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UNIVERSIDAD CENTRAL DEL ECUADOR
CURSO DE NIVELACION
Periodo 2020-
ASIGNATURA : Matemática DOCENTE : Eco. Alberto López B. © PhD UNIDAD 4: Estadística SEMANA 10 : 4.4. Variable Continua con Datos agrupados 4.4 VARIABLE CONTINUA CON DATOS AGRUPADOS: Tablas de frecuencia (absoluta, absoluta acumulada, relativa, relativa acumulada). Cuando los valores de la variable son muchos, conviene agrupar los datos en intervalos o clases para así realizar un mejor análisis e interpretación de ellos. Para lograr la comprensión de lo que es una distribución de frecuencias con variable continua, tomamos el siguiente ejemplo: Ejemplo: Precios en dólares de 30 artículos de primera necesidad que se exponen en un supermercado. 74 61 82 42 72 67 71 42 47 67 94 76 55 58 94 70 47 65 76 58 69 85 88 57 76 77 42 55 65 68 Para construir una tabla de frecuencias con datos se procede de la siguiente manera:
- Determinar el valor máximo y el valor mínimo de los datos. En este caso el valor máximo es: Xmáx. = 94 y el valor mínimo es: Xmín. = 42.
- Hallar la diferencia entre los dos valores para determinar el rango o recorrido. Esto es, Rango = Valor máximo – valor mínimo Rango = 94 – 42 = 52
- Determinar cuántos intervalos o grupos se han de formar. A estos intervalos se les simboliza con m En este caso tomamos como m = 6 ; es decir que vamos a formar 6 grupos o intervalos.
- Establecer la amplitud (c ), para lo cual se utiliza la siguiente fórmula: c = X máx − X mín. m c = 94 − 42 6 = 52 6 =8, La amplitud c se aproxima a 9 porque no se puede tomar con decimales; c = 9
- Al multiplicar 6 x 9 = 54 lo que significa que se amplió en dos puntos, estos los repartimos quitando 1 al valor mínimo y aumentando 1 al valor máximo. Entonces comenzamos la tabla con 41 y terminamos con 95. 6. Con estos datos procedemos a elaborar la tabla de frecuencias para lo cual colocamos Xi - 1 al límite inferior y Xi al límite superior, el primer límite inferior es el valor mínimo disminuido en 1 ; se va agregando 9 que es la amplitud y queda constituida la columna de valores de la variable. 7. La marca de clase Xi es el promedio entre el límite inferior y el límite superior de cada intervalo.
Xi = Xi − 1 + Xi 2 Con estos datos elaboramos la siguiente tabla de frecuencias con datos agrupados. Xi – 1 - Xi ni Ni fi Fi Xi 41,1 - 50 5 5 0,166 0,166 45, 50,1 - 59 5 10 0,166 0,332 54, 59,1 - 68 6 16 0,200 0,532 63, 68,1 - 77 9 25 0,300 0,832 72, 77,1 - 86 2 27 0,066 0,898 81, 86,1 - 95 3 30 0,100 0.998 90, TOTAL 30 1 Interpretación de datos y gráficos
Interpretación de datos
En el primer intervalo quedan incluidos los precios de los artículos entre $ 41 y $ 50 estos valores son: $42, y $47, que corresponden a 5 artículos con estos precios. En el segundo intervalo grupo se incluyen los precios entre $50,1 y $59, estos valores son: $ 55, $ 57, $ 58, corresponden a 5 artículos con estos precios En el tercer intervalo están incluidos los precios entre $59,1 y $68, estos valores son: $ 61, $ 65, $ 67, $ 68, corresponden a 6 artículos con estos precios. En el cuarto intervalo se incluyen los precios entre $ 68,1 y $ 77, estos valores son: $ 70, $ 71, $ 72, $ 74, $ 76, $ 77, corresponden a 9 artículos con estos precios. En el quinto intervalo están los precios entre $ 77,1 y $ 86, estos valores son: $ 82, $ 85, corresponden a 2 artículos con estos precios. En el sexto intervalos están incluidos los precios ente $ 86,1 y $ 95, estos valores son $.88 y $ 94, corresponden a 3 artículos con estos precios. OBSERVACIONES El 1 después de la coma sólo se usa como símbolo indicando que lo que pase de 50 quedará para incluirlo en el segundo grupo, lo que pase de 59 para el tercer grupo; así sucesivamente.
TALLER N° 18-A
Ejercicio Construir una tabla de frecuencias de datos agrupados con los siguientes datos y graficar.
- En un centro comercial, se consultó la edad a todas las personas que entraban entre las 12:00 h y 12:30 h. Los resultados obtenidos fueron los siguientes: 15 73 1 65 16 3 42 36 42 3 61 19 36 47 30 45 29 73 69 34 23 22 21 33 27 55 58 17 4 17 48 25 36 11 4 54 70 51 3 34 26 10
4.5 MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL CON DATOS AGRUPADOS
1. Media aritmética
Para calcular la media aritmética de un conjunto de datos agrupados en clases, se determina el cociente de la
suma de los productos de cada marca de clase Xi y su correspondiente frecuencia ni dividido entre el total de
los datos, N.
x =∑
Xi. ni
N
Ejemplo: En un puesto de control de una autopista (radar), se registraron las velocidades de algunos vehículos que transitaron durante cierto día de la semana como se indica en la siguiente tabla. Velocidad en (Km/h) Xi – 1 - Xi Marca de clase
Xi
Número de vehículos
ni
Xi. ni
TOTAL 85 10.
SOLUCIÓN
En la tabla agregamos un cuadro donde colocaremos los valores de Xi.^ ni y luego aplicamos la fórmula:
x =∑
Xi. ni
N
x =
= 118,5 Km/h El promedio de velocidad de los vehículos en la autopista es de 118,5 km/h
2. Mediana
La mediana es un valor que se encuentra en la mitad de otros valores de un conjunto de datos debidamente ordenados.
La mediana (Me) de una variable estadística es el valor de la variable tal que el número de valores menores que él, es igual al número de valores mayores que él. La mediana depende del orden de los datos y no de su valor. Para estimar la mediana, hay que seguir 2 pasos:
- Encontrar el intervalo en el que se encuentra la mediana usando la fórmula: Posición = N + 1 2
- Usar la fórmula de la mediana: Med = Li + N 2 − N (^) i − 1 ni .c Donde: Li = Límite inferior del intervalo en el cual se encuentra la mediana N = Número total de datos Ni − 1 = frecuencia acumulada del intervalo anterior al que se encuentra la mediana c = amplitud del intervalo en que se encuentra la mediana ni = frecuencia absoluta del intervalo en que se encuentra la mediana Ejemplo: Velocidad de los automóviles que transitan en una autopista, calcular la mediana Velocidad en (Km/h) Xi – 1 - Xi Marca de clase Xi Número de vehículos ni Frecuencia acumulada Ni 90 - 100 95 16 16 100 – 110 105 15 31 110 – 120 115 35 66 120 - 130 125 25 91 130 - 140 135 10 101 TOTAL 101 SOLUCIÓN: En primer lugar, se agrega, en la tabla de distribución, una columna Ni con las frecuencias absolutas acumuladas Determinamos la posición del intervalo en el que se encuentra la mediana: Posición = N + 1 2 Posición = 101 + 1 2 = 102 2
Este valor, lo buscamos en la columna de frecuencias acumuladas. Si no aparece, buscamos el valor que sigue. Como vemos, después del 51 sigue el 66, por lo tanto, la mediana se ubica en el intervalo 3. Ahora aplicamos la fórmula de la mediana:
TOTAL 21
SOLUCIÓN
Primero, encontramos el intervalo en el cual se encuentra la moda, es decir, el intervalo con mayor frecuencia absoluta. El intervalo 3, tiene la mayor frecuencia absoluta (6), por lo tanto, aquí se encontrará la moda. Ahora aplicamos la fórmula: Mo = Li + ni − ni − 1 ni − ni − 1 + ni − ni + 1
. c Mo = 8 + 6 − 5 6 − 5 + 6 − 4 × 4 Mo = 8 + 1 1 + 2 × 4 Mo = 8 + 1 3 × 4 Mo = 8 + 4 3 Mo =¿ 9, TALLER N° 18-B Ejercicios 2.- Los datos que se presentan en la siguiente tabla de frecuencias corresponden al número de llamadas que un grupo de personas realizó en un día, complete la tabla y determine: a) la media aritmética b) la mediana c) la moda Xi – 1 - Xi Marca de clase Xi ni Xi. ni Ni
TOTAL 21
