Matrices: Operaciones, Propiedades y Transformaciones, Apuntes de Álgebra

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Matrices

Operaciones con matrices. Matrices elementales

Curso 2012-

Los primeros elementos de lo que hoy conocemos como ´algebra

lineal se han encontrado en el documento matem´atico m´as

antiguo: papiro Rhind coservado en el British Museum con

fragmentos en el Brooklyn Museum y conocido tambi´en como libro

de c´alculo escrito por el sacerdote egipcio Ahm´es (1650 a.c.) En el

documento aparecen ecuaciones de primer grado con inc´ognita un

¨ıbis”(escarbando en el suelo)

x −

x +

x

Orginalidad en el m´etodo

Para resolver este sistema, el autor (desconocido) sustituye el

sistema por una tabla:

Mediante, transformaciones manipula la matriz anterior para

obtener otra m´as sencilla la cual representa a otro sistema de

mayor simpleza e inmediato de resolver (M´etodo de Fan-Chen, hoy

conocido como m´etodo de eliminaci´on Gaussiana)

Matrices

Una matriz de orden m × n con coeficientes en R es una caja

A =

a 11 a 12 · · · a 1 n

a 21 a 22 · · · a 2 n

a m 1 a m 2 · · · a mn

de m × n n´umeros reales distribuidos en m filas y n columnas.

I Por a ts denotaremos el elemento situado en la fila t columna s.

I De forma reducida tambi´en escribiremos A = (aij )

I Dos matrices son iguales si y s´olo si siendo del mismo orden

tienen iguales elementos en todas sus posiciones.

I M

mn := {A | A es matriz de orden m × n}

Matrices Cuadradas

I Una matriz A = (a ij ) es diagonal si es cuadrada y a ts

∀t 6 = s.

I Una matriz A = (a ij ) es triangular superior si es cuadrada y

a ts = 0, ∀t > s.

I Una matriz A = (aij ) es triangular inferior si es cuadrada y

a ts = 0, ∀t < s.

I Si por δij denotamos la delta de Kronecker,

δ ij

1 , si i = j

0 , si i 6 = j

a la matriz cuadrada de orden n,

I

n = (δ ij ) se le llama matriz identidad de orden n.

I Se define la traza de una matriz cuadrada de orden n,

A = (a ij ), como tr (A) := a 11

• · · · + a nn

Operaciones con matrices

Suma de matrices: Sean A = (a ij ), B = (b ij

) ∈ M

mn

A+B = (a ij +b ij

a 11

• b 11 a 12
• b 12 · · · a 1 n
• b 1 n

a 21 + b 21 a 22 + b 22 · · · a 2 n + b 2 n

a m 1

• b m 1 a m 2
• b m 2 · · · a mn
• b mn

Propiedades:

(^1) Conmutativa: A + B = B + A, ∀A, B ∈ M mn

2 Asociativa: (A + B) + C = A + (B + C ), ∀A, B, C ∈ Mmn.

(^3) Neutro: ∃ O ∈ M mn

/ A + O = O + A = A , ∀A ∈ M

mn

4 Sim´etrico: ∀ A ∈ Mmn, ∃ − A ∈ Mmn / A + (−A) = O,

∀A ∈ M

mn

Producto de matrices

Sean A = (aij ) ∈ Mmn y B = (brs ) ∈ Mnp ,

AB = (c ij

c 11 c 12 · · · c 1 p

c 21 c 22 · · · c 2 p

c m 1 c m 2 · · · c mp

∈ M

mp

donde,

c kt = (a k 1 , · · · , a kn

b 1 t

b nt

 =^ ak 1 b 1 t +^ · · ·^ +^ aknbnt

Propiedades:

I Asociativa: (AB)C = A(BC ) (siempre que tenga sentido)

I Distributiva respecto de la suma : A(B + C ) = AB + AC ,

(M + N)P = MP + NP, (siempre que tenga sentido).

I ∀A ∈ Mmn, ImA = AIn = A

I α(AB) = (αA)B = A(αB), ∀α ∈ R, (siempre que tenga

sentido)

I El producto de matrices es una operaci´on en M n

I En general el producto de matrices NO ES CONMUTATIVO

Ejercicios

Ejercicio 1. Probar que la transposici´on de matrices verifica las

siguientes propiedades:

a) (A + B)

t = A

t

• B

t , ∀A, B ∈ M mn

b) (AB)

t = B

t A

t , ∀A ∈ M mn

, B ∈ M

np

c) (λA)

t = λA

t , ∀A ∈ Mmn, λ ∈ R

Ejercicio 2. Probar que la traza de matrices cuadradas verifica las

siguientes propiedades:

a) tr (A + B) = tr (A) + tr (B), ∀A, B ∈ M n

b) tr (λA) = λtr (A), ∀A ∈ Mn, λ ∈ R

c) tr (AB) = tr (BA), ∀A, B ∈ M n

Matrices escalonadas y escalonadas reducidas

Sea A ∈ Mmn, llamaremos pivote o elemento principal de una fila

(o columna) de A al primer elemento no nulo de dicha fila (o

columna), si es que lo hay.

A se dice escalonada por filas si:

I Toda fila nula (de ceros) est´a debajo de cualquier fila no nula.

I El elemento principal de cada fila no nula es uno.

I El elemento principal de cada fila no nula est´a en una

columna a la derecha del de la fila anterior.

A es dice escalonada reducida por filas si adem´as de ser escalonada

se cumple:

I Los elementos que aparecen en la misma columna que el

elemento principal de una fila son todos nulos.

Propiedades.

∀A, B, C ∈ M

mn , se tiene

I A ∼f A,

I A ∼

f

B ⇒ B ∼

f

A

I Si A ∼f B y B ∼f C ⇒ A ∼f C

Lema 1. ∼ f define una relaci´on de equivalencia en Mmn.

Teorema 1. Toda matriz A es equivalente por filas a una matriz

escalonada por filas (en general no ´unica) y a una ´unica escalonada

reducida por filas ( a la que llamaremos forma normal de Hermite

de A).

Ejercicio 2. Hallar la forma normal de Hermite de la siguiente

matriz

A =

Definici´on.

Se llama rango de una matriz al n´umero de filas no nulas de su

forma normal de Hermite, esto es, el n´umero de pivotes o

elementos principales de su forma normal.

Ejercicio 3. Probar que el rango de una matriz coincide con el

n´umero de filas no nulas de cualquier escalonada por filas

equivalente por filas a ella.

Ejercicio 4. Si A ∈ Mmn probar que el rango de A es menor o igual

que min{n, m}.

Ejercicio 5. Desarrollar los conceptos de matrices equivalentes por

columnas y sus propiedades.

Ejercicio 6. Probar que si A, B ∈ Mmn, entonces

rg (A + B) ≤ rg (A) + rg (B) y rg (λA) = rg (A), ∀ 0 6 = λ ∈ R.

Proposici´on

Dado un SEL con matriz A, si H es la forma normal de Hermite

por filas de A, entonces el SEL cuya matriz es H es un SEL

equivalente al de partida.

Ejemplo:

3 x + 6y − 5 z = 0

x + y + 2z = 9

2 x + 4y − 3 z = 1

x = 1

y = 2

z = 3

son sistemas equivalentes.

Teorema de Rouch´e-Frobenius

Dado un SEL con matriz A y matriz de coeficientes C , se verifica:

I El sistema es compatible sii rg (A) = rg (C ).

I El sistema es compatible determinado sii, rg (A) = rg (C ) = n

Matrices Regulares

Como en el caso de los n´umeros reales ¿Tiene inversa toda matriz

cuadrada no nula?

Se dice que una matriz cuadrada A ∈ Mn es regular si existe

B ∈ M

n tal que AB = BA = I n

. B es la inversa de A ( B = A

− 1 ).

Toda matriz triangular con elementos no nulos en la diagonal

es regular.

Matriz elemental

Por una matriz elemental de orden n entenderemos una matriz

que se obtiene haciendo una transformaci´on elemental en las filas o

las columnas de In. Pueden ser

I matriz permutaci´on

I matriz dilataci´on

I matriz suma