¡Descarga Cálculo de matrices inversas y resolución de ecuaciones matriciales y más Ejercicios en PDF de Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II solo en Docsity!
25/09/13 Matemàtiques aplicades a les ciències socials 2n Batxillerat
Data d'entrega: Dimarts 1/10/
- Calculeu el rang de les següents matrius: Solució
A =
F 2 = 2F 1 − F 2 F 3 = 3F 1 − F 3 F 4 = 6F 1 − F 4
F^2 ↔^ F^4
F 3 = F 2 − F 3
F 4 = F 3 − F 4
Com tenim 3 les diferents de zero: Rang(A) = 3
B =
F 1 ↔ F 2
F 3 = F 3 − 2 F 1
F 3 = F 3 − F 2
Com tenim 2 les diferents de zero: Rang(B) = 2
- Discutiu, segons els valors de a, el rang de la matriu: A =
a + 2 1 1 a − 1 a a − 1 1 a − 1 a + 1 0 a + 1 a − 1
Solució Apliquem el mètode de Gauss. Considerem el cas a + 2 6 = 0, ja que per començar el mètode no podem tenir un zero al terme a 11.
A =
a + 2 1 1 a − 1 a a − 1 1 a − 1 a + 1 0 a + 1 a − 1
F 2 = aF 1 − (a + 2)F 2 a 22 = a − (a + 2)(a − 1) = = a − (a^2 − a + 2a − 2) = = a − (a^2 + a − 2) = 2 − a^2 a 23 = a − (a + 2) = − 2 a 24 = a(a − 1) − (a + 2)(a − 1) = = (a − 1)(a − a − 2) = −2(a − 1)
a + 2 1 1 a − 1 0 2 − a^2 − 2 −2(a − 1) a + 1 0 a + 1 a − 1
F 3 = (a + 1)F 1 − (a + 2)F 3 a 33 = (a + 1) − (a + 2)(a + 1) = = (a + 1)(1 − a − 2) = = (a + 1)(−a − 1) = −(a + 1)^2 a 34 = (a + 1)(a − 1) − (a + 2)(a − 1) = = (a − 1)(a + 1 − a − 2) = 1 − a
a + 2 1 1 a − 1 0 2 − a^2 − 2 −2(a − 1) 0 a + 1 −(a + 1)^2 1 − a
F 3 = (a + 1)F 2 − (2 − a^2 )F 3 a 33 = −2(a + 1) + (2 − a^2 )(a + 1)^2 = = (a + 1)(−2 + (2 − a^2 )(a + 1)) = = (a + 1)(−2 + 2a + 2 − a^3 − a^2 ) = = (a + 1)a(2 − a^2 − a) = = −a(a + 1)(a + 2)(a − 1) = = −a(a + 2)(a^2 − 1) a 34 = (a + 1)(−2(a − 1)) − (2 − a^2 )(1 − a) = = −2(a + 1)(a − 1) + (2 − a^2 )(a − 1) = = (a − 1)(− 2 a − 2 + 2 − a^2 ) = = (a − 1)a(− 2 − a) = −(a − 1)a(2 + a)
a + 2 1 1 a − 1 0 2 − a^2 − 2 −2(a − 1) 0 0 a(a + 2)(a^2 − 1) −(a − 1)a(2 + a)
Mirem diferents valors de a, susceptibles de fer 0 a tota una la: a = 0 (^)
(^) =⇒ Rang(A) = 2
a = 1 (^)
(^) =⇒ Rang(A) = 2
a = − (^1)
(^) =⇒ Rang(A) = 3
a = − 2 Aquest cas no el podem considerar utilitzant la matriu que tenim perquè l'hem descartat al comença- ment. Hem de tornar a fer el mètode només per aquest cas:
A =
(^) =⇒ Rang(A) = 3
Per la resta de valors de a el rang de la matriu serà 3.
- Calculeu les inverses de les següents matrius mitjançant el mètode de Gauss-Jordan:
A =
B =
Solució Per a la matriu A:
F F^23 = 5= 3FF^11 −−^22 FF^23
F 3 = 7F 2 − 3 F 3
F 1 = F 1 − F 2
F 1 = 8F 1 + F 3
F 2 = 4F 2 − F 3
F F^12 ==^ FF^12 //^1612
F 3 = F 3 / 32
Aleshores, la matriu inversa serà:
A−^1 =
13 16 −^
7 16
3 16
Podem treure factor comú un 161 :
A−^1 =
+ X =
X =
X =
X =
(b) Calculeu C^3 Solució C^3 =
- Considereu la matriu A =
(a) Una matriu B, la primera la de la qual és (1, 0), té dues columnes i compleix que
A · B =
Completeu-la. Solució Per tal que la matriu A · B sigui una matriu 2 × 2 , la matriu B hauria de tenir 3 les i 2 columnes:
A · B = (2 × 3) · (3 × 2) = 2 × 2
La matriu B serà, doncs:
B =
a b c d
S'ha de complir que: A · B =
A · B =
a b c d
1 + 2a + 2c 2 b + 2d 2 + a − c b − d
1 + 2a + 2c = 5 2 b + 2d = − 2 2 + a − c = 3 b − d = − 5
1 + 2a + 2c = 5 { 2 +^ a^ −^ c^ = 3 2 b + 2d = − 2 b − d = − 5
1 + 2a + 2c = 5 4 + 2a − 2 c = 6
5 + 4a = 11 ⇒ a = 114 − 5 = 64 =
= a
1 + 2 32 + 2c = 5 ⇒ c =
^2
2 b + 2d = − 2 2 b − 2 d = − 10 4 b = − 12 ⇒ b = − 3 −6 + 2d = − 2 ⇒ 2 d = 4 ⇒ d = 2 Aleshores, la matriu B és:
B =
3 21 −^3 2 2
(b) Feu els càlculs pertinents per a comprovar que (A · B)t^ = At^ · Bt Solució Calculem (A · B)t:
(A · B)t^ =
)t
Calculem At^ i Bt:
At^ =
)t
Bt^ =
3 21 −^3 2 2
t
I ara, calculem At^ · Bt:
At^ · Bt^ =
La relació (A · B)t^ = At^ · Bt^ no es compleix, però: (A · B)t^ = Bt^ · At^ sí:
Bt^ · At^ =
- Considerem les matrius A =
i B =
(a) Justi queu si és possible efectuar A · B o B · A. En cas a rmatiu, calculeu-ho. Solució La dimensió de A és 2 × 3 i la de B és 2 × 2. Seguint la regla de que només es poden multiplicar dues matrius les quals el número de columnes de la primera coincideixi amb el número de les de la segona, l'única opció possible és: B · A:
B · A =
Hem de calcular els elements a, b, c i d, imposem que s'ha de complir que el producte A · B ha de donar la matriu donada: A · B =
a b c d
2 − a + 3c 1 − b + 3d −6 + a − 2 c −3 + b − 2 d
Per a què dues matrius siguin iguals, els seus elements han de coincidir. Per tant, podem escriure el següent sistema de 4 equacions amb 4 incògnites:
2 − a + 3c = 1 −6 + a − 2 c = 1 1 − b + 3d = 3 −3 + b − 2 d = 2
−a + 3c = − 1 a − 2 c = 7 −b + 3d = 2 b − 2 d = 5
Resolem els sistemes per separat:
−a + 3c = − 1 a − 2 c = 7 c = 6
⇒ a = 7 + 2c = 7 + 12 = 19 = a
−b + 3d = 2 b − 2 d = 5 d = 7
⇒ b = 5 + 2d = 5 + 14 = 19 = b
Aleshores la matriu B és:
B =
(b) Calculeu (A · B)−^1 Solució Podem calcular la inversa de la matriu
mitjançant el mètode de Gauss-Jordan:
( 1 3 1 0 1 2 0 1
F 2 = F 1 − F 2
F 1 = F 1 − 3 F 2
Aleshores la matriu inversa és: (^) ( − 2 3 1 − 1
- Considereu les matrius següents: A =
B =
(a) Comproveu si aquestes dues matrius compleixen (A + B)^2 = A^2 + 2A · B + B^2. Solució Calculem, d'una banda (A + B)^2. Primer fem A + B:
A + B =
I ara: (A + B)^2 :
(A + B)^2 =
= I
Ara calculem A^2 , 2 A · B i B^2 :
A^2 =
2 A · B = 2
B^2 =
Finalment, calculem A^2 + 2A · B + B^2 :
6 = I
Els dos resultats no coincideixen, per tant (A + B)^2 6 = A^2 + 2A · B + B^2 : (b) Si P i Q són matrius quadrades qualsevol d'ordre 3 , quina condició s'ha de produir perquè es compleixi (P + Q)^2 = P 2 + 2P · q + Q^2? Solució Si desenvolupem l'expressió (P + Q)^2 :
(P + Q)^2 = (P + Q)(P + Q) = P 2 + P · Q + Q · P + Q^2
Per a què aquesta expressió sigui igual a
P 2 + 2P · Q + Q^2
S'ha de complir que P · Q = Q · P , és a dir, que les matrius P i Q commutin.
- Donades les matrius següents: A =
B =
C =
(a) Calculeu A−^1 i B−^1 Solució Ho fem pel mètode de Gauss-Jordan:
A−^1 →
F 2 = F 1 + F 2
F 1 = −F 1
⇒ A−^1 =
B−^1 →
F 2 = F 2 − 2 F 1
F 1 = F 1 + 2F 2
F 2 = −F 2
⇒ B−^1 =
