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MATRICES SOBRE UN CUERPO
1.1 Definici´on: Sea K un cuerpo (habitualmente K = R, C, Q, Z 2 ´o Zp para
un n´umero primo p) y sean m, n ∈ N. Una matriz m × n sobre K es una tabla
rectangular formada por m filas y n columnas de elementos de K:
A =
a 11 a 12... a 1 n
a 21 a 22... a 2 n
am 1 am 2... amn
donde aij ∈ K, i = 1,... , m, j = 1,... , n.
aij es el elemento (ij) de la matriz A, y se llama coeficiente de la matriz,
i es el ´ındice de fila,
j es el ´ındice de columna,
los elementos a 11 , a 22 ,... , app (donde p = min(m, n)) se llaman elementos
diagonales y (a 11 a 22... app) se llama diagonal principal de A.
Notaci´on: A = (aij )ij
Dos matrices A y B son iguales si tienen el mismo n´umero de filas, el mismo
n´umero de columnas, y los mismos elementos ocupando los mismos lugares, es
decir, aij = bij , para todo i = 1,... , m, y para todo j = 1,... , n.
Si m = n, A se llama matriz cuadrada de orden n.
Si m = 1, A se llama matriz fila, A = (a 11 a 12... a 1 n).
Si n = 1, A se llama matriz columna,
A =
a 11
a 21
am 1
Dada una matriz A de tama˜no m × n sobre K,
- fijado i ∈ { 1 ,... , m}, la matriz fila Ai = (ai 1 ai 2... ain) se llama fila i-´esima
de A.
- fijado j ∈ { 1 ,... , n}, se llama columna j-´esima de A a la matriz columna
A
j
a 1 j
a 2 j
amj
Si i 1 , i 2 ,... , ip son algunos de los ´ındices de fila de A, y j 1 , j 2 ,... , jq son
algunos de los ´ındices de columna de A, la matriz p × q formada por las filas y
columnas correspondientes a los ´ındices se˜nalados se llama submatriz de A.
Si los ´ındices de fila y columna se˜nalados son consecutivos, la submatriz co-
rrespondiente se llama bloque de A.
Cabe destacar que en una matriz A de tama˜no m × n cada fila de A viene
dada por n elementos de K y puede interpretarse como un elemento de K
n :
A 1 ,... , Am ∈ K
n
. Del mismo modo, cada columna de A viene dada por m ele-
mentos de K y puede interpretarse como un elemento de K
m : A
1 ,... , A
n ∈ K
m .
Ejemplo: Sea K = R,
A =
matriz 3 × 5
Elemento a 23 = 8
Filas de A:
A 1 = ( 1 2 3 4 5 ) ∈ R
5
A 2 = ( 6 7 8 9 10 ) ∈ R
5
A 3 = ( 11 12 13 14 15 ) ∈ R
5
Columnas 1, 2 y 3 de A:
A
1
∈ R
3 , A
2
∈ R
3 , A
3
∈ R
3
(5) Una matriz cuadrada A ∈ Matn(K) se llama matriz triangular inferior si
aij = 0 para todo i < j:
A =
a 11 0 K... (^0) K
a 12 a 22
K
an 1 an 2... ann
1.4 Definici´on: Dada A ∈ Matm×n(K),
(1) la matriz opuesta de A es −A = (−aij )ij ∈ Matm×n(K),
(2) la matriz traspuesta de A es A
t = (aji)ji ∈ Matn×m(K).
−A =
−a 11 −a 12... −a 1 n
−a 21 −a 22... −a 2 n
−am 1 −am 2... −amn
, A
t
a 11 a 21... am 1
a 12 a 22... am 2
a 1 n a 2 n... amn
1.5 Definici´on: Dada A ∈ Matm×n(K), A se llama
(1) matriz sim´etrica si A
t = A,
(2) matriz antisim´etrica si A
t = −A
Notar que si una matriz es antisim´etrica y K es un cuerpo en el que 2λ =
0 ⇒ λ = 0 (por ejemplo, K = Q, R, C) entonces sus elementos diagonales son 0.
1.6 Proposici´on. Con la operaci´on suma definida como
A + B = (aij + bij )ij ∈ Matm×n(K)
para toda A = (aij )ij , B = (bij )ij en Matm×n(K), (Matm×n(K), +) es un grupo
conmutativo.
Demostraci´on. Claramente, la suma de matrices satisface la propiedad aso-
ciativa y la propiedad conmutativa (porque son propiedades que se cumplen en
K). Adem´as Matm×n(K) tiene por elemento neutro de la suma a la matriz nula
(^0) mn, y todo elemento A de Matm×n(K) tiene por opuesto a su matriz opuesta
−A.
1.7 Definici´on: Dada una matriz A ∈ Matm×n(K) y un escalar t ∈ K, definimos
el producto de t por A = (aij )ij como la matriz de Matm×n(K) cuyo elemento (ij)
es taij , y lo denotamos por tA.
Notar que 1K A = A para toda A ∈ Matm×n(K).
1.8 Proposici´on. El conjunto de matrices Matm×n(K) dotado de la operaci´on
suma definida en (1.6) y el producto por escalares de (1.7) es un espacio vectorial
sobre K.
1.9 Proposici´on. Sea Eij ∈ Matm×n(K) la matriz que tiene todos sus elementos
nulos, salvo el elemento (ij) que es (^1) K. Entonces {Eij | i = 1,... , m, j = 1,... , n}
es una base del espacio vectorial Matm×n(K).
Demostraci´on. Veamos que es sistema generador: Dada una matriz cualquiera
A = (aij )ij ∈ Matm×n(K), claramente A =
m
i=
n
j=
aij Eij.
Veamos que es sistema libre: si tomamos xij ∈ K tales que
i
j
xij Eij =
(^0) mn entonces
(^0) mn =
x 11 x 12... x 1 n
x 21 x 22... x 2 n
xm 1 xm 2... xmn
de donde xij = 0K para todo i y para todo j.
1.10 Corolario. dimK Matm×n(K) = m · n.
1.11 Definici´on: Dadas A = (aij )ij ∈ Matm×n(K) y B = (bij )ij ∈ Matn×p(K),
definimos el producto de A por B como la matriz C = (cij )ij ∈ Matm×p cuyos
elementos cij son
cij = (ai 1... ain)
b 1 j
bnj
n ∑
k=
aikbkj.
Notemos que s´olo se pueden multiplicar dos matrices A y B cuando el n´umero
de columnas de A coincide con el n´umero de filas de B.
1.12 Proposici´on. (Propiedades del producto de matrices)
(i) No es conmutativo en general.
(ii) ImA = A = AIn para toda A ∈ Matm×n(K).
(iii) En general, AB = 0 ̸⇒ A = 0 ´o B = 0.
(iv) (AB)C = A(BC), ∀A ∈ Matm×n(K), ∀B ∈ Matn×p(K), ∀C ∈ Matp×q (K).
(v) A(B 1 + B 2 ) = AB 1 + AB 2 para toda A ∈ Matm×n(K), B 1 , B 2 ∈ Matn×p(K).
(x) Si AX = 0 para todo X ∈ Matn×p(K) entonces AEij = 0 para todo elemento
Eij de la base de Matn×p(K). Por tanto, todas las columnas de A son cero, de
donde A es cero. De modo similar, si Y A = 0 para toda Y ∈ Matp×m(K) entonces
Eij A = 0 para todo i, j, de donde se deduce que todas las filas de A son cero.
1.13 Corolario. (Matn(K), +, ·) es un anillo con identidad, no comuntativo
en general.
1.14 Definici´on: Una matriz A ∈ Matn(K) se dice inversible o regular si tiene
inverso en el anillo Matn(K), es decir, si existe B ∈ Matn(K) tal que AB = In =
BA. La matriz B se dice inversa de A.
Si A no es inversible, se dice singular.
1.15 Proposici´on. (Propiedades de la inversa de una matriz regular)
(i) Si A ∈ Matn(K) es inversible, entonces la inversa de A es ´unica y se denota
A
− 1 .
(ii) Si A ∈ Matn(K) es inversible y B ∈ Matn(K) es tal que AB = In, entonces
B = A
− 1 .
(iii) Si A ∈ Matn(K) es inversible y C ∈ Matn(K) es tal que CA = In, entonces
C = A
− 1 .
(iv) Si A ∈ Matn(K) es inversible entonces A
− 1 tambi´en es inversible y su inversa
es A.
(v) Si A, B ∈ Matn(K) son matrices inversibles, entonces AB tambi´en es in-
versible, y su inversa es B
− 1 A
− 1 .
Demostraci´on. (i) Si B 1 , B 2 son inversas de A entonces B 1 = B 1 In =
B 1 (AB 2 ) = (B 1 A)B 2 = InB 2 = B 2.
(ii) Si AB = In entonces A
− 1 (AB) = A
− 1 In = A
− 1 , de donde B = A
− 1 .
(iii) An´alogo a (ii).
(iv) Obvio.
(v) Se sigue de comprobar que (AB)(B
− 1 A
− 1 ) = In.
1.16 Definici´on: Se llama matriz elemental a toda matriz cuadrada de orden n
de uno de los siguientes tipos:
(1) Pij = In − Eii − Ejj + Eij + Eji,
(2) Pij (t) = In + tEij , con t ∈ K
(3) Qi(s) = In + (s − 1)Eii, con 0 ̸= s ∈ K,
donde Eij es la matriz cuadrada de orden n que tiene todas sus entradas nulas
salvo la entrada de la posici´on (ij), que es 1K.
1.17 Proposici´on. (Propiedades de las matrices elementales)
(1) Para toda A ∈ Matm×n(K), si Pij , Pij (t), Qi(s) ∈ Matn(K),
APij se obtiene intercambiando las columnas i, j de A.
APij (t) se obtiene sumando a la columna j de A, la columna i de A
multiplicada por t.
AQi(s) se obtiene multiplicando la columna i de A por s.
(2) Para toda A ∈ Matm×n(K), si Pij , Pij (t), Qi(s) ∈ Matm(K),
Pij A se obtiene intercambiando las filas i, j de A.
Pij (t)A se obtiene sumando a la fila i de A, la fila j de A multiplicada
por t.
Qi(s)A se obtiene multiplicando la fila i de A por s.
(3) Las matrices elementales son inversibles: P
− 1
ij
= Pij , Pij (t)
− 1 = Pij (−t),
Qi(s) = Qi(s
− 1 ).
Demostraci´on. Queda como ejercicio.
1.18 Proposici´on. (Propiedades de la trasposici´on de matrices)
(i) (A + B)
t = A
t
t , para toda A, B ∈ Matm×n(K).
(ii) (sA)
t = sA
t , para todo s ∈ K y toda A ∈ Matm×n(K).
(iii) (AB)
t = B
t A
t para toda A ∈ Matm×n(K), B ∈ Matn×p(K).
(iv) Si A es una matriz inversible, entonces A
t tambi´en es inversible y su inversa
es (A
− 1 )
t .
(v) E
t
ij
= Eji, P
t
ij
= Pij , Pij (s)
t = Pji(s), Qi(s)
t = Qi(s).
Demostraci´on. Queda como ejercicio.
1.19 Nota importante: En todo lo dicho hasta ahora, el cuerpo K puede susti-
tuirse por un anillo conmutativo con identidad y se verifican todas las propiedades
citadas, excepto las que involucran tomar inversos. En particular, se pueden tomar
matrices con coeficientes en Z, en Zn, o en el anillo de polinomios K[x].
