La simetría “corre” por nuestras venas. Esta imagen
representa el núcleo central del grupo hemo, el centro
activo de la hemoglobina que oxigena nuestras células.
Fuente: http://www.cienciateca.com/simetria.html
Matrices y transformaciones
21
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Matrices y Transformaciones lineales
Tipo: Apuntes
2019/2020
1 / 8
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La simetría “corre” por nuestras venas. Esta imagen representa el núcleo central del grupo hemo, el centro activo de la hemoglobina que oxigena nuestras células. Fuente: http://www.cienciateca.com/simetria.html
Matrices y transformaciones
Fascículo 21 • Matrices y transformaciones
Matrices y transformaciones geométricas en el plano
Una transformación en un plano, es una aplicación que hace corresponder a cada punto P de coordenadas (x,y) del plano, otro punto P’ de coordenadas (x’, y’) del mismo plano. En consecuencia, cualquier conjunto de puntos F se puede transformar en otro conjunto de puntos F’.
Transformaciones usuales
Traslación
Rotación
Simetría
Axial Central
Homotecia
Mantienen la forma y el
tamaño de la figura
(son isometrías o movimientos
rígidos).
Varía el tamaño
de la figura pero
no la forma.
Traslación
Geométricamente la traslación T representa el desplazamiento de un punto o conjunto de puntos según un vector fijo v , no nulo.
La figura de la mano fue trasladada desde la posición A hasta la posición B. Observa que ningún punto de la figura inicial permanece fijo.
A
B
v
v
Fascículo 21 • Matrices y transformaciones
O
Geométricamente una rotación en el plano representa una transformación o giro de una figura en torno a un punto fijo, llamado centro de rotación, que puede estar o no dentro de la figura. Al rotar la figura F un ángulo θ en sentido antihorario alrededor del origen de coordenadas O , se obtiene la figura F’. Observa que hay un único punto fijo O que es el centro de rotación.
A
B’
A’
B
O
θ
F F’
O
O
El abanico abre girando alrededor del punto O. Las aspas del ventilador y cada aguja del reloj gira alrededor de un punto único.
Rotación y tecnología
Una forma de producir electricidad es a partir de la energía proporcionada por el viento o energía eólica. El dispositivo capaz de realizar esta conversión se denomina aerogenerador o generador eólico , y consiste en un sistema mecánico de rotación , provisto de aspas a modo de los antiguos molinos de viento, y de un generador eléctrico con el eje conectado al sistema motriz. De esta forma el viento, al hacer girar las aspas, hace también girar al generador eléctrico, que puede ser un alternador. Igual que en el caso de la energía solar, es necesario disponer de acumuladores para almacenar la energía eléctrica con la finalidad de ser utilizada en los períodos sin viento.
Rotación
Transforma el vector
representado por
En el vector
representado por De coordenadas
Matriz asociada
a la rotación
De ángulo θ
x
y
x’
y’
x’ = x cos θ - y sen θ
y’ = x sen θ + y cos θ
cos θ -sen θ
sen θ cos θ
Para hallar el transformado de un punto según una rotación de ángulo θ, basta multiplicar la matriz de rotación por la matriz columna asociada a ese punto.
θ
Rotación
En la vida cotidiana se presentan situaciones como las siguientes:
θ Sentidos de los ángulos
x
y
x’
y’
cos θ -sen θ
sen θ cos θ
R θ · V= · =
Rotemos el cuadrilátero ABCD un ángulo θ=60° en torno al origen.
A cada vértice le asociamos su matriz columna:
Al efectuar la multiplicación de la matriz de rotación por cada una de las matrices anteriores, obtenemos las coordenadas de los vértices transformados (rotados 60°).
-8 -6 -4 -2 0 2 4 6
2
4
6
8
A
D
- 1 0 8 10
10
12
14
B
C
A’
B’
C ’
D ’
60 °
A=
B=
C=
D=
cos 60° = = 0,
sen 60° = ≈ 0,
Para el punto A, R · A=
cos60° -sen60°
sen60° cos60°
6·cos60° - 5·sen
6·sen60° + 5·cos60°
¿Cuáles son la coordenadas de las transfor- madas de los vértices B, C y D?
Al aplicar dos o más rotaciones seguidas al mismo objeto, por ejemplo una mariposa, estamos realizando una composición de rotaciones.
Primero aplicamos la rotación Rα de ángulo α a la mariposa y luego la rotación Rβ de ángulo β. La transformación resultante es la composición
R = Rβ o Rα
La compuesta de dos rotaciones de ángulos α y β respectiva- mente es igual a una rotación de ángulo α + β:
Rβ o Rα = Rα+β = Rβ+α =Rα o Rβ
Es decir, el orden en que se realicen las rotaciones de ángulos α y β no altera la posición final del objeto.
Determina la matriz de la rotación de ángulo α + β, a partir de la multiplicación de las matrices de rotación de ángulos α y β, respectivamente. ¿Se cumple en este caso la propiedad conmutativa de la multiplicación de matrices?
α
β
Rα o Rβ
A
B
A’
B’
A”
B”
O
Fascículo 21 • Matrices y transformaciones
2x2 2x
Simetría
Transforma el vector
representado por En el vector De coordenadas Matriz asociada
Fascículo 21 • Matrices y transformaciones
El centro activo de la hemoglobina es un anillo de porfirina con un átomo de hierro (en rojo) en el centro. El "esqueleto" de este macrociclo de porfirina (marcado con líneas negras) está compuesto por átomos de carbono (morados) y nitrógeno (azules). Las esferas blancas representan átomos de hidrógeno, mientras que las marcadas de amarillo pueden ser diversos grupos orgánicos. Las líneas anaranjadas representan planos de simetría perpendiculares a la figura, mientras que el cua- drado amarillo del centro indica un eje de simetría cuaternario que coincide con la recta de intersección de los planos de simetría. Además de los elementos de simetría indicados, esta molécula (que es plana y cuyo anverso y reverso son equiva- lentes) posee ejes binarios, un plano de simetría que coincide con el plano del papel, y un centro de simetría que coincide con el punto donde se intersecan todos los otros elementos de simetría.
Simetría axial
En el plano es posible aplicarle una simetría axial o reflexión a una figura respecto al eje x, al eje y o respecto a una recta cualquiera. Para ello basta aplicar la matriz de transformación adecuada como muestra la tabla:
Respecto al eje y
x
y
x’
y’
x’ = -x
y’ = y
- 1 0
Respecto a la recta
y=x
x
y
x’
y’
x’ = y
y’ = x
-6 -4 -2 0 2 4 6
2
4
6
Al aplicar una simetría al triángulo F respecto al eje x , resulta el triángulo F’.
Multiplicamos la matriz de la simetría axial respecto al eje, por la matriz columna de cada punto, haciendo ésto con los vértices: F
F’
De manera similar, se procede para aplicar la simetría respecto al eje y o respecto a la recta y=x , obteniéndose otros triángulos.
Respecto al eje x
x
y
x’
y’
x’ = x
y’ = - y
Fascículo 21 • Matrices y transformaciones
Homotecia
En el vector
representado por De coordenadas^ Matriz asociada
De razón k y de centro
x
y
x’
y’
x’ = kx
y’ = ky
k 0
0 k
Homotecia
Geométricamente la homotecia es una transformación que cambia el tamaño de un objeto sin variar su forma. Dos figuras son homotéticas si al unir mediante rectas los puntos correspondientes de ellas, estas rectas concurren en un único punto C llamado centro de la homotecia.
C
Para definir una homotecia se debe dar el centro de homotecia C y un número real k , no nulo, denominado razón de homo- tecia.
k > 1
Si B’ es el transformado de B según una homotecia de centro C, se cumple que los segmentos CB y CB’ son
alineados y proporcionales, es decir: =k
CB’
CB
Homotecia y tecnología
Al fotocopiar un documento con la finalidad de ampliarlo o reducirlo, la máquina realiza el proceso de transformación del documento original mediante una homotecia de la razón necesaria para obtener un “zoom”, que para nuestro caso va desde 70% hasta 150%”.
Contracción Dilatación