Introducción a la Matemática para Ingeniería: Matrices, Apuntes de Matemáticas

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INTRODUCCIÓN A LA MATEMÁTICA PARA

INGENIERÍA

13 de abril de 2020

Capítulo 1

MATRICES - TIPOS - ÁLGEBRA DE

MATRICES

Divide las dicultades que examinas en tantas partes como sea posible para su mejor solución. RENÉ DESCARTES

LOGRO DE LA SESIÓN:

Al nalizar la unidad, el estudiante ubica los elementos de una matriz por medio de la lectura de las y columnas e identica los diferentes tipos de matrices y realiza operaciones con matrices

1.1. Matriz

Una matriz Am×n es un arreglo rectangular m × n de números dispuestos en m las (reglo- nes) y n columnas.       

a 11 a 12 · · · a 1 j · · · a 1 n a 21 a 22 · · · a 2 j · · · a 2 n .. .

ai 1 ai 2 · · · aij · · · ain .. .

am 1 am 2 · · · amj · · · amn

Notación: Am×n = [aij ]m×n : Matriz de m las y n columnas. aij : Elemento de la matriz ubicado en la i − esima la y la j − esima columna

1.2. Tipos de Matrices

1.2.1. Matriz Fila

Es aquella matriz formada por una sola la o reglón

A =

[

]

1 × 5

1.2.2. Matriz Columna

Es aquella matriz formada por una sola co- lumna.

B =

3 × 1

1.2.3. Matriz Rectangular

Es aquella matriz donde el número de las y columnas son diferentes.

M =

3 × 4

1.2.4. Matriz Cuadrada

Es aquella matriz donde el número de las y columnas son iguales. Además, a los elementos aij , con i = j , se le llama diagonal principal.

M =

3 × 3

1

1.3. Traza de una Matriz

Sea la matriz cuadrada A = [aij ]n ; se llama traza de A (T r(A)) al número que resulta de la suma de los elementos de la diagonal principal

Tr (A) = a 11 + a 22 + ... + ann

1.4. Operaciones con Matrices

1.4.1. Suma de Matrices

Dadas dos matrices A y B del mismo orden, se dene su suma como una matriz C del mis- mo orden, la cual está compuesta por la suma de cada elemento de la matriz A con su corres- pondiente elemento en la matriz B.

[aij ]mxn + [bij ]mxn = [cij ]mxn [ 2 − 1 3 0

]

[

]

[

]

1.4.2. Resta de Matrices

La resta de matrices es la suma de A con el opuesto de B.

[aij ]mxn − [bij ]mxn = [cij ]mxn [ 2 − 1 3 0

]

[

]

[

]

1.4.3. Producto por un Escalar

Es la matriz B cuyos elementos se obtienen de multiplicar cada elemento de la matriz A por un número α

α.[aij ]mxn = [α.aij ]mxn = [bij ]mxn

[

]

[

]

1.4.4. Multiplicación de Matrices

Para poder multiplicar dos matrices A y B es necesario que el número de columnas de A sea igual al número de las de B , de lo contra- rio no se podrá evaluar el producto. Y el orden de la nueva matriz C estará dado por el número de las de A y el número de columnas de B. La multiplicación se da las por columnas.

[aij ]pxq · [bij ]qxn = [cij ]pxn

A · B =

[

]

2x

3 x 2 [(−1)(0) + (2)(1) + (0)(2) A^ (·−^ B1)(^ =−3) + (2)(2) + (0)(−1) (3)(0) + (1)(1) + (2)(2) (3)(−3) + (1)(2) + (2)(−1)

] 2 x 2

C =

[

]

2x

Nota: Dado como está denida la multi- plicación de matrices, se tiene que la multipli- cación de matrices, en general, no cumple la propiedad conmutativa. A · B 6 = B · A

Propiedades con Adición y/o Multiplica- ción de Matrices

k (A + B ) = kA + kB

A + B = B + A

A · B · C = A · (B · C ) = (A · B ) · C

A · (B + C ) = (A · B ) + (A · C )

A · B = 0 , no implica que A = 0 o que B = 0

A · B = A · C , no implica que B = C

INTRODUCCIÓN A LA MATEMÁTICA PARA INGENIERÍA

Semana 1 Sesión 01

EJERCICIOS EXPLICATIVOS

1. Determine M = AB + 2A, siendo:

A =

[

]

; B =

Solución. :

R.: M =

[ 3 7 − 3 7 11 15

]

2. Si: A =

; B =

Determine X si (A + B)t^ = B^2 − 2 X

Solución. :

R.: X = (^12)

 

− 3 − 2 − 7 7 9 − 9 13 − 17 33

 

3. Plaza Vea quiere ofertar tres paquetes X , Y , Z de azúcar, arroz y deo. El paquete X contiene 1 kg de azúcar, 3 kg de arroz y 2 kg de deo Extra Light; el paquete Y contiene 2 kg de azúcar, 1 kg de arroz y 6 kg deo Extra Light; el paquete Z contiene 1 kg de cada uno de los anteriores. Si se quiere sacar a la venta 80 paquetes del artículo X, 70 de Y y 140 de Z ¾Cuántos kilogramos se necesitará de cada producto?. Plantee matricial- mente. Solución. :

R.:

 

360 450 720

 

4. Obtener la matrices X; Y que verican los sistemas matriciales siguientes:

2X − 3Y =

[

]

; X − Y =

[

]

Solución. :

R: X =

[ − 4 − 5 5 16

] ; Y =

[ − 3 − 5 2 10

]

INTRODUCCIÓN A LA MATEMÁTICA PARA LA INGENIERÍA

EJERCICIOS PROPUESTOS

1. Hallar la matriz C = A · B t^ , si las ma- trices A y B satisfacen sistema matricial siguiente:

3A − B =

[

]

; − 2 A + B =

[

]

Solución. :

R: C =

[ 50 − 20 − 45 210

]

2. El 1ro. de mayo, la cantidad de acciones en las compañías x , y, z , w , propiedad de André, Leo- nel, Sophie y Aarón esta dada por la siguiente matriz:

A =

x y z w Andr´e 200 150 300 20 Leonel 300 120 220 35 Sophie 150 160 200 60 Aaron´ 0 80 40 100 y los respectivos precios al cierre de x, y, z y w fueron de $ 25, $ 42, $ 45 y $ 18 la acción. Hallar el valor de las acciones en las diferentes compa- ñías de cada accionista.

Solución. :

R.:

  

25160 23070 20550 6960

  

3. Sea: A =

. Calcula la ma-

triz B tal que A^2 + B = A · At

Solución. :

R.: B =

 

1 − 1 − 1 − 1 0 0 3 1 1

 .

4. Determine la matriz X que cumple la ecuación: 3X + 2A = 4B , siendo:

A =

 

3 0 1 − 1 2 1 4 − 2 2

 ;B =

 

0 − 1 1 0 2 3 − 3 1 − 1

 

Solución. :

R.: X = (^13)

 

− 6 − 4 2 2 4 10 − 20 8 − 8

 

5. Si A es una matriz identidad:

A =

x m − 1 n − 2 q + 1 y p − 3 r + 2 t + 3 z

Calcular xyz + mnp + qrt

Solución. :

R.: 1

6. Si A =

4 1 − y 3 2 − 3 z + 2 x 5 2

3x

, es una

matriz simétrica. Hallar el valor de E = 2x − y + 3z

Solución. :

R.: E = 16

Respuestas:

1: M =

[ − 11 / 2 7 0 − 2

]

2: R =

 

− 7 5 − 10 38 − 30 44 − 16 20 − 25

 

3:

 

600 2400 480 480 180 360 360 1200 240

 .

4: M =

[ 3 / 2 1 11 / 2 1 / 2

]

5: N =

 

− 6 43 72 − 13 72 82 − 37 77 138

 

6: traza(A) = 11 7: 47 8: − 30 9: (^13)

10.: X t^ =

 

0 − 2 − 9 10 − 11 5 / 2 − 11 19 / 2 − 11 / 2

 

11: 11