Docsity
Docsity
Prepara tus exámenes
Prepara tus exámenes

Prepara tus exámenes y mejora tus resultados gracias a la gran cantidad de recursos disponibles en Docsity

Consigue puntos base para descargar
Consigue puntos base para descargar

Gana puntos ayudando a otros estudiantes o consíguelos activando un Plan Premium

Orientación Universidad
Orientación Universidad
Vende en Docsity
Vende en Docsity
Docsity AI
Docsity AI
Inicia sesiónRegístrate

Prepara tus exámenes

Prepara tus exámenes y mejora tus resultados gracias a la gran cantidad de recursos disponibles en Docsity

Busca documentos

Prepara tus exámenes con los documentos que comparten otros estudiantes como tú en Docsity

Busca tu universidad

Encuentra los documentos específicos para los exámenes de tu universidad

Video Cursos

Estudia con lecciones y exámenes resueltos basados en los programas académicos de las mejores universidades

Quiz

Responde a preguntas de exámenes reales y pon a prueba tu preparación

Docsity AINEW

Resume tus documentos, hazles preguntas, conviértelos en quiz y mapas conceptuales

Ver preguntas

Despeja tus dudas leyendo las respuestas a las preguntas que realizaron otros estudiantes como tú

Consigue puntos base para descargar

Gana puntos ayudando a otros estudiantes o consíguelos activando un Plan Premium

Compartir documentos
download point icon20 Puntos

Por cada documento subido

Responde a las preguntas
download point icon5 Puntos

por cada respuesta dada (máx. 1 al día)

Todos los modos para conseguir puntos gratis
Consigue puntos de inmediato

Elige un plan Premium con todos los puntos que necesitas.

Oportunidades de estudio

Elige tu próximo programa de estudio

Ponte en contacto inmediatamente con las mejores universidades del mundo. Busca entre miles de universidades en todo el mundo. Busca entre miles de universidades partner oficiales

Comunidad

Pregúntale a la comunidad

Pide ayuda a la comunidad y resuelve tus dudas de estudio

Ebooks gratuitos

¡Nuestros e-books salva-estudiantes!

Descarga nuestras guías gratuitas sobre técnicas de estudio, métodos para controlar la ansiedad y consejos para la tesis preparadas por los tutores de Docsity

Matrius, Apuntes de Matemáticas

Universitat Politècnica de Catalunya. BarcelonaTech (UPC)Matemáticas

Asignatura: Matemàtiques, Profesor: Amparo Amparo, Carrera: Enginyeria Informàtica, Universidad: UPC

Tipo: Apuntes

2010/2011

Subido el 14/11/2011

elanor-12
elanor-12 🇪🇸

4.3

(12)

15 documentos

1 / 23

Toggle sidebar

Esta página no es visible en la vista previa

¡No te pierdas las partes importantes!

bg1
1
2. MATRIUS I
DETERMINANTS
2.1 Matrius
2.2 Operacions amb matrius
2.3 Tipus particulars de
matrius
2.4 Rang d’una matriu
2.5 Forma bilineal alternada
2.6 Càlcul de determinants
2.7 Menor i adjunt d’un
element
2.8 Aplicacions de les matrius
2.9 Matriu inversa
pf3
pf4
pf5
pf8
pf9
pfa
pfd
pfe
pff
pf12
pf13
pf14
pf15
pf16
pf17

Vista previa parcial del texto

¡Descarga Matrius y más Apuntes en PDF de Matemáticas solo en Docsity!

2. MATRIUS IDETERMINANTS

2.1 Matrius2.2 Operacions amb matrius2.3 Tipus particulars dematrius2.4 Rang d’una matriu2.5 Forma bilineal alternada

2.6 Càlcul de determinants2.7 Menor i adjunt d’unelement2.8 Aplicacions de les matrius2.9 Matriu inversa

2.1 Matrius (I)^ Una^ matriu A d'ordre m

×^ n^ és un conjunt de

m^ files i
n^ columnes
d’elements d’un cos
K , que representarem de la següent manera:
on

11 12

1 21 22

2 1 2

n n m n

a^ a^ m^ m
a
a^ a^
a
A a^
a^
a
⎛^
⎜^
⎜^
= ⎜^
⎜^
⎜^
⎝^
K L ⎠
M^ M^
O^ M L
columnes
files

(^

)

1 2^
, ,^ ,^ ;^
, ,^ ,
a^ K^ i^ ij
m^ j^
n
∈^ =
=L L

2.1 Matrius (III) „^ Diem que una matriu A és una

matriu nul·la
si tots els seus
elements són zero „ Sigui A una matriu quadrada d’ordre n (n files i n columnes).S’anomena
diagonal principal
de la matriu A als elements que
tenen els dos subíndexs iguals

(^0) ( ) 1 2^

1 2 ,^ ,^ ,

,^ ;^

,^ ,^ ,

a^ i^ ij

m^ j^

n

=^ ∀^ =^

∀^ =K K 1 2, (^) ( )

, ,^ , a i n = K ii
⎛^
⎜^
⎜^
⎜^
⎜^
⎜^
⎜^
⎝^
O O
iij^ jk^ jn O kj k O

j

n k i ki n j n kn in

a a a i
a a a a a
a
a
a a
Els elements que ocupen una posiciósimètrica respecte la
diagonal principal
s’anomenen
elements conjugats
d’una
matriu^ n x n

2.1 Matrius (IV) „^ Sigui A una matriu d’ordre m x n. La matriu A

T^ direm que és la
matriu tansposada
d’A si conté com files les columnes de la
matriu A

(^ )^

(^ ) 21

21 22

2 11 12

1

11 12 22

1 1

2

2

2

⎛^1

⎞^

⎛^

⎜^

⎟^

⎜^

⎜^

⎟^

⎜^

=^ →

=^

⎜^

⎟^

⎜^

⎜^

⎟^

⎜^

⎜^

⎟^

⎜^

⎝^

⎠^

⎝^

K^

K

L^

L

M^ M^

O^ M^

M^ M^

O^ M

L^

L

ij

m m

m^ m^

m

T

ji

n^

n

n

n^

m

n

n

A

A^

a

a a

a^ a^

a

a

a^ a^

a

a^ a^

a^

a aa^

a a

aa

2.2 Operacions amb matrius(I) „^ IGUALTAT DE MATRIUS^ Donades dues matrius A i B del conjunt de matrius M

,mxn

direm que A i B són iguals si tots els seus elements sóniguals i en el mateix ordre^ ( „ SUMA DE MATRIUS Donades dues matrius A i B del mateix ordre mxn, la matriusuma de A+B (A+B) és la matriu composta pels elementsque són suma dels elements d’A i B, posició a posició

)^ ,(^ ) ij ij

A^ a^

B^ b = =^

,^ ,^

,^ ;^

,^ ,

a^ b^ ij^ ij

i^

m j^

n

=^ ∀^

=^

K^

K

amb

(^ )^ ,^ (^ ) m

n ij^

ij

A^ a^

B^ b^

M^ ×

=^

=^ ∈^

(^ )^ (^

)^ (^

) ij^ ij^

ij^ ij

A^ B^

a^ b^

a^ b

+^ =^

+^ =^

llavors

2.2 Operacions amb matrius(II) „^ PRODUCTE PER UN ESCALAR^ Donada una matriu A i un escalar

λ , és defineix el producte de

l’escalar per la matriu A de la següent manera „ PRODUCTE DE MATRIUS (NO ÉS CONMUTATIU) Donada una matriu A

i una matriu Bmxn
, es defineix elnxp
producte de les matrius A i B (C=A·B) com la matriu^ C =^
on
és a dir,

(^

) =⋅ ⋅^

ij A^

a α^

α c^ ( ) ij^ m^ p ×^

1 1^2

2 n ij^1

in^ nj

ik^ kj^ i

j^ i^

j

c^ a b^ k

a b^ a b

a b

=^ =^ =

+^

+^ +

∑^

L

(^ )^

(^ )^

(^ )

·^

×^

×^

×

=^

=^

⋅^

= ij^

ij^

ij m^ n^

n^ p^

m^ p

C^ A B

a^

b^

c índexs iguals

2.3 Tipus particulars de matrius(II) „^ MATRIU DIAGONAL^ Tota matriu quadrada A es diu que és una matriu diagonal sinomés conté elements diferents de zero en la seva diagonalprincipal „^ MATRIU UNITAT^ Una matriu és una matriu unitat si és una matriu diagonalque conté només l’element 1

(^ )^

0 per = ≠⎧⎪ 0 per algun
=^ ⇒ ⎨
a^ ij^ ij ≠ ii ⎪⎩
i^ j
A^ a^
a^
i 1 0 0 0 1 0 0 0 1

⎛^ I

⎞ ⎜^

⎟ ⎜^

⎟ = ⎜^

⎟ ⎜^

⎟ ⎜^

⎟ ⎜^

⎟ ⎝^ L L ⎠ M^ M^ O^

M

2.3 Tipus particulars de matrius(III) „^ MATRIU PERIÒDICA^ Una matriu quadrada A és periòdica si existeix un nombrenatural n tal que^ „^ En particula, si n = 1, és adir si

2 A= A , la matriu A
s’anomena
matriu idempotent

(^1) +^ n ( ) = A A

2.3 Tipus particulars de matrius(V) „^ MATRIU REDUÏDA^ Una matriu A

sobre K es diu matriu reduïda si ésmxn^
esglaonada per files i^ ¾^ Els pivots són tots 1^ ¾^ En les columnes que ocupa cada pivot, els elementsanteriors són zero
⎛^
⎜^
⎜^
⎜^
⎜^
⎝^
Reduïda per files ⎠

2.3 Tipus particulars de matrius(V) „^ Direm que dues matrius A i B són equivalents (A~

B) si es potf
passar d’una matriu a l’altre mitjançant una successió detransformacions elementals vàlides de files.^ „^ TIPUS DE TRANSFORMACIONS ELEMENTALS VÀLIDES^ TIPUS I: Intercanviar posicions de dues filesTIPUS II: Multiplicar tots els elements d’una fila per un escalarTIPUS III: Sumar a una fila una altre multiplicada per un escalar „ Tota matriu és equivalent per files a una única matriu escalonadareduïda per files.

2.4 Rang d’una matriu(II) „^ El^ rang

d’un conjunt de vectors d’ordre n és el màxim nombrede vectors linealment independents
„^ Donat un conjunt de vectors d’ordre n, les següents operacionsno alteren el rang del mateix:^ ¾
Intercanviar l’ordre dels vectors ¾ Substituir un vector pel resultat de sumar-lo a unmúltiple d’un altre ¾ Multiplicar un vector per un escalar no nul
„^ El rang de les matrius esglaonades es pot llegir directament,doncs és el nombre de files no nul·les

2.4 Rang d’una matriu(III) „^ Sigui una matriu A

∈^ M(K), les següents afirmacions sónmxn^
equivalents:^ ¾^ Rang(A) =r^ ¾^ Existeix un nombre finit d’operacions elementals en les filesd’A que coincideixen a una matriu esglaonada per files ambm-r files nul·les^ ¾^ Existeix un nombre finit d’operacions elementals en les filesd’A que condueixen a una matriu reduïda per files amb m-rfiles nul·les „ Una matriu A es diu
matriu elemental
si és obtinguda a partir de la
identitat^ I
mitjançant una opèració elemental n^

2.4 Rang d’una matriu(V) „^ Tota matriu A

es pot transformar, mitjançant operacionsmxn^

elementals per files o columnes, en una de la forma^0 I ⎛^^ r D^^0

⎞ =⎜^

⎟ ⎝ ⎠

⎛^ D

⎜^

⎜^

⎜^

⎜^

=⎜^

⎜^

⎜^

⎜^

⎜^

⎝^

L^

L L

M^ M^ O M

M^ M L L L L

M^ M^

M^ M^

M

L^

L

γ^ files
γ^ columnes
m -^ γ^ files de zeros
n -^ γ^ columnes de zeros

2.4 Rang d’una matriu(VI)

(^2 1 1) − −⎛ ⎞ ⎜ ⎟ (^1 0 1) A = ⎜ ⎟⎜ ⎟ (^3 2 1) − −⎝ ⎠

Volem transformar la matriu
en una matriu

(^0) I ⎛ rD (^) 0 0 ⎞= ⎜ ⎟ ⎝ ⎠

2 1 1

1 0 0 1 0 1

0 1 0 3 2 1

0 0 1 1 0 0

0 0 0 0 1 0

0 0 0 0 0 1

0 0 0 −^ −⎛

⎞ ⎜^

⎟ ⎜^

⎟ ⎜^

⎟ −^ −⎜

⎟ ⎜^

⎟ ⎜^

⎟ ⎜^

⎟ ⎜^

⎟ ⎝^

⎠

1 0 1

0 1 0 2 1 1

1 0 0 3 2 1

0 0 1 1 0 0

0 0 0 0 1 0

0 0 0 0 0 1

0 0 0 ⎛^

⎞ ⎜^

⎟ −^ −⎜

⎟ ⎜^

⎟ −^ −⎜

⎟ ⎜^

⎟ ⎜^

⎟ ⎜^

⎟ ⎜^

⎟ ⎝^

(^1) ⎠ 0 1 0

1 0 0 1 1

1 2 0 3 2 1

0 0 1 1 0 0

0 0 0 0 1 0

0 0 0 0 0 1

0 0 0 ⎛^

⎞ ⎜^

⎟ ⎜^

⎟ ⎜^

⎟ −^ −⎜

⎟ ⎜^

⎟ ⎜^

⎟ ⎜^

⎟ ⎜^

⎟ ⎝^

⎠

Intercanvi de la fila 2 amb la 1

fila 2 - 2·fila 1

Exemple: