Matrices ejercicio apuntes, Apuntes de Álgebra

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TEMA II: MATRICES

MATRIZ

Se llama matriz de orden 𝒎 × 𝒏 a todo ordenamiento rectangular de elementos 𝒂 𝒊𝒋 dispuestos en 𝒎 líneas horizontales (filas) y 𝒏 líneas verticales (columnas) de la forma: ▪ Abreviadamente se expresa en la forma 𝑨 = (𝒂 𝒊𝒋 ), con 𝑖 = 1 , 2 , … , 𝑚; 𝑗 = 1 , 2 , … , 𝑛. ▪ Los subíndices indican la posición del elemento dentro de la matriz, el primero denota la FILA ( 𝒊 ) y el segundo la COLUMNA ( 𝒋 ).

𝑚𝑛 C O L U M N A S F I L A S

▪ Se realiza la suma, únicamente cuando las matrices son del mismo tamaño. MULTIPLICACIÓN DE UNA MATRIZ POR UN ESCALAR Si 𝐴 = 𝑎𝑖𝑗 es una matriz de 𝑚 × 𝑛 y si 𝛼 es un escalar, entonces la matriz 𝑚 × 𝑛, 𝜶𝑨 , esta dada por: 𝛼𝐴 = 𝜶𝒂𝒊𝒋 =

Esto es, 𝛼𝐴 = (𝛼𝑎𝑖𝑗), la matriz obtenida al multiplicar cada componente de 𝐴 por 𝛼. PROPIEDADES Sean 𝐴, 𝐵 y 𝐶 tres matrices de 𝑚 × 𝑛 y sean 𝛼 y 𝛽 dos escalares, entonces:

1. 𝐴 + 𝟎 = 𝐴
2. 1. 𝐴 = 𝟎
3. 𝐴 + 𝐵 = 𝐵 + 𝐴
4. (𝐴 + 𝐵) + 𝐶 = 𝐴 + (𝐵 + 𝐶)
5. 𝛼(𝐴 + 𝐵) = 𝛼𝐴 + 𝛼𝐵
6. 1. 𝐴 = 𝐴
7. 𝛼 + 𝛽 𝐴 = 𝛼𝐴 + 𝛽𝐴 La diferencia de matrices 𝐴 y 𝐵 se representa por 𝑨– 𝑩, y se define como: 𝐴– 𝐵 = 𝐴 + (– 𝐵)

𝐴𝐵𝐶 definida por cualquiera de los lados de la ecuación, es una matriz de orden 𝒎 × 𝒒. DISTRIBUTIVIDAD ▪ 𝐴(𝐵 + 𝐶) = 𝐴𝐵 + 𝐴𝐶 ▪ (𝐴 + 𝐵)𝐶 = 𝐴𝐶 + 𝐵𝐶 PROPIEDADES SIMPLIFICATIVAS ▪ Si 𝐴 + 𝐶 = 𝐵 + 𝐶 ⇒ 𝐴 = 𝐵 ▪ Si 𝑘𝐴 = 𝑘𝐵 ⇒ 𝐴 = 𝐵, si 𝑘 ≠ 0 ▪ Si 𝑘𝐴 = ℎ𝐴 ⇒ ℎ = 𝑘, si 𝐴 ≠ 0 CONSECUENCIAS Si 𝑨 · 𝑩 = 𝟎 , no implica que 𝑨 = 𝟎 ó 𝑩 = 𝟎

▪ Si 𝑨 · 𝑩 = 𝑨 · 𝑪 , no implica que 𝑩 = 𝑪 ▪ En general 𝑨 + 𝑩 𝟐 ≠ 𝑨 𝟐

• 𝑩 𝟐
• 𝟐𝑨𝑩 , ya que 𝑨 · 𝑩 ≠ 𝑩 · 𝑨 ▪ En general (𝑨 + 𝑩) ∙ (𝑨– 𝑩) ≠ 𝑨 𝟐

• 𝑩 𝟐 , ya que 𝑨 · 𝑩 ≠ 𝑩 · 𝑨 TRANSPUESTA DE UNA MATRIZ Si 𝐴 = 𝑎𝑖𝑗 una matriz de 𝑚 × 𝑛 , entonces la transpuesta de 𝐴 , que se describe 𝐴 𝑡 , es la matriz de 𝑛 × 𝑚, que se obtiene al intercambiar las filas por las columnas en 𝐴 y se puede escribir como 𝐴 𝑡 = 𝑎𝑗𝑖 𝐴 =

𝑡

▪ Se coloca la fila 𝑖 de 𝐴 como la columna 𝑖 de 𝐴 𝑡 y la columna 𝑗 de 𝐴 como la fila 𝑗 de 𝐴 𝑡 .

Se denomina diagonal principal de una matriz, a los elementos de la matriz que se encuentran en el mismo número de fila y columna. Entonces, la matriz diagonal es cuando tiene todos sus elementos por encima y debajo de la diagonal principal son ceros. ▪ A = ( 𝒂𝒊𝒋) es triangular superior, si 𝒂𝒊𝒋 = 0 𝑖 > 𝑗. ▪ A = ( 𝒂𝒊𝒋) es triangular inferior, si 𝒂𝒊𝒋 = 0 para 𝑖 < j. ▪ A = ( 𝒂𝒊𝒋) es diagonal, si 𝒂𝒊𝒋 = 0 para 𝑖 ≠ 𝑗. Matriz fila Es una matriz que solo tiene una fila, es decir m =1 y por tanto es de orden 1 x n.

n

a a a a

11 12 13 1

Matriz columna Es una matriz que solo tiene una columna, es decir, n= 1 y por tanto es de orden mx 1. Matriz cuadrada Es aquella que tiene el mismo número de filas que de columnas, es decir m=n. En estos casos se dice que la matriz cuadrada es de orden n.                 1 31 21 11 a m a a a 

Matriz escalar Es una matriz donde todos los elementos de su diagonal principal son iguales. Matriz unidad o identidad Es una matriz escalar con los elementos de la diagonal principal iguales a 1. La matriz identidad 𝐼𝑛 de orden 𝑛 × 𝑛 es una matriz, donde: 𝐼𝑛 = (𝑏𝑖𝑗) con 𝑏𝑖𝑗 = ቊ

DIAGONAL PRINCIPAL

La diagonal principal de una matriz cuadrada 𝐴 = (𝑎𝑖𝑗), es la diagonal de la matriz cuyos componentes son: 𝑎 11 , 𝑎 22 , 𝑎 33 , … , 𝑎𝑛𝑛. INVERSA DE UNA MATRIZ Sean 𝐴 y 𝐵 dos matrices de orden 𝑛 × 𝑛. Si 𝐴𝐵 = 𝐵𝐴 = 𝐼 entonces 𝐵 se denomina inversa de 𝐴 y se denota por 𝐴 − 1 , así: 𝐴𝐴 − 1 = 𝐴 − 1 𝐴 = 𝐼

1. Se decide si 𝐴 es invertible. a) Si la forma escalón reducida por filas de 𝐴 es la matriz identidad 𝐼, entonces la matriz 𝐵 ubicada a la derecha de la barra vertical, (𝐼|𝐵) es la inversa de la matriz 𝐴. Así, 𝐵 = 𝐴 − 1 . b) Si la reducción de 𝐴 no conduce a la matriz identidad, entonces la matriz 𝐵 ubicada a la derecha de la barra vertical, no es la inversa de la matriz 𝐴. Así, 𝐴 no es invertible o singular. ▪ Una matriz 𝐴 de 𝑛 × 𝑛 es invertible, sí y solo si, su forma escalón reducida por filas da la matriz identidad. MÉTODOS PARA CALCULAR LA INVERSA DE UNA MATRIZ ➢Directamente (mediante resolución de sistemas) ➢Por el método de Gauss-Jordan (mediante la forma escalón reducida) ➢Determinantes (mediante los cofactores y la matriz adjunta)

➢El Teorema de Cayley-Hamilton (por la potencia de matrices) CÁLCULO DIRECTO DE LA MATRIZ INVERSA Dada la matriz A se busca una matriz que cumpla A·A

• 1 = I, es decir: Para ello, se plantea sistema de ecuaciones La matriz que se ha calculado realmente sería la inversa por la "derecha", pero es fácil comprobar que también cumple A
• 1 ·A = I, con lo se confirma que es la inversa de A.

APLICACIONES DE MATRICES

PROBLEMAS CON OPERACIONES DE MATRICES Una compañía vende dos tipos de juguetes: de acción y educativos. La matriz 𝐴 representa las ventas (en miles de dólares) de la compañía de juguetes en el año 2003 , en tres ciudades, y la matriz 𝐵 representa las ventas en las mismas ciudades en el año 2005.

AJUSTE LINEAL Y POLINOMIAL Cuando se pretende estudiar la relación entre una variable de interés o variable dependiente con otra variable predictiva o independiente, puede utilizarse la aproximación por mínimos cuadrados para encontrar la recta o la curva que más de ajusta al conjunto de puntos definidos por las parejas ordenadas de las variables en estudio. Es decir, es la recta o la curva que mejor se ajusta a los datos observados.