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Tema 2. MATRICES
Definición de matriz
Una matriz de dimensión n × m es un conjunto de números dispuestos en n filas y m columnas. Así:
n n nm
m
m
a a a
a a a
a a a
A
1 2
21 22 2
11 12 1
La matriz anterior también se puede denotar por A =( aij ) n (^) × m
El elemento aij es el que ocupa la fila i y la columna j.
Ejemplo: La matriz
A tiene dimensión 3 × 2. El elemento a 21 = −3.
- Igualdad de matrices Dos matrices son iguales cuando tienen la misma dimensión y coinciden los elementos correspondientes.
Ejemplo: Para que las matrices (^)
A y (^)
c d
a b B sean iguales es necesario que a
= 1, b = 0, c = 2 y d = −5.
- Matriz traspuesta La matriz traspuesta de una matriz A es la que se obtiene al cambiar las filas por las
columnas. Se denota por At. Así, si A = ( aij ) n (^) × m , su traspuesta es A t^ =( aji ) (^) m × n
Ejemplo: Si
A , su traspuesta es (^)
t^132 A.
- Algunos tipos de matrices Si una matriz tiene el mismo número de filas que de columnas, se llama cuadrada; si no es así, la matriz es rectangular.
− En las matrices cuadradas se habla de diagonal principal, la que va de izquierda a derecha, y de diagonal secundaria, que va de derecha a izquierda. La suma de los elementos de la diagonal principal se llama traza.
Ejemplo:
A
Diagonal secundaria Diagonal principal
Traza de A = 2 − 3 − 1 = −2.
− Entre las matrices rectangulares se puede hablar de matriz fila , la que tiene una sola fila, y de matriz columna , la que tiene una sola columna.
Ejemplos: Matriz fila: F =( 2 − 3 4 ). Matriz columna:
C
Observa que las matrices anteriores son traspuestas una de otra.
− Entre las matrices cuadradas puede hablarse de:
Matriz simétrica : Una matriz A es simétrica cuando A = At. Matriz antisimétrica : Una matriz A es antisimétrica cuando A = –At.
Ejemplos: Simétrica:
A ; Antisimétrica:
A
Matriz triangular : Todos los elementos situados por encima (o por debajo) de su diagonal principal son ceros.
Ejemplos:
Triangular superior:
T. → Triangular inferior:
T
Matriz diagonal: Tiene nulos todos los elementos situados fuera de su diagonal principal.
Ejemplo:
D
Matriz escalar : Es una matriz diagonal con todos los elementos de su diagonal principal
iguales y no nulos. Ejemplo:
E .
Matriz unidad. La matriz unidad de orden 3 × 3 es
I.
Matriz nula. Es la que todos sus elementos son cero. La matriz nula de orden 2 × 3 es
O.
- Algunos productos particulares
− Matriz fila F 1 ×m por B = ( b (^) ij ) (^) m × p. Ejemplo: ( ) ( 2 13 )
0 2
− Matriz ( ) ijnm A a × = por matriz columna C m× 1. Ejemplo:
− Matriz fila F 1 ×m por matriz columna C m× 1. Ejemplo: ( ) ( 28 )
Propiedades del producto de matrices El producto de matrices (para matrices multiplicables) cumple las siguientes propiedades:
- Asociativa: A · ( B · C ) =( A · B )· C
- Distributiva: A · ( B + C )^ = A · B + A · C
- Elemento neutro: A · I = I · A = A. La dimensión de I será la misma que la de A , que debe ser cuadrada.
OJO. El producto de matrices no cumple, en general, las siguientes propiedades:
- Conmutativa: A · B ≠ B · A
- Cancelativa: A · B = A · C no implica que B = C.
- Divisores de cero: A · B = O no implica que A = O o B = O.
Consecuencias:
- Cuando se multiplican dos matrices no es independiente el orden de colocación; hay que indicar cuál de ellas va a la izquierda, por delante.
ERROR frecuente: admitir para dos matrices A y B que ( A + B ) 2 = A^2 + 2 AB + B^2.
También está MAL: ( A − B ) 2 = A^2 − 2 AB + B^2 y ( A + B ) · ( A − B ) = A^2 − B^2.
- En las ecuaciones matriciales no pueden simplificarse matrices. No existe la división de matrices.
- Si un producto de matrices da la matriz nula no puede deducirse que alguna de las matrices factores sea nula.
Ejemplos:
No conmutativa: (^)
AB ;
BA
No cancelativa: Si (^)
A ,
B y (^)
C , puede verse que AB =
AC y sin embargo, B ≠ C. (Compruébese.)
Divisores de cero. El producto (^)
^ =
y ninguna de las matrices
factores es nula.
- Potencia de una matriz cuadrada Es el concepto análogo a la potencia numérica. Esto es: A · A · ... · A = An. La potencia de una matriz es un proceso laborioso, aunque algunas veces resulte más o menos fácil.
Ejemplos:
Si (^)
A ⇒
^ =
A → Está MAL: (^)
2 2 2 0 3
A
^ =
A AA
^ =
A AA
En este caso es fácil ver que: (^)
= (^) n
n A n 0 3
Si A es una matriz diagonal es más fácil todavía.
Si (^)
A ⇒
2 2 0 5
A ⇒ ... ⇒
= (^) n
n An 0 5
(Compruébalo).
Si (^)
A ⇒^
A ⇒^
A , ... Resulta muy complicado
hallar A n .
Si (^)
A ⇒
A ⇒
A ⇒
A
En este caso hay que distinguir entre potencias de exponente par o impar. Así:
Impar: (^)
− − − 2 ( 1 ) 2 ( 1 )
2 ( 1 ) 2 ( 1 ) 2 1 5 · 4 4
n n
n n A n , n ≥ 1. Par:
= (^) n
n A n 2
2 2 0 4
, n ≥ 1
Algunas propiedades relacionadas con matrices traspuestas
Recuerda: Dada A = ( a (^) ij ) (^) n × m , su traspuesta es At =( aji ) m (^) × n
− Traspuesta de la suma de matrices: ( ) t t
t A + B = A + B.
− Traspuesta de un número por una matriz: ( kA ) t^ = kAt (kA)t^ = kAt
− Traspuesta de la matriz traspuesta: ( A ) A t t =
− Traspuesta de un producto de matrices: ( ) t t
t A · B = B · A , siendo Am (^) × p y B (^) p × n.
Algunos tipos más de matrices cuadradas
- Matriz ortogonal. A es ortogonal si A · A t = I. Luego, si A es ortogonal →i A t = A − 1
- Matriz idempotente. A es idempotente si A · A = A.
- Matriz involutiva. A es involutiva si A · A = I.
- Matriz nilpotente. A es nilpotente si A · A · ... · A = O.
- Matriz periódica. A es periódica de período p si Ap^ + 1^ = A.
F F
F F , que vale 2, pues la fila 3ª se suprime por ser proporcional a la 2ª.
- La matriz
B ⇔
F F
F F ⇔
F 3 2 F 1
Como en la última matriz no se da ninguna relación de dependencia entre sus filas (es imposible hacer una fila de ceros) el rango de B vale 3.
Nota. En el tema de determinantes se verá otra técnica para calcular el rango.
Matriz inversa: definición Una matriz cuadrada A , es inversible (o invertible) si existe otra matriz, de igual tamaño, que se denota por A –1^ y se llama matriz inversa de A, tal que: A · A –1^ = A –1^ · A = I , siendo I la matriz identidad del mismo tamaño que A.
Advertencia. Para que una matriz tenga inversa es necesario que sea cuadrada y que su rango coincida con su orden.
Ejemplo:
La inversa de la matriz
A es
A^1. Para comprobarlo
basta con ver que A · A −^1 = I :
- Cálculo de la matriz inversa Método directo :
- Se escribe A –1^ en función de tantas incógnitas como sea necesario.
- Se hace el producto A · A –1^ y se iguala a la matriz I del mismo tamaño.
- Resolviendo las ecuaciones resultantes se obtienen los elementos de A –1.
Ejemplo:
Si (^)
A , suponemos que^
− c d
a b A
Haciendo A · A –1^ e igualando a (^)
I se tiene:
I
a c b d
a c b d c d
a b A A =
^ =
b d
b d
a c
a c
⇒ a = –4, c = 1; b = –5, d = 1
Luego (^)
A
NOTA: Este método resulta demasiado engorroso para matrices de mayor tamaño.
Método de Gauss.
- Se añade a la derecha de la matriz A la matriz identidad; se forma así la matriz ( A / I ).
- Se transforma dicha matriz, mediante sumas y restas de filas, hasta llegar a la matriz ( I / A –1).
Ejemplo:
Para la misma matriz (^)
A , formamos: ( )
A I
Iniciamos las transformaciones. Se obtiene:
A I →
F 2 F 1
→ (^ )
1 1 1
^ =
IA
F F
(F2 + F1 indica que se suma a la segunda fila la primera; F1 – 5F2, que a la primera fila se le resta la segunda multiplicada por 5).
La matriz inversa de A es (^)
A.
Nota. Para matrices de mayor tamaño este método resulta más laborioso; por eso, en el tema de determinantes se verá otra técnica más eficaz para calcular la inversa de una matriz.
- Algunas propiedades relacionadas con la matriz inversa.
- Si A tiene inversa, su inversa es única.
- Si una fila o una columna de la matriz A es nula, entonces A no es inversible.
- Si A y B son invertibles y del mismo tamaño, entonces su producto también tiene inversa, que vale:
1 · −· − − AB = B A
- Si A tiene inversa, entonces su traspuesta también tiene inversa, que vale:
t t A A^1
− (^1) − = A−^1 )t^.
