Matrices y Determinantes: Ejercicios y Conceptos Básicos | Apuntes de Matemáticas

I.E.S. Marqués de Comares Departamento de Matemáticas

MCS-II. Tema 1. Matrices y determinantes Página 1

1.0. Introducción.

En general podemos decir que una lista de números expresada en una tabla de doble entrada puede

expresarse ordenadamente mediante una matriz. Así por ejemplo, la siguiente tabla de doble entrada que

muestra los alumnos de dos grupos clasificados según sus tallas se puede representar en forma de matriz del

modo siguiente:

Menos de 1’60 m

De 1’60 m. a 1’70 m.

Más de 1’70 m.













121088157

Grupo A

Grupo B

1.1. Definiciones básicas.

Definición: Una matriz real de orden m x n es un conjunto de m.n números reales, colocados en una tabla de

m filas y n columnas.

De forma general, las matrices se representan

mn3m2m1m

n2232221

n1131211

a...aaa ............... a...aaa a...aaa

A















Los números reales

son los elementos de la matriz, con i =1,…,m y j =1,…,n. De forma

abreviada, la matriz A se puede expresar como

 

aA 

. El primer subíndice i indica la fila y el segundo

subíndice j la columna donde se encuentra situado cada elemento dentro de la matriz.

Ejemplo: En la matriz















 



711 020 131 102

de orden 4x3,

7a,0a,1a,2a 43311311 

, etc.

Igualdad de matrices: Dos matrices del mismo orden m x n

 

aA 

 

bB 

son iguales cuando aij=bij

para todo par (i,j), es decir, si todos los elementos que ocupan la misma posición son iguales.

Matriz fila (o vector fila) Son las de orden 1x n. Tienen una sola fila. Ej:

 

3,3,0,1A 

de orden 1x4.

Matriz columna (o vector columna) Son las de orden mx1. Tienen una sola columna. Ej:













3

es de

orden 3x1.

Matriz traspuesta: Dada una matriz

 

aA 

, de orden mxn, se llama matriz traspuesta de A y se nota At, a la

matriz de orden nxm que resulta al cambiar las filas de A por columnas o las columnas por filas.

Si llamamos B=(bij) =At, debe verificarse que bij=aji, para todo par (i,j).

Ejemplo: Si















 25 31 20

, su traspuesta será















232 510

Propiedad: Se cumple que:

 

AA t

t

Matriz nula: Es aquélla cuyos elementos son todos nulos, es decir, aij=0, para todo par (i,j). Se suele

representar con la letra O. Ejemplo: La matriz nula de orden 2x3 es













000 000

Matrices cuadradas: Se dice que una matriz

 

aA 

es cuadrada cuando tiene el mismo número de filas que

de columnas, es decir, cuando

nm 

. Una matriz cuadrada de orden nxn se dice sencillamente

que es de orden n. Su forma general es:















nn3n2n1n

n2232221

n1131211

a...aaa ............... a...aaa a...aaa

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1.0. Introducción.

En general podemos decir que una lista de números expresada en una tabla de doble entrada puede

expresarse ordenadamente mediante una matriz. Así por ejemplo, la siguiente tabla de doble entrada que

muestra los alumnos de dos grupos clasificados según sus tallas se puede representar en forma de matriz del

modo siguiente:

Menos de 1’60 m De 1’60 m. a 1’70 m. Más de 1’70 m.

Grupo A Grupo B 78 1510 128   87 1015 128 

1.1. Definiciones básicas.

Definición: Una matriz real de orden m x n es un conjunto de m.n números reales, colocados en una tabla de

m filas y n columnas.

De forma general, las matrices se representan m n

m 1 m 2 m 3 mn

21 22 23 2 n

11 12 13 1 n M x a a a ... a

... ... ... ... ...

a a a ... a

a a a ... a A  













 .

Los números reales aij son los elementos de la matriz, con i =1,…,m y j =1,…,n. De forma

abreviada, la matriz A se puede expresar como A  aij. El primer subíndice i indica la fila y el segundo

subíndice j la columna donde se encuentra situado cada elemento dentro de la matriz.

Ejemplo: En la matriz

A de orden 4x3, a 11  2 ,a 13  1 ,a 31  0 ,a 43  7 , etc.

Igualdad de matrices: Dos matrices del mismo orden m x n A  aijy B  bijson iguales cuando aij=bij

para todo par (i,j), es decir, si todos los elementos que ocupan la misma posición son iguales.

Matriz fila (o vector fila) Son las de orden 1x n. Tienen una sola fila. Ej: A  1 , 0 , 3 , 3  de orden 1x4.

Matriz columna (o vector columna) Son las de orden mx1. Tienen una sola columna. Ej: 

B es de

orden 3x1.

Matriz traspuesta: Dada una matriz A  aij, de orden mxn, se llama matriz traspuesta de A y se nota At, a la

matriz de orden nxm que resulta al cambiar las filas de A por columnas o las columnas por filas.

Si llamamos B=(bij) =At, debe verificarse que bij=aji, para todo par (i,j).

Ejemplo: Si 

A , su traspuesta será A t  20  31  25 .

Propiedad: Se cumple que:A t^ t A

Matriz nula: Es aquélla cuyos elementos son todos nulos, es decir, aij=0, para todo par (i,j). Se suele

representar con la letra O. Ejemplo: La matriz nula de orden 2x3 es O  00 00 00 .

Matrices cuadradas: Se dice que una matriz A  aijes cuadrada cuando tiene el mismo número de filas que

de columnas, es decir, cuando m n. Una matriz cuadrada de orden nxn se dice sencillamente

que es de orden n. Su forma general es:

n 1 n 2 n 3 nn

21 22 23 2 n

11 12 13 1 n

a a a ... a

a a a ... a A

En toda matriz cuadrada, se llama diagonal principal a la formada por los elementos a 11 , a 22 , …,

ann , y diagonal secundaria a la formada por los elementos a 1 n, a 2 n- 1 ,…, an 1.

Ejemplo: 

A es cuadrada de orden 3. Su diagonal principal está formada por los

elementos 5, – 3, 1, y su diagonal secundaria por 3, – 3, 4.

Dentro de las matrices cuadradas, cabe destacar algunos tipos:

Matrices diagonales: Una matriz se dice diagonal cuando todos los elementos no situados en la diagonal

principal son nulos, es decir a ij  0 ,si ij. Ej: La matriz 

A es diagonal.

Matrices escalares: Una matriz diagonal se llama escalar si todos los elementos de su diagonal principal son

iguales entre sí. Ejemplo: A  03  30 es una matriz escalar de orden 2.

Matriz unidad o matriz identidad: Es una matriz escalar tal que los elementos de su diagonal principal valen

todos uno. Se representar por la letra I. Ej: La matriz unidad de orden 3 es 

I 3

Matrices triangulares: Una matriz cuadrada se dice triangular superior si todos los elementos situados por

debajo de la diagonal principal son nulos, es decir, a ij  0 , siij.

Cuando son nulos todos los elementos situados por encima de la diagonal principal, la matriz se

llama triangular inferior, es decir, a ij  0 ,siij.

Ejemplos: Las matrices 

A y 

B son triangulares.

Matrices simétricas: Una matriz cuadrada A  aijse dice simétrica cuando a (^) ij ajipara todo par (i,j), es

decir, cuando son iguales los elementos simétricos respecto a la diagonal principal de la matriz.

Ejemplo: 

A es una matriz simétrica.

Consecuencia: Si una matriz cuadrada es simétrica, se verifica que su matriz traspuesta es idéntica

a ella, y viceversa, es decir: A es simétrica A=At

1.2. Suma y diferencia de matrices.

Dadas dos matrices del mismo orden m x n A  aijy B  bij, se llama matriz suma de A y B y

se representa por A+B a la matriz que resulta de sumar los elementos que ocupan la misma posición de A

con el correspondiente de B, es decir, si llamamos A+B = C = (cij), los elementos de C son cij=aij+bij, para

cada par (i,j).

Ejemplo: ^23  01  38 +  01  17  12 =  31  16  46 .

Propiedades de la suma de matrices: Siendo A, B y C tres matrices del mismo orden, se verifican las

siguientes propiedades:

Asociativa: A+(B+C)=(A+B)+C
Conmutativa: A+B=B+A
Existencia de elemento neutro: A+O=O+A=A, siendo O la matriz nula.
Existencia de elemento opuesto: Cada matriz A posee una matriz opuesta, – A, que se obtiene

cambiando el signo a todos sus elementos y verifica que: A+(–A)=(–A)+A=O.

Se cumple que A Bt AtBt

Propiedades:

1. A ^1  ^1 A

2. A B ^1 B^1 A^1

3. A t^  1  A^1 t

Cálculo de la matriz inversa por el método de Gauss-Jordan

Se escribe la matriz cuadrada A y adosada por la derecha la matriz unidad I,

a a a

a a a 31 32 33

21 22 23

11 12 13

seguidamente se realizan operaciones elementales entre filas ( Fij  intercambiar

la fila i y la fila j, Fi(k)  multiplicar la fila i por el número k y Fij(k)  sumar a la fila i la fila j

multiplicada por el número k) de la matriz A y simultáneamente sea realizan las mismas operaciones

elementales en la matriz I hasta conseguir en el lugar de la matriz A la matriz unidad I y la matriz que resulta

en el lugar de I es precisamente la matriz inversa de A.

Ejemplo:

A I

F ( 3 )

F ( 2 )

F 23

 FF (( 11 ))

F ( 2 )

 F( 1 )

2 I A^1



1.5. Rango de una matriz por el método de Gauss

Matriz escalonada. Una matriz A Mmn se dice escalonada si:

a) Las filas posteriores a una fila cuyos elementos son todos cero, tienen también todos

sus elementos iguales a cero.

b) El número de elementos igual a cero al comienzo de una fila no nula es estrictamente

menor que en la siguiente.

Rango de una matriz. Se define el rengo de una matriz A Mmn como el número de filas no nulas de la

matriz escalonada asociada a ella y se representa por rg(A).

Mediante operaciones elementales por filas, cualquier matriz se puede transformar, de

múltiples maneras, en una matriz escalonada.

Ejemplo:

 

 

 

 

2 1 0 3 4 0 1 2 1 2 1 1 1 2 3

F 13

1 1 1 2 3 0 1 2 1 2  2 1 0 3 4

 

 

 



F^31 (2)

1 1 1 2 3 0 1 2 1 2 0 3 2 7 10

 

 

 



 F 32 (-3)

1 1 1 2 3 0 1 2 1 2 0 0  4 4 4

 

 

 



 que es

una matriz escalonada y por tanto rg(A) = 3

1.6. Aplicaciones de las matrices a la resolución de problemas.

Aplicación del producto.

Ejemplo: Una fábrica decide distribuir tres productos alimenticios A, B y C a cuatro países de África P 1 , P 2 ,

P 3 y P 4 según se describe en la matriz M 1 (cantidades en toneladas). Esta fábrica ha recibido

presupuestos de dos empresas para el transporte de los productos a los países de destino según

indica la matriz M 2 (en euros por tonelada).

A B C

P

M

1 1 ^  510500 400450 400375 350350 

P P P P

E

M E

1 2 3 4 2

2 1 Si^ efectuamos^ el^ producto M^2 M 1

500450375350 En la matriz producto:

El elemento a 11 representa el coste total del presupuesto de la empresa E 1 por llevar el

producto A a los cuatro países.

El elemento a 23 representa lo que cuesta transportar el producto C con la empresa E 2.

Los elementos de la matriz producto que permiten decir cuál es la empresa que más barato

transporta el producto B a todos los países son el a 12 y el a 22 , que en este caso sería la empresa E 2

con un coste de 239.000 €

1.7. Determinantes de segundo orden.

Dada una matriz cuadrada de orden 2, A aa 2111 aa^1222 , llamamos determinante de A, y se representa

por det(A), o bien A, al número real que resulta al realizar las operaciones: A^ det^ A^ a 11 a 22 a 12 a 21

Ejemplo: Sea A  21 ^31 . Tendremos A  21  13 =1·(–1)–3·(–2)=5.

Propiedades de los determinantes:

1. Si At^ es la matriz traspuesta de A, se cumple que det(At)=det(A).

2. Si todos los elementos de una fila (o columna) de A son nulos, entonces det(A)=0.

3. Si intercambiamos entre sí dos filas (o columnas) de A, el determinante de la matriz B así obtenida es

opuesto al determinante de A, o sea, det(B)= – det(A).

4. Si la matriz A tiene dos filas (o columnas) iguales, se cumple que det(A)=0.

5. Si una fila (o columna) de una matriz A es proporcional a otra fila (o columna), entonces det(A)=0.

6. Si se multiplica una fila (o columna) de una matriz A por un número real , el determinante de la nueva

matriz B así obtenida es igual al producto de  por el determinante de A, es decir, det(B)= ·det(A).

7. Si cada elemento de una fila (o columna) de una matriz A se puede descomponer en suma de dos

sumandos, es decir, a 11 a' 11 a'' 11 y a 12 a' 12 a'' 12 , entonces el determinante de A se puede

descomponer en suma de dos determinantes:

det(A)= aa^1121 aa 2212 = a^11 a 21 a^11  a^12  a 22 a^12  = aa^11 21  aa 2212  +aa^2111  aa 2212 

8. Si a una fila (o columna) de una matriz A se le suma otra fila (o columna) previamente multiplicada por

un número real cualquiera, y se conservan las demás filas (o columnas) de A, el determinante de la

matriz B así construida es igual al determinante de A.

9. Si una fila (o columna) de una matriz A es combinación lineal de otras filas (o columnas) de dicha

matriz, entonces det(A)=0.

Nota: Se dice que una fila (o columna) de una matriz es combinación lineal de otras, cuando se puede

expresar como suma de dichas filas (o columnas) previamente multiplicadas por determinados

números reales.

1.9. Producto de determinantes.

Sean A y B dos matrices cuadradas de orden “n”. Entonces, se verifica que:

det(A·B)=det(A)·det(B), o bien A·B=A·B

Ejemplo: Sean A   21 03 y B ^21  23 . Entonces A B 41  69 y tenemos:

A·B=A·B= (–6)·7 = – 42.

1.10. Matriz inversa (mediante determinantes).

Dada una matriz A cuadrada de orden n, se dice que la matriz A-1^ es inversa de A cuando los

productos A·A-1=A-1·A=I dan como resultado la matriz unidad I de orden n. Las matrices que poseen inversa

se denominan inversibles o regulares.

Cálculo de la matriz inversa: La condición necesaria y suficiente para que una matriz A sea inversible es que

A 0. En este caso, se demuestra que: A-1^ = (^) A^1 ·(A)t, donde A es la matriz adjunta de A, que se obtiene

de sustituir cada elemento de A por su correspondiente adjunto

Ejemplo: Calculamos la matriz inversa de 

A.

 En primer lugar, calculamos A = – 7 0, luego existe A-1.

 Calculamos los adjuntos de los elementos de A:

A 11 = 02 ^21 = – 2; A 12 = –  31  12 =5; A 13 =  31 02 = – 6;

A 21 = –  01 ^01 = – 1; A 22 = 31  10 = – 1; A 23 = – 31  01 = – 3;  A*= 

A 31 =  21 20 = – 2; A 32 = –  11 20 = – 2; A 33 =  11  21 =1.

 Finalmente A-1^ = (^) A^1 ·(A*)t^ = (^) ^17 ·  

Propiedades de la matriz inversa:

Si A es inversible, entonces A -^1  A^1.

1.11. Menor de orden r de una matriz

Dada una matriz A  Mm xn, llamamos menor de orden “r” de A al determinante de la matriz que se

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1.0. Introducción.

En general podemos decir que una lista de números expresada en una tabla de doble entrada puede

expresarse ordenadamente mediante una matriz. Así por ejemplo, la siguiente tabla de doble entrada que

muestra los alumnos de dos grupos clasificados según sus tallas se puede representar en forma de matriz del

modo siguiente:

Menos de 1’60 m De 1’60 m. a 1’70 m. Más de 1’70 m.

Grupo A Grupo B 78 1510 128   87 1015 128 

1.1. Definiciones básicas.

Definición: Una matriz real de orden m x n es un conjunto de m.n números reales, colocados en una tabla de

m filas y n columnas.

De forma general, las matrices se representan m n

Los números reales aij son los elementos de la matriz, con i =1,…,m y j =1,…,n. De forma

abreviada, la matriz A se puede expresar como A  aij. El primer subíndice i indica la fila y el segundo

subíndice j la columna donde se encuentra situado cada elemento dentro de la matriz.

Ejemplo: En la matriz

A de orden 4x3, a 11  2 ,a 13  1 ,a 31  0 ,a 43  7 , etc.

Igualdad de matrices: Dos matrices del mismo orden m x n A  aijy B  bijson iguales cuando aij=bij

para todo par (i,j), es decir, si todos los elementos que ocupan la misma posición son iguales.

Matriz fila (o vector fila) Son las de orden 1x n. Tienen una sola fila. Ej: A  1 , 0 , 3 , 3  de orden 1x4.

Matriz columna (o vector columna) Son las de orden mx1. Tienen una sola columna. Ej: 

B es de

orden 3x1.

Matriz traspuesta: Dada una matriz A  aij, de orden mxn, se llama matriz traspuesta de A y se nota At, a la

matriz de orden nxm que resulta al cambiar las filas de A por columnas o las columnas por filas.

Si llamamos B=(bij) =At, debe verificarse que bij=aji, para todo par (i,j).

Ejemplo: Si 

A , su traspuesta será A t  20  31  25 .

Propiedad: Se cumple que:A t^ t A

Matriz nula: Es aquélla cuyos elementos son todos nulos, es decir, aij=0, para todo par (i,j). Se suele

representar con la letra O. Ejemplo: La matriz nula de orden 2x3 es O  00 00 00 .

Matrices cuadradas: Se dice que una matriz A  aijes cuadrada cuando tiene el mismo número de filas que

de columnas, es decir, cuando m n. Una matriz cuadrada de orden nxn se dice sencillamente

que es de orden n. Su forma general es:

En toda matriz cuadrada, se llama diagonal principal a la formada por los elementos a 11 , a 22 , …,

Ejemplo: 

A es cuadrada de orden 3. Su diagonal principal está formada por los

elementos 5, – 3, 1, y su diagonal secundaria por 3, – 3, 4.

Dentro de las matrices cuadradas, cabe destacar algunos tipos:

Matrices diagonales: Una matriz se dice diagonal cuando todos los elementos no situados en la diagonal

principal son nulos, es decir a ij  0 ,si ij. Ej: La matriz 

A es diagonal.

Matrices escalares: Una matriz diagonal se llama escalar si todos los elementos de su diagonal principal son

iguales entre sí. Ejemplo: A  03  30 es una matriz escalar de orden 2.

Matriz unidad o matriz identidad: Es una matriz escalar tal que los elementos de su diagonal principal valen

todos uno. Se representar por la letra I. Ej: La matriz unidad de orden 3 es 

I 3

Matrices triangulares: Una matriz cuadrada se dice triangular superior si todos los elementos situados por

debajo de la diagonal principal son nulos, es decir, a ij  0 , siij.

Cuando son nulos todos los elementos situados por encima de la diagonal principal, la matriz se

llama triangular inferior, es decir, a ij  0 ,siij.

Ejemplos: Las matrices 

A y 

B son triangulares.

decir, cuando son iguales los elementos simétricos respecto a la diagonal principal de la matriz.

Ejemplo: 

A es una matriz simétrica.

Consecuencia: Si una matriz cuadrada es simétrica, se verifica que su matriz traspuesta es idéntica

1.2. Suma y diferencia de matrices.

se representa por A+B a la matriz que resulta de sumar los elementos que ocupan la misma posición de A

con el correspondiente de B, es decir, si llamamos A+B = C = (cij), los elementos de C son cij=aij+bij, para

cada par (i,j).

Ejemplo: ^23  01  38 +  01  17  12 =  31  16  46 .

Propiedades de la suma de matrices: Siendo A, B y C tres matrices del mismo orden, se verifican las

siguientes propiedades:

cambiando el signo a todos sus elementos y verifica que: A+(–A)=(–A)+A=O.

Propiedades:

1. A ^1  ^1 A

2. A B ^1 B^1 A^1

3. A t^  1  A^1 t

Cálculo de la matriz inversa por el método de Gauss-Jordan

Se escribe la matriz cuadrada A y adosada por la derecha la matriz unidad I,

seguidamente se realizan operaciones elementales entre filas ( Fij  intercambiar

la fila i y la fila j, Fi(k)  multiplicar la fila i por el número k y Fij(k)  sumar a la fila i la fila j

multiplicada por el número k) de la matriz A y simultáneamente sea realizan las mismas operaciones

elementales en la matriz I hasta conseguir en el lugar de la matriz A la matriz unidad I y la matriz que resulta

en el lugar de I es precisamente la matriz inversa de A.