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ALGEBRA MATRICIAL
Sylvester – Hamilton
Los comienzos de las matrices y los determinantes datan del siglo II AC, aunque hay
indicios desde el siglo IV AC. Sin embargo, no fue hasta fines del siglo XVII que las ideas
reaparecieron y se desarrollaron con fuerza. Los comienzos de las matrices y los
determinantes surgen a través del estudio de sistemas de ecuaciones lineales. En
Babilonia se estudiaron problemas que involucraban a ecuaciones lineales
simultáneas y algunos de estos son conservados en tabletas de arcilla que
permanecieron en el tiempo.
Los chinos, entre los años 200 AC y 100 AC, estuvieron mucho más cerca de las
matrices que los babilonios. Verdaderamente es justo decir que el texto “Nueve
Capítulos de Arte Matemático”, escrito durante la Dinastía Han, da el primer ejemplo
conocido sobre métodos matriciales.
El origen de las matrices es muy antiguo. Los cuadrados latinos y los cuadrados
mágicos se estudiaron desde hace mucho tiempo. Un cuadrado mágico, por ejemplo
de 3 por 3, se registra en la literatura china hacia el 650 a. C. Los "cuadrados mágicos"
eran conocidos por los matemáticos árabes, posiblemente desde comienzos del siglo
VII, quienes a su vez pudieron tomarlos de los matemáticos y astrónomos de la India,
junto con otros aspectos del análisis combinatorio. Todo esto sugiere que la idea
provino de China. Los primeros "cuadrados mágicos" de orden 5 y 6 aparecieron en
Bagdad en el 983.
Trataremos de hacer un recorrido histórico de la evolución del concepto de matriz,
desde su aparición en el siglo XIX hasta su consolidación en el siglo XX. Conoceremos
las aportaciones de J.J. Sylvester y A. Cayley el año 1850, que introducen la notación
matricial; las escuelas algebraicas inglesas consolidan el concepto de matriz.
En el siglo XX la idea de matriz se transformó en un elemento básico del álgebra. Se
ha pasado de la idea original de Sylvester (1851) de matriz como madre de los menores
de un determinante, por las leyes del cálculo de matrices de Cayley (1858), hasta los
procedimientos de descomposición matricial de Weyr (1885).
Después del desarrollo de la teoría de determinantes por Seki Kowa y Leibniz para
facilitar la resolución de ecuaciones lineales, a finales del siglo XVII, Cramer presentó
en 1750 la ahora denominada regla de Cramer. Carl Friedrich Gauss y Wilhelm Jordán
desarrollaron la eliminación de Gauss-Jordán en el siglo XIX, uno de los dos fundadores
del análisis, desarrolló la teoría de los determinantes en 1693 para facilitar la Resolución
de las ecuaciones lineales. Gabriel Cramer tuvo que profundizar esta teoría,
presentando el método de Cramer en 1750. En los años 1800, el método de eliminación
de Gauss-Jordán se puso a punto. Fue James Joseph Sylvester quien utilizó por primera
vez el término «matriz» en1848/1850.
En 1853 , Hamilton hizo algunos aportes a la teoría de matrices. Cayley introdujo en
1858 la notación matricial , como forma abreviada de escribir un sistema de
ecuaciones lineales.
Cayley, Hamilton, Hermann Grassmann, Frobenius, Olga Taussky-Todd y John von
Neumann cuentan entre los matemáticos famosos que trabajaron sobre la teoría de
las matrices. En 1925 , Werner Heisenberg redescubre el cálculo matricial fundando
una primera formulación de lo que iba a pasar a ser la mecánica cuántica. Se le
considera a este respecto como uno de los padres de la mecánica cuántica. Olga
Taussky-Todd (1906-1995), durante la II Guerra Mundial, usó la teoría de matrices para
investigar el fenómeno de aeroelasticidad llamado fluttering.
Muchos resultados estándar de teoría de matrices elementales aparecieron antes de
que las matrices fueran objeto de investigación matemática. Por ejemplo, de Witt en
“Elementos de curvas”, publicado como una parte de la comentada “Versión Latina de
la Geometría de Descartes” en 1660, muestra como una transformación de ejes
reducen una ecuación dada de una cónica a la forma canónica. Esto resultaba de la
diagonalización de una matriz simétrica, pero, de Witt nunca pensó en estos términos.
Donde .- 𝕂 ≠ ø : Conjunto no vacío ( ℝ, ℂ )
- : Operación binaria de adición
- : Operación binaria de multiplicación
( 𝕂 , + , •) se define como un cuerpo ↔
i) Axioma del cerrado
ii) Axioma asociativo
iii) Existencia del neutro
iv) Existencia del simétrico
v) Axioma conmutativo
vi) Axioma distributivo
vii) Axioma del cerrado (clausura)
viii) Axioma asociativo
ix) Axioma conmutativo
x) Existencia del elemento identidad para la multiplicación
xi) Existencia del elemento simétrico multiplicativo
−𝟏
−𝟏
−𝟏
Por tanto ( 𝕂 , + , •) es un cuerpo
FUNCIONES
Recordemos que Función o Aplicación , se define como una relación biunivoca entre
dos conjuntos:
𝑓 ∶ 𝑥 ↦ 𝑦 Ley de correspondencia
Donde. -
A : Dominio de la función B : Codominio o Rango de Imágenes
La función o aplicación de A en B es una relación entre A y B, y es subconjunto de AxB;
que satisface condiciones de existencia y unicidad
Se define Funcion como Aplicación si el Dominio es todo el conjunto de partida
Recordemos que función o Aplicación , se define como una relación biunivoca entre
dos conjuntos, para definir una Matriz formulemos la aplicación:
A : I
m
x I n
A : ( i, j ) ↦ a
ij
1.1 DEFINICION DE MATRIZ
(𝒊, 𝒋)
(1,1)
(1,2)
(1,n)
(m,1)
(m,2)
(2,2)
(2,n)
(2,1)
(m,n)
a 11
a 12
1
a 1n
1
a 21
a 22
1
a 2n
1
a ij
a m
a m
1
a mn
A
𝐼
𝑚
× 𝐼
𝑛
(𝕂 +,•)
1.3 TRAZA DE UNA MATRIZ
Sea la matriz A = ( a ij
nxn
, entonces Ƭ(A) = a 11
+ a 22
, + a 33
.......
+ a nn
1.4 MATRIZ FILA
A = ( a 11
a 12
a 1n
1xn
1.5 MATRIZ COLUMNA
a
𝟏𝟏
a 𝟐𝟏
.
.
.
.
.
a
𝒎𝟏
𝑚𝑥 1
1.6 MATRIZ NULA
3 𝑥 3
1. 7 MATRIZ IDENTIDAD
I= (
1 0 0
0 1 0
0 0 1
)
3 𝑥 3
1. 8 MATRIZ TRIANGULAR SUPERIOR
𝑈 = (
𝑢
11
𝑢
12
𝑢
13
0 𝑢
22
𝑢
23
0 0 𝑢
33
)
3 𝑥 3
U = ( u ij
nxn
∀ i > j tal que u ij
= 0 con i < j u ii
1. 9 MATRIZ TRIANGULAR INFERIOR
𝐿 = (
𝑙
11
0 0
𝑙
21
𝑙
22
0
𝑙
31
𝑙
32
𝑙
33
)
3 𝑥 3
L = ( l ij
nxn
∀ i < j tal que u ij
= 0 con i > j u ii
1. 10 IGUALDAD DE MATRICES
Sean las matrices A = ( a ij
mxn
y B = ( b ij
mxn
son iguales sisi a ij
= b ij
1. 11 MATRIZ TRASPUESTA
Sea A = ( a ij
mxn
la matriz traspuesta será A
T
= ( a ji
nxm
PROPIEDADES
i) (A + B )
T
= A
T
+ B
T
ii) (A ● B )
T
= B
T
● A
T
iii) ( A
T
T
= A
iv) I
T
= I
v) ( kA )
T
= kA
T
1 .1 2 MATRIZ SIMETRICA
Sea la matriz A = ( a ij
nxn
A es simétrica si y solo si A = A
T
1 .1 3 MATRIZ ANTISIMETRICA
Sea la matriz A = ( a ij
nxn
A es antisimétrica si y solo si A
T
= - A
1 .1 4 MATRIZ ORTOGONAL
Sea la matriz A = ( a
ij
nxn
A es ortogonal si y solo si A
- 1
= A
T
1 .1 5 MATRIZ DIAGONAL
Sea la matriz A = ( a ij
nxn
es diagonal si y solo si a ij
= 0 ∀ i ≠ j tal que a ii
1 .1 6 MATRIZ ESCALAR
Sea la matriz A = ( a
ij
nxn
es escalar si y solo si a
ii
= α ∀α ∈ 𝕂 a
ij
= 0 a
ij
1 .1 7 MATRIZ NORMAL
Sea la matriz A = ( a ij
nxn
es Normal si y solo si: A
T
A = A A
T
1.19 PRODUCTO DE ESCALAR POR MATRIZ
Sea la matriz A = ( a ij
mxn
y "α" un escalar
α A = α ( a
ij
mxn
∀α ∈ 𝕂
α A = ( α a
ij
mxn
EJEMPLO
2x3 2 x 3 2 x 3
PROPIEDADES
i) α ( A + B) = α A + α B ∀α ∈ 𝕂
ii) (α + β)A = αA + β A ∀β ∈ 𝕂
iii) (α β) A = (βα)A
iv) Si α > 0 entones α A la matriz se dilata α A
Si 0 < α <1, entonces la matriz se contrae α A
Si α < 0 entones la matriz cambia de signo α A
ATENTAMENTE:
Ing. Julio César Rodríguez Blacutt
DOCENTE MAT110 3 “ALGEBRA II”
