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EJERCICIOS PROPUESTOS.
1. Hallar los puntos críticos a las siguientes funciones:
a) f( x, y ) = (x - 2)2 + (y - 3)2 Resp. (2, 3)
b) f( x, y ) = (1 + x2 + y2)
22
1yx
e
Resp. (0, 0)
c) f( x, y ) = (x2 + 2y2)
22
1yx
e
Resp. (-1,0), (1,0), (0,-1), (0,1) y (0,0).
d) f( x, y ) = x3 + y3 + 3 x2 - 18y2 + 81y + 5 Resp. (-2, 0), (0, 3),
(-2, 3), (0, 9)
e) f( x, y ) = x2 + y2 - 6xy + 9x + 5y + 2 ) Resp. (
2
3
, 2).
2. Hallar los extremos relativos a las siguientes funciones.
a) f( x, y ) = (x2 + 2y2)
22
1yx
e
Resp. (-1,0), (1,0) punto sillas
(0,-1), (0,1) son máximos relativos y (0, 0) es un mínimo relativo.
b) f( x, y ) = x2 + y2 - 6xy + 9x + 5y + 2 ). Resp. (
2
3
, 2) punto silla.
c) f( x, y ) = 2x2 + 8xy +y4 ). Resp. (Mínimo Relativo en (4, -2) y (-4, 2).
3. La suma de tres números positivos es 120 ¿ Cuál es el valor máximo posible de
su producto.
4. Determinar si la función f (x, y, z ) = xy + yz – xz tiene extremos locales.
Resp. ( no tiene extremos locales)
5. Demuestre que f ( x, y ) = x 4 – y4 tiene un punto silla en (0, 0).
6. Demuestre que f ( x, y ) = x 2 y2 tiene un mínimo relativo en (0, 0).
