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Tema 7 Matrices y determinantes.
7.1. Matrices.
Definici´on 7.1 Una matriz real de orden m × n es una tabla ordenada de m × n n´umeros reales
A =
a 11 a 12 · · · a 1 n
a 21 a 22 · · · a 2 n
. . .
am 1 am 2 · · · amn
en la cual las l´ıneas horizontales reciben el nombre de filas y las verticales el de columnas.
Nota En la matriz A el elemento situado en la fila i y en la columna j se denota por aij , indicando
el primer sub´ındice la fila en la que est´a situado y el segundo la columna.
Nota Una matriz gen´erica se denota por A = (aij )
m,n i,j=1 ´o^ A^ = (aij^ ) y el conjunto de todas las
matrices reales de orden m × n se denota por Mm×n(R).
Nota Dos matrices son iguales si son del mismo orden y los elementos correspondientes son iguales.
Nota Las matrices de orden 1 × n reciben el nombre de matrices fila y las de orden m × 1 el de
matrices columna (los vectores son matrices columna).
Ejemplo 7.
Matriz fila de orden 4 Matriz columna de orden 3 o vector Vector como n-tupla
Nota Las matrices con el mismo n´umero de filas que columnas (m = n) reciben el nombre de matri-
ces cuadradas de orden n y en ellas los elementos a 11 , a 22 , · · · , ann forman la diagonal principal.
Ejemplo 7.2 Matriz cuadrada de orden 3 en la que la diagonal principal est´a formada por 3 , 1 / 2 , 1 :
2 BLOQUE III: ALGEBRA LINEAL B ´ ASICA Y TEOR´ ´IA DE MATRICES
Ejemplo 7.3 Una empresa posee 3 tiendas en las que se venden 4 productos. Las unidades de cada
uno de los 4 productos que la primera tienda tiene en existencia son 30, 20, 20 y 0; las de la segunda
son 20, 30, 0 y 40; y las de la tercera son 10, 50, 20 y 20. Las existencias en cada tienda se pueden
expresar mediante una tabla ordenada de 3 × 4 n´umeros distribuidos en 3 filas y 4 columnas:
P 1 P 2 P 3 P 4
T 1 30 20 20 0
T 2 20 30 0 40
T 3 10 50 20 20
N´otese que en esta tabla a 14 = 0 indica que la primera tienda no tiene existencias del cuarto producto
y a 23 = 0 que la segunda no tiene existencias del tercero. ♣
Ejemplo 7.4 (Tabla Input-Output) Si se divide el sistema econ´omico de un territorio en n sectores
productivos y se representa por xi,j el valor en unidades monetarias de las ventas efectuadas por el
sector i al sector j se obtiene una matriz que representa las interacciones entre los n sectores.
1 2... j... n
1 x 1 , 1 x 1 , 2... x 1 ,j... x 1 ,n
2 x 2 , 1 x 2 , 2... x 2 ,j... x 2 ,n
. . .
i xi, 1 xi, 2... xi,j... xi,n
. . .
n xn, 1 xn, 2... xn,j... xn,n
En esta matriz contabilizamos por filas los bienes y servicios vendidos por cada sector (outputs) y
por columnas los bienes y servicios adquiridos (inputs). Cada xi,i de la diagonal principal representa
el valor de los productos del sector i que utiliza el propio sector i en su producci´on. ♣
7.2. Operaciones con matrices.
Definici´on 7.2 (Suma de matrices) Sean A = (aij ), B = (bij ) ∈ Mm×n(R)
La matriz suma de A y B es la matriz real de orden m × n:
A + B = (aij + bij )
m,n i,j=1.
4 BLOQUE III: ALGEBRA LINEAL B ´ ASICA Y TEOR´ ´IA DE MATRICES
Ejemplo 7.7 Sean A =
, B =
(^) y C =
(a)A + B + C =
(^) (b)A − (B − C) =
Definici´on 7.4 (Producto de un escalar por una matriz) Sean A = (aij ) ∈ Mm×n(R) (matriz real)
y α ∈ R (n´umero real o escalar).
La matriz producto de α por A es la matriz real de orden m × n:
α · A = αA = (αaij )
m,n i,j=1.
Ejemplo 7.
α =
A =
=⇒ α · A =
Ejemplo 7.9 La compa˜n´ıa Refresquillos S.A. produce tres tipos de refrescos que vende en dos pa´ıses.
Si los precios de cada litro en 2005 ven´ıan dados por la matriz P y ´estos experimentan una subida
del 5 %, la matriz 1 , 05 · P corresponde a los precios en 2006 (redondeados al c´entimo):
P cola lim´on naranja
Espa˜na 0 , 91 1 , 05 1 , 32
Portugal 1 , 00 1 , 10 1 , 21
1 , 05 · P cola lim´on naranja
Espa˜na 0 , 96 1 , 10 1 , 39
Portugal 1 , 05 1 , 16 1 , 27
Ejemplo 7.10 Con los datos del ejercicio 7.6 podemos determinar la matriz correspondiente a las
ventas medias mensuales de cada uno de los tres tipos de refrescos que produce la compa˜n´ıa Refres-
quillos S.A. en cada uno de los dos pa´ıses.
1 12
(A + B + C + D) cola lim´on naranja
Espa˜na 85 , 75 22 , 58 17 , 5
Portugal 33 , 75 17 , 25 11 , 5
MATRICES Y DETERMINANTES 5
Proposici´on 7.5 (Propiedades del producto de escalares por matrices)
Sean α, β ∈ R A, B ∈ Mm×n(R)
- αA ∈ Mm×n(R) (operaci´on externa).
- (α + β)A = αA + βA (distributiva respecto a la suma de escalares).
- α(A + B) = αA + αB (distributiva respecto a la suma de matrices).
- α(βA) = (αβ)A (asociativa mixta).
- 1 A = A (buen comportamiento del elemento neutro de los escalares). ♣
Ejemplo 7.
Sean A =
, B =
, C =
(^) y D =
(a)−A + 2D =
(b)2B − (3/2)C =
Obs´ervese que, por ejemplo, no es posible calcular 3 A − 2 B ♣
Definici´on 7.6 (Producto de una matriz fila por una matriz columna)
Sean a una matriz de orden 1 × n (matriz fila) y b una matriz de orden n × 1 (matriz columna).
El producto de la fila a por la columna b es el n´umero real:
ab =
a 1... an
b 1
. . .
bn
= a 1 b 1 + a 2 b 2 + · · · + anbn. ♣
Ejemplo 7.
a =
b =
=⇒ a b =
MATRICES Y DETERMINANTES 7
pantalones que necesita cada una de las tiendas viene dado por la matriz A y los precios de cada
pantalones seg´un el cat´alogo de los dos proveedores por la matriz B. El valor total del pedido de cada
tienda en cada proveedor viene dado por la matriz A B.
A P 1 P 2 P 3 P 4
T 1 400 200 0 300
T 2 0 100 200 100
T 3 200 200 100 0
B F 1 F 2
P 1 32 30
P 2 10 12
P 3 22 20
P 4 16 18
A B F 1 F 2
T 1 19 , 600 17 , 800
T 2 7 , 000 7 , 000
T 3 10 , 600 10 , 400
aik = cantidad que la tienda Ti necesita del pantal´on Pk.
bkj = precio del pantal´on Pk en el proveedor Fj.
cij = valor total del pedido de la tienda Ti al proveedor Fj
donde cij corresponde al producto de la fila i de A por la columna j de B:
cij = ai 1 b 1 j + ai 2 b 2 j + ai 3 b 3 j + ai 4 b 4 j. ♣
Nota La matriz identidad de orden n × n viene dada por
I = (δij )
n,n i,j=1 con^ δij^ =
1 si i = j
0 si i ̸= j
Ejemplo 7.16 La matriz identidad de orden n
es una matriz cuadrada de orden n con unos en la diagonal principal y con ceros en el resto. ♣
Proposici´on 7.8 (Propiedades del producto de matrices)
- A(BC) = (AB)C ∀A ∈ Mn×m(R), ∀B ∈ Mm×p(R) ∀C ∈ Mp×q(R) (asociativa)
- A(B + C) = AB + AC ∀A ∈ Mn×m(R) ∀B, C ∈ Mm×p(R) (distributiva respecto a la suma).
- AI = IA = A ∀A ∈ Mn×n(R) (existencia de elemento neutro para matrices cuadradas). ♣
8 BLOQUE III: ALGEBRA LINEAL B ´ ASICA Y TEOR´ ´IA DE MATRICES
Nota El producto de matrices no posee la propiedad conmutativa.
Ejemplo 7.
A =
(^) y B =
=⇒ AB =
̸= BA =
Ejemplo 7.18 Si multiplicamos una matriz fila de orden 1 × n y una matriz columna de orden n × 1
- La matriz A · B es de orden 1 × 1 (es un n´umero):
A · B =
a 11 a 12 · · · a 1 n
b 11
b 21
. . .
bn 1
= a 11 b 11 + a 12 b 21 + · · · a 1 nbn 1
- La matriz B · A es de orden n × n:
B · A =
b 11
b 21
. . .
bn 1
a 11 a 12 · · · a 1 n
b 11 a 11 b 11 a 12 · b 11 a 1 n
b 21 a 11 b 21 a 12 · · · b 21 a 1 n
bn 1 a 11 bn 1 a 12 · · · bn 1 a 1 n
Nota θ · A = θ.
Ejemplo 7.19 El producto de dos matrices puede ser nulo sin ser la matriz nula ninguna de ellas:
(^) = θ
Nota A
n = A · A · · · A n veces.
Ejemplo 7.
A =
=⇒ A
3 = AAA =
Ejemplo 7.21 Sean A =
y B =
10 BLOQUE III: ALGEBRA LINEAL B ´ ASICA Y TEOR´ ´IA DE MATRICES
7.3. Determinantes.
Definici´on 7.11 (Determinante) El determinante de una matriz cuadrada A ∈ Mn×n(R), que se
denota por det(A) o |A|, se define por inducci´on:
- Para A de orden 1, la matriz s´olo tiene un n´umero y el determinante es el propio n´umero:
|a 11 | = a 11.
- Para A de orden n con n > 1 , se define a trav´es de los determinantes de las submatrices de orden
n − 1 que se obtienen eliminando una fila y una columna (menores complementarios) y se dice que
se calcula desarroll´andolo por los adjuntos de la fila i (multiplicamos los elementos de la fila i por
sus adjuntos):
⋆ El menor complementario de aij es el determinante de la submatriz de orden n − 1 que
se obtiene al suprimir la fila i y la columna j de A
⋆ El determinante de A es
|A| =
a 11 a 12 · · · a 1 j · · · a 1 n
a 21 a 22 · · · a 2 j · · · a 2 n
. . .
ai1 ai2 · · · aij · · · ain
. . .
an 1 an 2 · · · anj · · · ann
= ai1Ai 1 + ai2Ai 2 + · · · + aijAin · · · + ainAin.
donde Aij recibe el nombre de adjunto de aij y es
Aij = (−1)
i+j Mij ♣
Nota El valor del determinante no depende de la fila elegida.
MATRICES Y DETERMINANTES 11
Nota Si la matriz es de orden 1 el determinante es el n´umero (no confundirlo con el valor absoluto)
Ejemplo 7.
(a) det(2) = 2 (b) det(−2) = − 2 ♣
Nota Si A es una matriz de orden 2 su determinante es el producto de la diagonal principal menos
el producto de la diagonal secundaria
a 11 a 12
a 21 a 22
= a 11 a 22 − a 12 a 21.
Ejemplo 7.
Nota Si A es una matriz de orden 3 su determinante sigue la regla de Sarrus:
a 11 a 12 a 13
a 21 a 22 a 23
a 31 a 32 a 33
= a 11 a 22 a 33 + a 12 a 23 a 31 + a 13 a 21 a 32 − a 13 a 22 a 31 − a 12 a 21 a 33 − a 11 a 23 a 32.
Ejemplo 7.
Ejemplo 7.27 El siguiente determinante es necesario calcularlo por adjuntos,ya que para las ma-
trices de orden 4 no hay ninguna f´ormula f´acil de recordar. As´ı, si lo desarrollamos por la primera
fila se tiene:
MATRICES Y DETERMINANTES 13
- Nuestro objetivo es transformar en ceros los elementos de la primera columna que no est´an
en la posici´on 1,1. Intervienen en el proceso:
∗ El elemento que est´a en la posici´on 1,1 o pivote, que tiene que ser distinto de cero (a 11 = 3).
∗ La columna en la que vamos a “hacer ceros” o columna objetivo (columna 1).
∗ La fila en la que est´a el pivote o fila del pivote (fila 1).
Columna objetivo
← Fila del pivote
Para transformar un elemento de la columna objetivo en un cero, a su fila le sumamos la fila del
pivote multiplica por un n´umero adecuado (el determinante no cambia por la propiedad 5):
· El elemento a 21 , se transforma en cero sumando a la fila 2 la fila del pivote multiplica por
a 21
a 11
· El elemento a 31 ya es cero, por lo que no tenemos que transformarlo.
· El elemento a 41 , se transforma en cero sumando a la fila 4 la fila del pivote multiplica por
a 41
a 11
F 2 +
1 3
F 1 →
F 4 −
1 3
F 1 →
2 3
2 3
1 3
4 3
2 3
2 3
1 3
4 3
14 BLOQUE III: ALGEBRA LINEAL B ´ ASICA Y TEOR´ ´IA DE MATRICES
- Una forma de evitar el uso de fracciones es trasladar un uno a la posici´on 1,1. Por ejemplo, el
elemento a 23 = 1:
⋆ Como est´a en la columna 3 y queremos llevarlo a la columna 1 hay que realizar dos cambios
entre columnas consecutivas, que suponen dos cambios de signo (propiedad 3)
= C 2 × C 3 = −
= C 1 × C 2 = +
⋆ Como est´a en la fila 2 y queremos llevarlo a la fila 1 hay que realizar un cambio entre filas
consecutivas, que supone un cambio de signo (propiedad 3)
= F 1 × F 2 = −
⋆ A continuaci´on procedemos como antes
F 2 + F 1 →
F 3 − 3 F 1 →
F 4 − F 1 →
- Tambi´en podemos trabajar con el elemento a 23 = 1 sin cambiarlo de posici´on y “hacer ceros”
en la columna 3 sumando m´ultiplos de la fila 2 a las filas 1, 3 y 4.
F 1 + F 2 →
F 3 − 3 F 2 →
F 4 − F 2 →
2+ · 1 ·
Obs´ervese que al estar en la posici´on 2.3 hay que multiplicar por (−1)
2+
. ♣
16 BLOQUE III: ALGEBRA LINEAL B ´ ASICA Y TEOR´ ´IA DE MATRICES
Por tanto
Adj(A) =
Por ´ultimo, calculamos la matriz inversa:
A
− 1
det(A)
Adj(A)
t
Ejemplo 7.
La matriz A =
(^) no tiene inversa, ya que, |A| =
Ejemplo 7.
• A =
=⇒ A−^1 =
• A =
=⇒ A−^1 =
• A =
=⇒ A
− 1
• A =
no tiene inversa
• A =
=⇒ A
− 1
MATRICES Y DETERMINANTES 17
7.5. Rango de una matriz.
Definici´on 7.16 Sea A ∈ Mm×n(R).
Un menor de orden h de A es el determinante de una submatriz cuadrada de orden h que
resulta de suprimir filas y/o columnas de A. ♣
Ejemplo 7.33 A la primera submatriz marcada le corresponde un menor de orden 2 (resulta de
suprimir la fila 3 y las columnas 2 y 4), pero a la segunda no le corresponde ning´un menor (no
resulta de suprimir filas y columnas).
Definici´on 7.17 (rango de una matriz) Sea A ∈ Mm×n(R).
- La matriz A tiene rango r, rg(A) = r, si existen menores de orden r distintos de cero y
todos los menores de orden superior a r son cero.
- Cuando A tiene rango r, cualquier menor de orden r distinto de cero recibe el nombre de
menor principal de A. ♣
Ejemplo 7.34 La matriz A =
tiene rango 2:
- hay menores de orden 2 distintos de cero, por ejemplo:
con
con
suprimimos las columnas 3 y 4 y la fila 3 suprimimos las columnas 2 y 3 y la fila 2
- todos los menores de orden 3 son iguales a cero (la comprobaci´on se deja como ejercicio):
suprimida la col. 4 suprimida la col. 3 suprimida la col. 2 suprimida la col. 1
Obs´ervese que todos los menores de orden 2 distintos de cero son menores principales. ♣
MATRICES Y DETERMINANTES 19
Por tanto, las filas y columnas que forman parte de un menor principal son linealmente indepen-
dientes (si fuesen combinaci´on lineal unas de otras el menor ser´ıa nulo y no ser´ıa un menor principal).
Las filas y columnas que no est´an en el menor principal son combinaci´on lineal de las filas y columnas
que forman parte de ´el (al orlar el menor se obtienen menores de orden superior y todos los menores
de orden superior son cero). De este modo, el rango de una matriz es tanto el orden del menor no
nulo de mayor orden como el n´umero de filas y columnas linealmente independientes.
Como el rango de una matriz no cambia si se agrega o suprime una fila que sea combinaci´on lineal
de las dem´as tenemos un procedimiento para calcular el rango.
C´alculo del rango de una matriz determinando un menor principal:
Se considera un menor de orden h distinto de 0, M.
Se considera una fila de A que no est´e en M.
Se orla M con esta fila y con cada una de las columnas de A que no est´e en M.
Op1 Si alguno de estos menores es distinto de 0 tenemos un menor de orden h + 1 con el que
se repite el procedimiento desde el principio (el rango ser´a al menos h + 1).
Op2 Si todos estos menores son 0 se suprime la fila y se repite el procedimiento con la siguiente
fila de la matriz (la fila suprimida es combinaci´on lineal de las que forman el menor M ).
Ejemplo 7.37 Vamos a calcular el rango de una matriz, A, analizando sus filas
A =
20 BLOQUE III: ALGEBRA LINEAL B ´ ASICA Y TEOR´ ´IA DE MATRICES
En primer lugar, buscamos un menor de orden 2 distinto de cero, lo que nos permite afirmar que
las filas de las que forma parte son linealmente independientes.
A =
Para analizar la tercera fila
⋆ Orlamos el menor con la tercera columna (y la tercera fila)
Como es cero, no podemos afirmar nada.
⋆ Orlamos el menor con la cuarta columna (y la tercera fila)
Como es distinto de cero, podemos afirmar que las tres primeras filas son independientes.
A =
Ya tenemos que el rango de la matriz es al menos tres y pasamos a analizar la cuarta fila
⋆ Orlamos el menor con la tercera columna (y la cuarta fila)
Como es cero, no podemos afirmar nada.
