MATRICES MATEMATICA TEORIA, Diapositivas de Matemáticas

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MATRICES

MS.c : Zacarías Rodríguez García

2 Definición: Una matriz es un arreglo rectangular de números reales y complejos, encerrados en grandes paréntesis. Se denotan con letras mayúsculas .A,B,C……. El orden o tamaño (mxn) lo determina el número de filas m y el número de columnas n.         = 80 85 120 100 230 75 120 250 300 170 200 A 160 filas         = 80 85 120 100 230 75 120 250 300 170 200 A 160 columnas NOTACIÓN: La matriz A = [ aij ] , donde aij representa el elemento que se encuentra en La i-esima fila y la j-esima columna. En general una matriz A de orden mxn se escribe: mxn i i i ij in j j a a a a a a a                     = m1 m2 m3 mn 21 22 23 2n 11 12 13 1n a a a a a a a a a a a a mj a A .

...... . ...... . . 1 2 3 2 1

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TIPOS DE MATRICES

Es una matriz que tiene todos sus elementos nulos. Se denota por O. Es una matriz cero de orden 4 x 3

A

1.- Matriz Nula o Cero

Tiene m filas y una sola columna. La matriz A tiene m filas.

2.- MATRIZ COLUMNA

El número de filas es igual al número de columnas. En este caso se dice que la matriz es de orden n. La matriz M es cuadrada de orden 3. Una matriz de orden 1 tiene un sólo 31 32 33 3 3 elemento 21 22 23 11 12 13 x a a a a a a a a a M           =

4.- MATRIZ CUADRADA (m=n)

Observaciones: a) Los elementos de la diagonal principal son: b) La suma de los elementos de la diagonal principal se llama traza: nn a , a , a .... a 11 22 33  = = n i ii Tr A a 1 ( )

M

6 .-MATRIZ ESCALAR

• Los elementos de la diagonal principal son iguales. a 11 = a 22 = anm = k K K K K K K

Es una matriz diagonal con todos los elementos a ii = 1. Se denota por I n

Matriz identidad de orden 3

7.- MATRIZ IDENTIDAD

Sean A, B y C tres matrices del mismo orden. Entonces:

2. A+B=B+A Conmutativa
3. A+O=A Matriz Neutro
4. (A+B)+C=A+(B+C) Asociativa Propiedades de la suma
5. (A+B) Є K mn Clausura
6. A+-A=0 Matriz opuesta

Producto de un vector fila por un vector columna Entonces A.B=[a 1 b 1 +a 2 b 2 + … aibi … ] A.B= ∑ aibi

Propiedades : **_Sean A, B y C matrices de tamaños “adecuados” y K escalar.

1. (AB)C = A(BC), (asociativa)
2. A(B + C) = AB + AC, (distributiva a la izquierda)
3. (A + B)C = AC + BC, (distributiva a la derecha)
4. K(AB) = (KA)B = A(KB), para K escalar
5. Si A es una matriz cuadrada A.** I **=** I **.A = A_** **6) A.B != B.A
6. A.B =0 (pero no significa que A=0 V B=0)
7. (A+B) 2 = A 2 +A.B +B.A +B 2 9)(A+B)(A-B) != A 2**

- B **2

10. A.B=A.C no implica !=> B=C**

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Observaciones

NOTA 1 : El producto de dos matrices no es conmutativo, sin embargo para ciertas matrices se cumple esta propiedad. NOTA 2 : Se pueden tener dos matrices A y B tales que AB = O y sin embargo ninguna de las matrices sea una matriz cero.       =       =

• 3 2 2 - ; B 3 2 2 1 A       − =       = 1 0 1 0 B 0 0 1 1 A ;

PROPIEDADES DE LA TRANSPOSICION

1. (A

T

T

=A

2. (A+B)

T

= A

T

+B

T

3. (cA)

T

=cA

T

4. (AB) T =B T .A T

5. (I

n

T

=I

Matrices Cuadradas Especiales