Introducción a la Matemática para Ingeniería: Matrices y Determinantes, Diapositivas de Matemáticas

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MATRICES – DETERMINANTES

Sesión 2

INTRODUCCIÓN A LA

MATEMÁTICA PARA

INGENIERÍA

Corresponde el Determinante solo a Matrices Cuadradas y denotamos por:

11 12 11 22 21 12 21 22

a a

Si A A a a a a

a a

2 2

1 5 x

A

Ejemplo: Hallar el determinante de la siguiente matriz

A  (2)(5)  ( 1)( 3)   7

Determinante de una matriz de orden 2

DETERMINANTE DE UNA MATRIZ

Determinante de una matriz de orden 1

Por convención el determinante es el mismo elemento

• Determinante de una matriz de orden 3: Método de Sarrus

Se colocan las dos primeras columnas.

Se multiplican los elementos de las tres diagonales principales y se suman 2 2 3 + 1 3 1 + 1 3 4 = 27

Se multiplican los elementos de las tres diagonales secundarias y se suman 1 2 1 + 4 3 2 + 3 3 1 = 35

Es el Determinante

Matriz de Menores

1 2 3 2 4 1 2 3 4 𝟏 𝐸𝑙𝑒𝑔𝑖𝑚𝑜𝑠 𝑙𝑎 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑟𝑎 𝑐𝑜𝑙𝑢𝑚𝑛𝑎

𝟐 (^) 𝟑

𝟕

Se elige una fila o una columna cualquiera de la matriz

Determinante de

Elegimos el primer elemento y eliminamos la fila y la columna

𝟒 𝟓

𝟔

Determinante de 2 3 3 4

Elegimos el segundo elemento y eliminamos la fila y la columna

Elegimos el tercer elemento y eliminamos la fila y la columna

Determinante de 2 3 4 1

A estos números se les llama menores

𝟐 (^) 𝟑

𝟕

Determinante de

Elegimos el primer elemento y eliminamos la fila y la columna

𝟒 𝟓

𝟔

Determinante de 1 3 2 4

Elegimos el segundo elemento y eliminamos la fila y la columna

Elegimos el tercer elemento y eliminamos la fila y la columna

Determinante de 1 3 2 1

A estos números se les llama menores

Matriz de Menores

Determinantes: Método de cofactores

Si tiene la matriz de cofactores de una matriz puede elegir una fila en ambas matrices.

Elegimos la primera fila en ambas

1 2 3 13 −^6 −^2

Elegimos la tercera columna en ambas

3 1 4

− 2 1 0

Si tiene la matriz de cofactores de una matriz puede elegir una columna en ambas matrices.

Una matriz tiene inversa solo si su determinante es diferente de cero

Matriz Inversa:

−

adj A

adj A = Matriz Adjunta (^) = (𝐶𝑜𝑓𝐴) 𝑇

−𝟏

Hallar la inversa de

−

adj A =

𝑇

𝐴 =

1 2 3 2 4 1 2 3 4 Solución:

Del ejemplo anterior: Matriz de cofactores Cof A =

EJEMPLO 2:

Se denomina operaciones elementales por filas sobre

una matriz A, a las siguientes operaciones:

a) Al intercambio de 2 filas.

b) A la multiplicación de una fila por un escalar no nulo.

c) A una fila le sumamos otra fila multiplicada por un

escalar real.

Ejemplo 3:

Encontrar la inversa de

A 2 4 2

 ^ 

 A^ 

1 0 2 2 1 3 4 1 8

1 0 0 0 1 0 0 0 1

   (^)      

  B

1 B A  

1 3 1 3

2f f 4f f

   

1 0 2 1 0 0 0 1 1 2 1 0 0 1 0 4 0 1

   (^)        (^)  

f 2 f 3

1 0 2 1 0 0 0 1 1 2 1 0 0 0 1 6 1 1

   (^)        (^)   

2 3

f f

 

1 0 2 1 0 0 0 1 1 2 1 0 0 0 1 6 1 1

   (^)      (^)   

Primero construimos la matriz ,usando OEF pasamos la

matriz identidad a la izquierda , entonces

.

4000

4000

EJEMPLO 4: