¡Descarga APUNTS MATRIUS I DETERMINANTS y más Resúmenes en PDF de Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II solo en Docsity!
1 Matrius i determinants.
1 .1 Conceptes bàsics.
1 .1.1 Definició. Matriu.
Una matriu és un conjunt de nombres organitzats en files i columnes, i delimitats per
claudàtors. Per exemple, aquestes són dues matrius:
−
−
4 0 2 2
2 6 3 1
La primera té 3 files i 3 columnes, i es diu que la seva dimensió és 3×3, mentre que la
segona té 2 files i 4 columnes, és a dir, la seva dimensió és 2×4. En general, una matriu
A de dimensió m×n, és a dir, de m files i n columnes s'escriu de la següent manera:
𝑚×𝑛
11
12
13
1 𝑛
21
22
23
2 𝑛
31
32
33
3 𝑛
𝑚 1
𝑚 2
𝑚 3
𝑚𝑛 )
Pot observar-se com cada element de la matriu es descriu amb dos subíndexs, el primer
referit a la fila, i el segon, a la columna. Així, 𝑎 25
indicaria l'element de la fila 2 ,
columna 5 de la matriu A. La diagonal d'una matriu està formada per aquells elements
els subíndexs dels quals són iguals, és a dir, la diagonal és 𝑎 11
22
33
Les matrius s’acostumen a designar amb lletres majúscules: A,B,C...
Dues matrius A, B són iguals si són de la mateixa dimensió i 𝑎 𝑖𝑗
𝑖𝑗
per a tot 𝑖, 𝑗 ∈ ℕ,
es a dir que les dues matrius són iguals element a element.
1 .1.2 Definició. Matrius notables.
Algunes matrius destacables són:
Matriu fila. És una matriu amb una única fila, és a dir, de dimensió 1 × 𝑛
Matriu columna. És una matriu amb una única columna, és a dir, de dimensió 𝑚 × 1
Matriu quadrada: És la matriu que té que té el mateix nombre de files que de
columnes, és a dir, de dimensió n×n.
− −
− −
− −
−
9 3 5 1
5 7 0 5
4 6 4 7
8 5 4 9
Matriu simètrica: És la matriu quadrada que té 𝑎
𝑖𝑗
𝑗𝑖
per a tot 𝑖, 𝑗 ∈ ℕ.
Matriu antisimètrica: És la matriu quadrada que té 𝑎 𝑖𝑗
𝑗𝑖
per a tot 𝑖, 𝑗 ∈ ℕ.
Els elements de la diagonal principal són 0.
La matriu diagonal: és la matriu quadrada els elements de la qual són 0 excepte els de
la diagonal principal.
−
0 0 0 1
0 0 4 0
0 2 0 0
3 0 0 0
La matriu identitat: matriu diagonal en què tots els elements de la diagonal són 1. La
matriu identitat de dimensió n×n s'indica amb I n
2
3
=
0 0 0 1
0 0 1 0
0 1 0 0
1 0 0 0
4
I
1 .2 Operacions amb matrius
1. 2 .1 Suma (i resta) de matrius.
La suma de dues matrius és una altra matriu, i cadascun dels seus elements és igual a la
suma dels elements de les dues matrius anteriors amb els mateixos subíndexs.
Evidentment, la suma solament pot realitzar-se entre matrius de la mateixa dimensió , i
el seu resultat també tindrà idèntica dimensió. Per exemple, donades aquestes matrius:
La sumes A+C i B+C no poden realitzar-se perquè són matrius de diferent dimensió. En
canvi, sí que és possible sumar A+B, d'aquesta manera:
La resta entre matrius es realitza de manera similar, tenint en compte que en lloc de
sumar els elements de les matrius, es resten.
Propietats de la suma (i resta) de matrius
a) Associativa: 𝐴 + (𝐵 + 𝐶) = (𝐴 + 𝐵) + 𝐶
b) Commutativa: 𝐴 + 𝐵 = 𝐵 + 𝐴
c) Existència de matriu nul·la o element neutre. 𝐴 + 0 𝑚×𝑛
𝑚×𝑛
d) Existència de matriu oposada. 𝐴 + (−𝐴) = 0
𝑚×𝑛
Donada qualsevol matriu A, la seva matriu oposada és la que obtenim en canviar tots els
elements de signe:
Exemple:
Es verifica que la suma d’una matriu A i la seva oposada – A és la matriu nul·la.
Exercicis.
1. Donades
− −
− −
=
1 3 0 1
2 4 1 2
A i
−
− −
=
1 3 4 0
4 2 5 3
B , calcula 𝐴 + 𝐵
2. Calcula 𝐴 + 𝐵 on
−
−
−
−
=
0 3 2
2 4 1
2 3 2
0 1 1
A i
−
− − −
− −
− −
=
4 0 2
4 4 1
2 1 4
1 3 1
B
3. Calcula 𝐴 − 𝐵 on
− −
−
−
=
4 4
3 4
2 3
4 0
A ,
−
−
−
−
=
0 3
2 4
2 4
4 0
B
4. Calcula 𝐴 − 𝐵 on 𝐴 = (
) i 𝐵 = (
1. 2. 3 Multiplicació de matrius (A × B, A·B o A ° B)
Multiplicació d’una matriu fila (vector) per una matriu columna (vector)
Hem fet un “producte escalar de vectors”.
Multiplicació de dos matrius multiplicables.
Per a multiplicar dues matrius ha de tenir-se en compte el següent:
El nombre de columnes de la matriu esquerra ha de coincidir amb el nombre de files de
la matriu dreta.
La matriu resultant tindrà tantes files com la matriu esquerra, i tantes columnes com la
matriu dreta.
𝑚×𝑛
× 𝐵
𝑛×𝑞
𝑚×𝑞
Multiplicarem cada fila de la matriu de l’esquerra per cada columna de la matriu de la
dreta.
Exemple:
Propietats del producte de matrius.
El producte de matrius té les següents propietats:
a) Associativa: A × (B × C) = (A × B) × C
b) Distributiva:
c) En general, el producte de matrius no és commutatiu. És a dir, si A i B són dues
matrius, quan poden realitzar-se els productes A×B i B×A, generalment:
A×B ≠ B×A
encara que en algunes, molt poques, ocasions, pot ser igual.
d) Existència d’element neutre.
L'element neutre del producte de matrius quadrades és la matriu identitat, I n
𝑛
) per exemple: 𝐼
3 × 3
Si A és una matriu quadrada n×n, A × I n
= I
n
× A = A
Recorda:
La multiplicació de matrius no compleix algunes de les propietats que sí compleix la
multiplicació de nombres:
a) La multiplicació de matrius NO és commutativa: 𝐴 ⋅ 𝐵 ≠ 𝐵 ⋅ 𝐴
Exemple:
) però (
b) No sempre es possible multiplicar dos matrius, i de vegades podem efectuar 𝐴 ⋅ 𝐵
però no 𝐵 ⋅ 𝐴.
c) De 𝐴 ⋅ 𝐵 = 0 no se segueix necessàriament que 𝐴 = 0 o 𝐵 = 0
Exercicis.
1. Calcula 𝐴 ⋅ 𝐵
a) 𝐴 = (
b) 𝐴 = (
c)
−
−
−
=
1 5 0
3 2 2
2 4 3
A , 𝐵 = (
d)
− −
− − −
=
2 3 1 3
0 1 4 3
A
− −
− −
=
3 0
2 1
3 1
1 1
B
1 .2. 4 Matriu transposada.
La matriu transposada d'una matriu A , denominada 𝐴
𝑇
, és la matriu que resulta de
canviar files per columnes en la matriu A. Per exemple:
−
= − −
−
−
−
=
4 5 2 7
7 3 0 1
6 8 3 5
5 1 7
3 0 2
8 3 5
6 7 4
T
A A
Pot observar-se que, per exemple, la primera fila de A és
i coincideix amb
la primera columna de 𝐴
𝑇
. Pot comprovar-se que això succeeix en tots els parells fila-
columna.
Propietats de la matriu transposada.
a) La transposada de la matriu transposada és la matriu original:
𝑇
𝑇
b) La transposada de la suma de dues matrius és la suma de transposades :
𝑇
𝑇
𝑇
c) La transposada del producte d’un nombre per una matriu és el producte del nombre
per la transposada de la matriu:
𝑇
𝑇
d) La transposada del producte de dues matrius es el producte de transposades,
intercanviant l’ordre:
𝑇
𝑇
𝑇
1.2.5 Potència de matrius.
Per poder calcular la potència d’una matriu ha de ser quadrada, i definim la potència de
matrius de la mateixa manera que la potència de nombres, com a producte repetit:
𝑛
𝑛 𝑣𝑒𝑔𝑎𝑑𝑒𝑠
Exercicis.
1. Calcula 𝐴
2
, on 𝐴 = (
2. Calcula 𝐴
2
, on 𝐴 = (
3. Calcula 𝐴
2
, on 𝐴 = (
Càlcul de la potència enèsima d’una matriu.
Si estudiem el comportament d’una cadena de potències d’una matriu es pot produir un
fenomen de repetició, un cicle:
Veiem un exemple:
calcula M
147
2
3
2
4
3
2
2
4
2
147
36 · 4 + 3
36 · 4
3
4
36
3
2
36
3
3
Exercici.
2. Donada la matriu 𝐴 = (
), calcula A
257
Determinació d’una matriu inversa 2x2 mitjançant equacions.
Si volem determinar la matriu inversa d’una matriu “petita”, per exemple 2x2, ho
podem fer mitjançant un sistema d’equacions. En general aquest mètode no és
acceptable per matrius 3x3.
Suposem que volem determinar la matriu inversa de
−
=
1 1
1 2
A
Per definició, volem una matriu
c d
a b
tal que
=
− 0 1
1 0
1 1
1 2
c d
a b
és a dir,
=
− + − +
0 1
2 2 1 0
a c b d
a c b d
o equivalentment:
− + =
− + =
1
0
2 0
2 1
b d
a c
b d
a c
Hem reduït el problema a resoldre un sistema de quatre equacions i quatre incògnites.
Ara bé, observem que aquest sistema es pot separar en dos sistemes 2x2 independents:
La primera i la tercera equació formen un sistema per a les incògnites a i c:
− + =
0
2 1
a c
a c
amb solució
3
1
a = ,
3
1
c =
I la segona i quarta equació formen un sistema per a les incògnites b i d:
− + =
1
2 0
b d
b d
amb solució
3
− 2
b = ,
3
1
d =
I per tant la matriu inversa és
=
−
−
3
1
3
1
3
2
3
1
1
A
Exercici.
1. Calcula la matriu inversa de les següents matrius :
a)
0 − 1
2 2
b)
− 1 0
8 2
Determinació d’una matriu inversa mitjançant Gauss-Jordan.
Sigui 𝐴 = (
Per trobar la matriu inversa construirem la matriu (A|I)
On escrivim els termes de A a la part esquerra i, a la part dreta, la matriu unitat del
mateix ordre que A.
Es tracta d’anar fent transformacions entre les files de les matrius, fins que la matriu
(A|I) es transformi en una altra de la forma (I|B)
Llavors B és la inversa de A.
Les transformacions que es poden fer entre les files de la matriu (A|I) per arribar a la
matriu (I|B) són les següents:
- Canviar dues files entre ells
- Multiplicar una fila per un nombre diferent de 0.
- Sumar a una fila una altra fila multiplicada per un nombre diferent de 0.
Exemple
Sigui 𝐴 = (
) → f2 = f1 + f
Hem arribat a la matriu (I|B) per tant la inversa de A és 𝐴
− 1
Al llibre pag 94 i 95 hi ha un exemple 3x3 i exercicis.
Fórmula del determinant d'una matriu 3 x 3.
Donada una matriu 3x3, 𝐴 = (
), definim el determinant associat a A com
Regla de Sarrus:
Exemple:
Exercicis.
1. Calcula els següents determinants:
a) (
) b) (
) c) (
) d) (
2. Resol les següents equacions:
a) |
| = 0 b) |
Propietats dels determinants.
1. El determinant d’una matriu coincideix amb el de la seva transposada.
𝑇
2. Si en una matriu intercanviem dues files (o dues columnes), el determinant canvia de
signe.
Exemple:𝐴 = (
2
2
3. Si en una matriu multipliquem per un mateix nombre tots els elements d’una mateixa
fila (o columna), el determinant queda multiplicat per aquest nombre.
Exemple:
2
2
4. Si una matriu quadrada té una fila (o una columna) de zeros, el determinant és zero. 5. Si a una fila (o a una columna) d’una matriu hi sumem una combinació lineal de les
altres, el determinant no varia.
Conseqüències:
- Si una matriu quadrada té dues files (o dues columnes) iguals, el determinant és zero.
- Si una matriu quadrada té dues files (o dues columnes) proporcionals, el determinant
és zero.
- Si una matriu quadrada té una fila (o una columna) que és combinació lineal de les
altres, el determinant és zero.
6. Per a qualsevol fila o columna d’un determinant es compleix que:
11
12
13
13
21
22
23
23
31
32
33
33
11
12
13
21
22
23
31
32
33
11
12
13
21
22
23
31
32
33
7. El determinant del producte de dues matrius és igual al producte dels determinants.
b) Si P i Q són matrius quadrades qualssevol d’ordre 3, quina condició s’ha de produir
perquè es compleixi (P+Q)
2
= P
2
+2P·Q +Q
2
Solució PAU CAT CCSS JUNY 2010 4.
7. Donades les matrius següents: 𝐴 = (
)i 𝐵 = (
a) Calculeu A
2
+ 2AB+B
2
b) Calculeu (A+B)
2
Solució PAU CAT CCSS JUNY 2008 5.
8. Donades les matrius 𝐴 = (
) i 𝐵 = (
a) Calculeu A•B i B•A.
b) Comproveu que (A+B)
2
=A
2
+B
2
Solució PAU CAT TEC JUNY 2006 1.
9. Indiqueu TOTS els productes de dues matrius diferents que es poden fer amb les
matrius següents:
Solució PAU CAT CCSS SET 2006 4.
10. Donades les matrius 𝐴 = (
) i 𝐵 = (
) , on a i b són nombres reals,
trobeu els valors de a i b que fan que les dues matrius commutin, és a dir, que fan que es
compleixi A · B = B · A.
Solució PAU CAT TEC JUNY 2005 4.
11. Siguin les matrius
) i 𝐶 = (
Trobeu la matriu X = A · (B – C).
Solució PAU CAT CCSS SET 2005 3.
Problemes PAU potències de matrius
1. Considereu la matriu 𝐴 = (
a) Comproveu que A
3
- I = 0, en què I és la matriu identitat d’ordre 2.
b) Calculeu A
11
utilitzant la informació de l’apartat a.
Solució PAU CAT CCSS SET 2017 2.
2. Sigui la matriu 𝐴 = (
a) Calculeu A
2
, A
3
i A
4
b) Calculeu A
201
i A
344
PAU CAT CCSS JUNY 2013 3.
3. Considerem les matrius 𝐴 = (
) i 𝐵 = (
a) Justifiqueu si és possible efectuar A·B o B·A. En cas afirmatiu, calculeu-ho.
b) Calculeu B
2
i B
3
PAU CAT CCSS JUNY 2012 3.
4. Sigui la matriu 𝐴 = (
a) Calculeu A
2
i A
3
b) Deduïu el valor de A
101
Nota: Treballeu amb radicals; no utilitzeu la representació decimal dels elements de la
matriu.
Solució PAU CAT TEC SET 2011 2.
5. Siguin 𝐴 = (
) i 𝐵 = (
a) Comproveu que la inversa de A és A
2
b) Comproveu també que A
518
=B.
Solució PAU CAT TEC JUNY 2009 4.
6. Considereu les matrius 𝐴 = (
) i 𝐵 = (
a) Trobeu la matriu M, quadrada d’ordre 2, tal que M·A=B.
b) Comproveu que M
2
=I
2
(matriu identitat d’ordre 2) i deduïu l’expressió de M
n
Solució PAU CAT TEC JUNY 2008 2.
7. Considereu la matriu 𝐴 = (
) on a i b són nombres reals.
a) Calculeu el valor de a i b per tal que 𝐴
2
b) Segons els valors obtinguts en l’apartat anterior, calculeu A
3
i A
4
c) Si n és un nombre natural qualsevol, doneu l’expressió de A
n
en funció de n.
Solució PAU CAT TEC JUNY 2008 5.
