Unidad 2. Álgebra de matrices
UNIDAD 2
b)
Así,
c)
Así,
Página 61
3. Calcula x , y , z , t para que se cumpla:
2 x – z = 5 x =
2 y – t = 1 y = (^) Solución: =
z = 0 z = 0 t = 2 t = 2
)
) ( 0 2
x y ( z t
)
) ( 0 2
2 x – z 2 y – t ) ( z t
x y )( z t
( 0 1
)
) ( 0 2
x y ) ( z t
( 0 1
)
) ( 2/5 –1/5 –1/
( 2 0 0
)
|
( 0 0 1
(1.ª) – (2.a) (2.ª) ) (3.ª)
|
( 0 0 1
(1.ª) – 3 · (3.a) –(1/5) · (2.ª) ) (3.ª)
|
( 0 0 1
(1.ª) –5 · (2.ª) + (3.a) ) –(1/10) · (3.ª)
|
( 0 0 –
(1.ª) (2.ª) ) (3.ª) + 2 · (2.ª)
|
( 0 –2 –
(1.ª) (2.ª) – (1.a) ) (3.ª) – 2 · (1.ª)
|
( 2 0 0
)
) (–1 0 1
( 1 2 4
)
|
( 0 0 1
(1.ª) – 2 · (2. a) (2.ª) ) (3.ª)
|
( 0 0 1
(1.ª) – 3 · (3.a) (2.ª) – 2 · (3. a) ) (3.ª)
|
( 0 0 1
(1.ª) (2.ª) ) (3.ª) – (1.ª)
|
( 1 2 4
Unidad 2. Álgebra de matrices
UNIDAD 2
4. Para las matrices A = , B = , C = , comprueba:
a) A · ( B + C ) = ( A · B ) + ( A · C ) b) ( A + B ) · C = ( A · C ) + ( B · C ) c) A · ( B · C ) = ( A · B ) · C
a) A · ( B + C ) = A · =
A · B + A · C = + =
b) ( A + B ) · C = · C =
A · C + B · C = + =
c) A · ( B · C ) = A · =
( A · B ) · C = · C =
5. Sean A = y B =. Encuentra X que cumpla: 3 · X – 2 · A = 5 · B
3 X = 5 B + 2 A = + = 8 X =
6. Encuentra dos matrices, A y B , de dimensión 2 Ò 2 que cumplan:
2 A + B = A – B =
2 A + B =
A – B =
B = A – = – =
Solución: A = , B = (^1 0) ) ) ( 0 0
( 1 0
)
) ( 0 0
) ( 1 0
) ( 1 0
( 1 0
)
( 1 0
)
( 2 0
)
) ( 1 0
( 2 0
)
) ( 5 –17/
) ( 15 –
) ( 10 –
( 5 –
)
) ( 1 –
( 5 –
)
) ( 107 3
( 26 3
)
) ( 107 3
( 15 –
)
) ( 30 6
) ( 15 –
( 15 7
)
) ( 30 6
( 6 6
)
) (41 10
) ( 15 7
( 26 3
)
) ( 41 10
( 5 0
)
) ( 1 1
) ( 4 –
( 2 7
Unidad 2. Álgebra de matrices
A · ( B + C ) = A · B + A · C
( A + B ) · C = A · C + B · C
A · ( B · C ) = ( A · B ) · C
Sumando: 3 A = 8 A = (^0 2) ) ) ( 1 0
( (^3 )
9. Efectúa las siguientes operaciones con las matrices dadas:
A = B = C =
a) ( A · B ) + ( A · C ) b) ( A – B ) · C c) A · B · C
a) A · B + A · C = + =
b) ( A – B ) · C = · =
c) A · B · C = · =
10. Dada la matriz A = , comprueba que ( A – I )^2 = 0.
( A – I ) 2 = · =
11. Halla la inversa de estas matrices:
a) b) c) d)
a) = 8 =
Por tanto, la inversa es.
b) = 8 =
Por tanto, la inversa es –5^ –2). (–8 –
y = – t = –
3 y – 2 t = 0 –8 y + 5 t = 1
x = – z = –
3 x – 2 z = 1 –8 x + 5 z = 0
)
) ( 0 1
3 x – 2 z 3 y – 2 t ) ( –8 x + 5 z –8 y + 5 t
) ( 0 1
x y )( z t
(–8 5
)
(–2 7
y = – t = 7
7 y + 3 t = 0 2 y + t = 1
x = 1 z = –
7 x + 3 z = 1 2 x + z = 0
)
) ( 0 1
7 x + 3 z 7 y + 3 t ) ( 2 x + z 2 y + t
) ( 0 1
x y )( z t
( 2 1
)
) ( 0 1 1
( 0 0 1 )
) ( –8 5
( 2 1
)
) ( 0 0
) ( 0 0
( 0 0
)
( 0 1
)
) ( 9 –
) ( 3 2
( 9 0
)
) ( 6 9
) ( 3 2
(–3 3
)
) ( 18 6
) ( 9 6
( 9 0
)
) ( 3 2
) ( 3 0
( 0 3
Unidad 2. Álgebra de matrices
c) = 8 =
a = 1, b = 0, c = 0, 2 d = 0, 2 e = 1, 2 f = 0, g = 0, h = 0, i = 1
Por tanto, la inversa es.
d) = 8
Por tanto, la inversa es.
Página 62
1. Considera 8 u(7, 4, –2), 8 v(5, 0, 6), 8
w(4, 6, –3), a = 8, b = –5, elementos de Á^3
y de Á.
Comprueba las ocho propiedades que se enumeran arriba.
- Asociativa : ( 8 u + 8 v ) + 8 w = 8 u + ( 8 v + 8 w) ( 8 u + 8 v ) + 8 w = (12, 4, 4) + 8 w = (16, 10, 1) 8 u + ( 8 v + 8 w) = 8 u + (9, 6, 3) = (16, 10, 1)
- Conmutativa : 8 u + 8 v = 8 v + 8 u 8 u + 8 v = (12, 4, 4) = 8 v + 8 u
- Vector nulo : 8 v +
8 0 = 8 v 8 v +
8 0 = (5, 0, 6) + (0, 0, 0) = (5, 0, 6) = 8 v
- Vector opuesto : 8 v + (– 8 v) =
8 0 8 v + (– 8 v) = (5, 0, 6) + (–5, 0, –6) = (0, 0, 0)
)
( 0 1 –
c = – f = 2 g = –
c + 2 f + 3 i = 0 f + 2 i = 0 f + i = 1
b = – e = – h = 1
b + 2 e + 3 h = 0 e + 2 h = 1 e + h = 0
a = 1 d = 0 g = 0
a + 2 d + 3 g = 1 d + 2 g = 0 d + g = 0
)
) ( 0 0 1
a + 2 d + 3 g b + 2 e + 3 h c + 2 f + 3 i d + 2 g e + 2 h f + 2 i ( d + g e + h f + i
)
) ( 0 0 1
a b c d e f )( g h i
( 0 1 1
)
( 0 0 1
)
) ( 0 0 1
a b c 2 d 2 e 2 f ) ( g h i
) ( 0 0 1
a b c d e f )( g h i
( 0 0 1
Unidad 2. Álgebra de matrices
UNIDAD 2
Esta igualdad da lugar al sistema:
Este sistema tiene como solución única x = 0, y = 0, z = 0, w = 0. Por tanto, los vectores son linealmente independientes.
Aplicamos la propiedad fundamental:
x (2, –4, 7) + y (1, 0, 2) + z (0, 1, 2) = (0, 0, 0)
Operando, llegamos a:
(2 x + y , –4 x + z , 7 x + 2 y + 2 z ) = (0, 0, 0)
Esta igualdad da lugar al sistema:
Este sistema tiene como solución única x = 0, y = 0, z = 0. Por tanto, los vectores son linealmente independientes.
Explica por qué si en un conjunto de vectores está el vector cero, entonces son L.D.
- Aplicamos la propiedad fundamental:
x (1, 0, 0) + y (1, 1, 0) + z (0, 0, 0) = (0, 0, 0)
Si hacemos x = 0, y = 0, z puede tomar cualquier valor, por tanto, los vectores son linealmente dependientes.
- Si en un conjunto de vectores 8 u 1 , 8 u 2 , …, 8 u n está el vector cero, podemos conse- guir una combinación lineal de ellos:
x 1 8 u 1 + x 2 8 u 2 + … + xn – 1 8 u n – 1 + xn
8 0 = (0, 0, 0, …, 0)
en la que x 1 = x 2 = … = x n – 1 = 0 y xn? 0. Como no todos los coeficientes son nulos, los vectores son linealmente dependientes.
2 x + y = 0 –4 x + z = 0 7 x + 2 y + 2 z = 0
3 x + 2 y = 0
- y = 0 x + 5 y + z = 0 z + w = 0
Unidad 2. Álgebra de matrices
UNIDAD 2
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1. Calcula el rango de las siguientes matrices:
A = B =
C = D =
A = 8 ran ( A ) = 3
B = 8 ran ( B ) = 2
C =
8 ran ( C ) = 2
D =
8 ran ( D ) = 3 )
(
(1.ª) (2.ª) (3.ª) (4.ª) + (3. a) )
(
(1.ª) (2.ª) –2 · (3.ª) + (2.ª) (4.ª) – 4 · (2.a) )
(
(1.ª) (2.ª) (3.ª) + (1.ª) (4.ª) )
(
)
( 0 0 0 0
(1.ª) (2.ª) ) (3.ª) – 5 · (2.ª)
( 0 5 5 5
(1.ª) (2.ª) + (1. a) ) (3.ª) – 2 · (1.ª)
( 2 1 5 –
)
( 0 0 0
(1.ª) (2.ª) ) (3.ª) + (2.ª)
( 0 7 –
(1.ª) (2.ª) – 2 · (1.a) ) (3.ª) – (1.ª)
( 1 10 –
)
(0 –20 0
(1.ª) (2.ª) ) (3.ª) – 2 · (2.ª)
(0 –6 2
(1.ª) (2.ª) + (1. a) ) (3.ª) – 2 · (1.ª)
( 2 2 0
)
) (
( 2 1 5 –
)
) ( 1 10 – 8
( 2 2 0
Unidad 2. Álgebra de matrices
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EJERCICIOS Y PROBLEMAS PROPUESTOS
Operaciones con matrices
1 Dadas las matrices A = y B = , calcula:
a) –2 A + 3 B b) A · B c) B · (– A ) d) A · A – B · B
a) b) c) d) – =
2 Efectúa el producto (–3 2).
3 a) ¿Son iguales las matrices A = y B = (2 3)?
b) Halla, si es posible, las matrices AB ; BA ; A + B ; At^ – B****.
a) No, A tiene dimensión 2 Ò 1 y B tiene dimensión 1 Ò 2. Para que dos matri- ces sean iguales, deben tener la misma dimensión y coincidir término a término.
b) A · B = ; B · A = (1 3); A + B no se puede hacer, pues no tienen la mis-
ma dimensión. A t^ – B = (2 3) – (2 3) = (0 0)
4 Dadas las matrices A = y B = comprueba que:
a) ( A + B ) t^ = At^ + B t b) (3 A ) t^ = 3 At
a) ( A + B ) t^ =
t
A t^ + B t^ = + = )
) ( 0 1
) (–1 0
( 1 1
)
( 0 1 )
( 1 1 1
)
) ( –2 1 0
( 3 0 1
)
( 6 9
)
( 3
)
( 1
)
)( 1
( 5 2
)
) ( 22 –
) ( 2 4
) ( 24 –
) ( 8 –
) (–11/2 1
(–12 4
)
) ( –2 2
( 3 1
PARA PRACTICAR
Unidad 2. Álgebra de matrices
( A + B ) t^ = A t^ + B t
b) (3 A ) t^ =
t
3 A t^ = 3 =
5 Calcula 3 AA t^ – 2 I , siendo A =.
3 A A t^ – 2 I = 3 – = 3 – =
6 Dadas las matrices A = y B = , comprueba que ( A · B ) t^ = B t^ · A t.
A · B = 8 ( A · B ) t^ =
B t^ · A t^ = · =
7 Calcula, en cada caso, la matriz B que verifica la igualdad:
a) + B = b) 2 – 3 B =
a) B = – =
b) 2 – 3 B = 8 3 B = 2 – =
B =
8 Comprueba que la matriz A = verifica ( A + I )^2 = 6 I****.
A = 8 A + I = + =
( A + I )^2 = · = = 6 I
Luego ( A + I )^2 = 6 I
)
) ( 0 6
) ( 3 0
( 3 0
)
) ( 3 0
) ( 0 1
) ( 3 –
( 3 –
)
( 3 –
)
(–2 –
)
) (–6 –
) ( 0 –
) (–3 –
) ( 0 –
(–3 –
)
) (–1 2 –
) ( 1 0 3
( 0 2 2
)
) ( 0 –
) ( –3 –
) ( 0 2 2
( 1 0 3
)
) ( 5 1
) (–1 –
( 2 1
)
) ( 5 1
(–2 1
)
) ( 0 1
( 2 –
)
) ( 51 85
) ( 0 2
( 51 87
)
) ( 0 2
) ( 17 29
) ( 0 2
)( 1 2
( 5 2
)
( 5 2
)
) ( 3 3
( 1 1
)
( 3 3 )
( 9 0 3
Unidad 2. Álgebra de matrices
UNIDAD 2
(3 A ) t^ = 3 A t
( A · B ) t^ = B t^ · A t
°
X = A · B + B^2
A · B =
B^2 =
s12 Determina los valores de m para los cuales X = verifique:
X^2 – X + I = 0
X^2 – X + I = – + =
Tiene que cumplirse que:
m^2 – m + 1 = 0 8 2 m^2 – 5 m + 2 = 0 8
8 m = =
Hay dos soluciones: m 1 = 2; m 2 =
s13 Resuelve:
=
Sumando:
4 x = –5 8 x = 8 y = –3 – x = –3 + =
Solución: x = ; y = – 4
x + y = – 3 x – y = –
x – y = 3 + 2 x 3 x + 2 y = 3 y – 2
)
3 + 2 x ) ( 3 y – 2
x – y ) ( 3 x + 2 y
)( 2
1 x ) ( y –
x )( y
( 3 2
)
)( 2
1 x ) ( y –
x )( y
( 3 2
m = 2 1 m = — 2
5 ±^ √25 – 16
)
) ( 0 0
m^2 – (5/2) m + 1 0 ) ( 0 0
) ( 0 1
m 0 ( 0 2
) 2
m^2 ( 0 4
)
) ( 0 1
m 0 ( 0 2
) 2
m 0 )( 0 2
m 0 ( 0 2
)
m 0 ( 0 2
)
( 0 0 1
)
( 0 0 2
Unidad 2. Álgebra de matrices
UNIDAD 2
X =
)
( (^0 0 )
°
s14 Halla dos matrices A y B tales que:
2 A + 3 B =
– A + 5 B =
2 A + 3 B =
–2 A + 10 B = Multiplicamos por 2 la 2.a^ ecuación.
13 B = Sumamos miembro a miembro.
B = Multiplicamos por.
Despejamos A en la 2.a^ ecuación:
A = 5 B – = – =
Solución : A = , B =
15 Dadas las matrices:
M = y N =
halla dos matrices X e Y que verifiquen:
X – 2 M = 3 N ; M + N – Y = I
X = 3 N + 2 M = 3 + 2 = + =
Y = M + N – I = + – = (^1 5) ) ) ( 2 2
) ( 0 1
) ( 3 0
(–1 3
)
) ( 7 6
) (–2 6
) ( 9 0
) (–1 3
( 3 0
)
) ( 3 0
( –1 3
)
) ( 2 1 3
( 1 0 2
)
) ( 1 0 2
) ( 9 5 13
) ( 10 5 15
( 9 5 13
)^13
( 2 1 3
)
( 26 13 39
)
( 18 10 26
)
( 8 3 13
)
( 9 5 13
)
( 8 3 13
Unidad 2. Álgebra de matrices
