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Unidad didáctica 6. Matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones lineales Autoras: Gloria Jarne, Esperanza Minguillón, Trinidad Zabal
EJERCICIOS RESUELTOS DE MATRICES
1. Dadas las matrices A = ⎝⎛^ ⎠⎞
3 2 ,^ B^ =^ ⎝
4 -2 y^ C^ =^ ⎝
2 -1 1 , calcular si es posible:
a) A + B b) AC c) CB y CtB d) (2 A + B ) C
Solución
a) A + B = ⎝⎛^ ⎠⎞
3 2 +^ ⎝
4 -2 =^ ⎝
3+4 2+(-2) =^ ⎝
b) AC = ⎝⎛^ ⎠⎞
2 -1 1 =^ ⎝
3.1+2.2 3.3+2(-1) 3.5+2.1 =^ ⎝
c) El producto CB no se puede efectuar porque el número de columnas de C y el número de filas de
B no coinciden.
En cambio, el producto C tB si que se puede realizar porque el número de columnas de C t^ y el
número de filas de B es el mismo.
En primer lugar se calcula la matriz traspuesta de C intercambiando sus filas y sus columnas,
C t^ = ⎝⎛^ ⎠⎞
t
Así, C tB =
d) Para calcular (2 A + B ) C se realiza en primer lugar la operación del paréntesis:
2 A + B = ⎝⎛^ ⎠⎞
2.3 2.2 +^ ⎝
4 -2 =^ ⎝
6 4 +^ ⎝
4 -2 =^ ⎝
6+4 4+(-2) =^ ⎝
Así, (2 A + B ) C = ⎝⎛^ ⎠⎞
2 -1 1 =^ ⎝
= ⎝⎛^ ⎠⎞
2. Dadas las matrices A = ⎝⎛^ ⎠⎞
3 2 ,^ B^ =^ ⎝
4 -2 y^ C^ =^ ⎝
2 -1 1 , calcular si es posible:
a) ABC b) C t ⎝⎛^ ⎠⎞
2 B - A^ c)^ A
(^2) , B (^2) y C 2
Solución
a) Para calcular ABC , se calcula primero el producto AB y el resultado se multiplica a la derecha por
la matriz C.
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AB = ⎝⎛^ ⎠⎞
4 -2 =^ ⎝
3.0+2.4 3.1+2(-2) =^ ⎝
Así, ( AB ) C = ⎝⎛^ ⎠⎞
= ⎝⎛^ ⎠⎞
= ⎝⎛^ ⎠⎞
Por la propiedad asociativa del producto de matrices, el resultado sería el mismo si primero se
calculase BC y el resultado se multiplicara a la izquierda por A.
b) En primer lugar se calcula la matriz traspuesta de C intercambiando sus filas y sus columnas,
C t^ = ⎝⎛^ ⎠⎞
t
A continuación se calcula
2 B - A ,
2 B - A^ =
2.^
2.^
Así, C t ⎝⎛^ ⎠⎞
2 B - A^ = ⎝⎜
c) A^2 = AA = ⎝⎛^ ⎠⎞
3 2 =^ ⎝
3.2+2.3 3(-1)+2.2 =^ ⎝
B^2 = BB = ⎝⎛^ ⎠⎞
4 -2 =^ ⎝
4.0+(-2)4 4.1+(-2)(-2) =^ ⎝
No se puede calcular C^2 = CC , ya que C no es una matriz cuadrada.
3. Dadas las matrices A =
y B =
, se pide:
a) Calcular AB y BA , ¿coinciden los resultados?.
b) Calcular ( A + B ) 2 y A^2 + 2 AB + B^2 , ¿coinciden los resultados?.
c) Calcular A^2 - B^2 y ( A + B )( A – B ), ¿coinciden los resultados?.
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Por tanto, A^2 + 2 AB + B^2 =
En conclusión, ( A + B ) 2 ≠ A^2 + 2 AB + B^2.
La igualdad que en realidad se cumple es ( A + B ) 2 = ( A + B )( A + B ) = A^2 + AB + BA + B^2 , y sólo
en aquellos casos en los que se verifique que AB = BA , se cumplirá que ( A + B ) 2 = A^2 + 2 AB + B^2.
c) En el apartado b) se han calculado A^2 y B^2 , por tanto,
A^2 - B^2 =
Para calcular ( A + B )( A - B ), se ha de calcular cada uno de los factores, el primero se ha calculado
en el apartado b) y el segundo es,
A - B =
Por tanto, ( A + B )( A – B ) =
En conclusión, A^2 - B^2 ≠ ( A + B ) ( A – B ).
La igualdad que en realidad se cumple es ( A + B ) ( A – B ) = A^2 - AB + BA - B^2 , y al ser AB ≠ BA ,
como se ha comprobado en el apartado a), no se verifica ( A + B ) ( A – B ) = A^2 - B^2.
4. Mediante operaciones elementales transformar A en una matriz escalonada equivalente y calcular
el rango de A.
a) A =
b) A =
c) A = ⎝⎛^ ⎠⎞
5 3 d)^ A^ =
Solución
No existe un solo conjunto de operaciones elementales con las que escalonar una matriz. Por tanto,
para cada matriz, la matriz escalonada equivalente que se obtiene no es única, aunque todas han
de tener el mismo número de filas nulas ya que el rango de una matriz es único.
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a) A =
F 2 → F 2 -2 F 1 , F 3 → F 3 - F 1
≈
F 3 → F 3 +2 F 2
≈
La matriz escalonada equivalente a A obtenida tiene dos filas no nulas, por tanto, rg A = 2.
b) A =
F 1 ↔ F 2
≈
F 2 → F 2 -3 F 1 , F 3 → F 3 -5 F 1
≈
F 3 → F 3 -2 F 2
≈
La primera operación elemental que se realiza, intercambiar la primera y segunda fila, tiene como objetivo obtener como “elemento pivote” el valor 1, lo que facilitará las posteriores operaciones
elementales.
La matriz escalonada equivalente a A obtenida tiene dos filas no nulas, por tanto, rg A = 2.
c) A = ⎝⎛^ ⎠⎞
F 1 → (1/2) F 1
F 2 → F 2 -5 F 1
La primera operación elemental que se realiza, multiplicar la primera fila por
2 , tiene como objetivo
obtener como “elemento pivote” el valor 1, lo que facilitará las posteriores operaciones elementales.
La matriz escalonada equivalente a A obtenida tiene dos filas no nulas, por tanto, rg A = 2.
Otra manera de escalonar la matriz A es la siguiente:
A = ⎝⎛^ ⎠⎞
F 2 → 2 F 2 -5 F 1
d) La matriz A se puede escalonar haciendo operaciones elementales por filas y por columnas, como
se muestra a continuación.
A =
C 1 ↔ C 3
≈
F 2 → F 2 +2 F 1 , F 3 → F 3 - F 1
≈
F 3 → F 3 +2 F 2
≈
La matriz escalonada equivalente a A obtenida tiene tres filas no nulas, por tanto, rg A = 3.
5. Mediante operaciones elementales, determinar el rango de las siguientes matrices según el valor del parámetro real a.
a) A = ⎝⎛^ ⎠⎞
4 a b)^ B^ =^ ⎝
2 a 1 ⎞
6 3 4 c)^ C^ = ⎝⎜
2 a ⎞
6 4+ a 4 6
d) D =
a 1 1 ⎞
1 a 1 1 1 a
Solución
a) Escalonamos la matriz A mediante operaciones elementales por filas:
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- si a = 1 entonces la matriz escalonada tiene una fila no nula y, por tanto, rg D = 1 6. Sabiendo que las siguientes matrices tienen inversa, calcularla mediante operaciones
elementales.
a) A = ⎝⎛^ ⎠⎞
7 6 b)^ B^ = ⎝⎜
c) C =
Solución
Se coloca la matriz identidad a la derecha de A obteniéndose la nueva matriz ( A l In ) sobre la que se
realizan operaciones elementales por filas hasta que en el lugar de A queda la matriz identidad.
a) ⎝⎛^ ⎠⎞
F 1 →(1/5) F 1
≈
5 |^
F 2 → F 2 -7 F 1
≈
5 |^
5 |^
F 1 → F 1 -2 F 2
≈
F 2 →(5/2) F 2
≈
Por tanto, A -1^ =
Se puede obtener el mismo resultado con otras operaciones elementales, por ejemplo:
F 2 → 5 F 2 -7 F 1
F 1 → F 1 -2 F 2
≈
F 1 →(1/5) F 1 , F 2 →(1/2) F 2
≈
b)
F 1 ↔ F 3
≈
F 2 → F 2 + F 1 , F 3 → F 3 -2 F 1
≈
F 2 →(1/5) F 2
≈
F 1 → F 1 - F 2 , F 3 → F 3 + F 2
≈
F 3 →(1/3) F 3
≈
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Observar que el proceso seguido para obtener la matriz identidad en el lugar de B consiste en
conseguir, mediante operaciones elementales por filas, que en cada columna sean ceros todos los
elementos excepto el correspondiente a la diagonal principal que es el que se considera como
“elemento pivote”. Así, con la primera equivalencia se consigue que el “elemento pivote” de la
primera columna sea 1, lo que facilita las posteriores operaciones elementales. En la segunda se
consigue hacer 0 los dos elementos de la primera columna que no están en la diagonal principal. En
la tercera equivalencia se consigue que el “elemento pivote” de la segunda columna sea 1. En la
cuarta se hacen 0 los dos elementos de la segunda columna que no están en la diagonal principal.
Finalmente, en la quinta equivalencia se hace 1 el elemento de la tercera columna que está en la
diagonal principal y, como los otros dos elementos de esta columna ya son cero, se termina el
proceso puesto que se ha obtenido la matiz identidad en el lugar que estaba B.
Por tanto, B -1^ =
c) En este caso, en lugar de seguir el mismo proceso que en el apartado anterior, primero se
triangulariza la matiz C superiormente (se hacen ceros por debajo de la diagonal principal) y
después inferiormente (se hacen ceros por encima de la diagonal principal) obteniéndose la matriz identidad.
F 1 ↔ F 3
≈
F 1 →(1/2) F 1
≈
F 2 → F 2 -4 F 1 , F 3 → F 3 -3 F 1
≈
F 3 → F 3 - F 2
≈
F 3 →(1/4) F 3
≈
F 1 → F 1 -3 F 3 , F 2 → F 2 +11 F 3
≈
F 2 →(-1/7) F 2
≈
F 1 → F 1 -2 F 2
≈
Por tanto, C -1^ =
